1、第四章第四章 三角形三角形 第六节第六节 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用 考点精讲解直角三角形解直角三角形锐角三角函数锐角三角函数直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用解直角三角形应用中的常见模型解直角三角形应用中的常见模型锐锐角角三三角角函函数数1.在在RtABC中，中，C90，A为为ABC中的一个中的一个锐角，则有：锐角，则有：A的正弦：的正弦：sinA=_A的余弦：的余弦：cosA=_A的正切：的正切：tanA=_2.特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值A 的的对对边边斜斜边边acA 的的邻邻边边斜斜边边bcAA的的对对边边的的邻邻
2、边边ab 三角函数三角函数 30 45 60 _ _12322232223331212.特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 sincostan直角三角形直角三角形的边角关系的边角关系(在在RtABC 中中,C为直为直角，三边长角，三边长分别为分别为a、b、c)1.三边关系：勾股定理：三边关系：勾股定理：_2.三角关系：三角关系：A+B=C=903.边角间关系：边角间关系：sinA=cosB=;cosA=sinB=；tanA=;tanB=4.面积关系：面积关系：SABC=_=ch(h为斜边为斜边AB上的高上的高)12a2+b2=c2acbcabba12ab解直角三角形的实际应用解直角三角形的实
3、际应用仰角、俯角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角下方的角叫俯角坡度坡度（坡比）、（坡比）、坡角坡角坡面的铅直高度坡面的铅直高度h h和水平宽度和水平宽度l 的比叫坡的比叫坡度（坡比），用字母度（坡比），用字母 i 表示；坡面与水表示；坡面与水平线的夹角平线的夹角 叫坡角叫坡角，i=方向角方向角一般指以观测者的位置为中心，将正北一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标或正南方向作为起始方向，旋转到目标方向所成的角（一般指锐角），通常表方向所成
4、的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度达成北（南）偏东（西）多少度，A点点位于位于O点的北偏东点的北偏东30方向方向，B点位于点位于O点的南偏东点的南偏东60方向，方向，C点位于点位于O点的点的北偏西北偏西45方向（或西北方向）方向（或西北方向）hl tan解直解直角三角三角形角形应用应用中的中的常见常见模型模型 重难点突破解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用例例（2016茂名茂名）如图，在数学活动课中，）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先的高度，先在教学楼的底端在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端点处，观测到旗杆顶端C的仰
5、角的仰角CAD=60，然后爬到教学楼，然后爬到教学楼上的上的B处，观测到旗杆底端处，观测到旗杆底端D的俯角是的俯角是30.已知教学楼已知教学楼AB高高4米米.（1）求教学楼与旗杆的水平距离）求教学楼与旗杆的水平距离AD;（结果保留根号）（结果保留根号）（2）求旗杆）求旗杆CD的高度的高度.例题图例题图解解：（：（1）从教学楼从教学楼B处观测到旗杆底端处观测到旗杆底端D的的俯角是俯角是30,ADB=30,在在RtABD中，中，BAD90，ADB30，AB4米米,AD=(米米).答：教学楼与旗杆的水平距离答：教学楼与旗杆的水平距离AD是是 米米.44 3tantan30ABADB 4 3例题图例题
6、图（2）在在Rt ACD中中,ADC=90,CAD=60,AD=4 米，米，CD=ADtan60=4 =12米米.答：旗杆答：旗杆CD的高度是的高度是12米米.333满满 分分 技技 法法1.运用解直角三角形的方法解决实际问题的步骤：（运用解直角三角形的方法解决实际问题的步骤：（1）审）审题：根据题意作出正确的平面图或截面示意图，在图形中题：根据题意作出正确的平面图或截面示意图，在图形中弄清已知量和未知量；（弄清已知量和未知量；（2）将已知条件转化为示意图中）将已知条件转化为示意图中的边、角关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题的边、角关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题(若三角形是直角
7、三角形，根据边角关系进行计算，若三若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算，若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决）；（来解决）；（3）选择适当关系式解直角三角形）选择适当关系式解直角三角形.2.对于解直角三角形的实际应用题，关键是要将题目中对于解直角三角形的实际应用题，关键是要将题目中的信息转化为数学文字，并将所得信息转化为直角三的信息转化为数学文字，并将所得信息转化为直角三角形中的边和角，注意抓住关键信息（含有数字信息角形中的边和角，注意抓住关键信息（含有数字信息的文字），利用解直角三角形的类型求解，并注意对的文字）
8、，利用解直角三角形的类型求解，并注意对结果要取近似值结果要取近似值.【拓展拓展】（2016广州广州）如图，某无）如图，某无人机于空中人机于空中A处探测到目标处探测到目标B、D，从无人机从无人机A上看目标上看目标B、D的俯角分的俯角分别为别为30、60，此时无人机的飞，此时无人机的飞行高度行高度AC为为 60m，随后无人机从，随后无人机从A处继续水平飞行处继续水平飞行 m到达到达A处处.（1）求）求A，B之间的距离；之间的距离；（2）求从无人机）求从无人机A上看目标上看目标D的俯角的正切值的俯角的正切值.30 3拓展题图拓展题图解解：（：（1）由题意得，）由题意得，BC,ABC=30，又又AC=60 m,在在Rt ABC中，中，sin30 ,即即 ,AB=120 m；ACAB1602AB AA拓展题图拓展题图（2）如解图，连接）如解图，连接 ,的正切值即为所求，的正切值即为所求，过点过点D作作DEAA于点于点E，AEBC,C=90，EAC=90，四边形四边形ACDE为矩形，为矩形，DE=AC=60 m,又又EAD=ADC=60，拓展题解图拓展题解图A DDAA在在Rt ADC中，中，tan60=,即即 ，AE=CD=20 m,=+AE=30 +20 =50 m,tan =.ACCD603CD 3333602 3550 3DEA E 拓展题解图拓展题解图AAA EDAA
