1、14.3 14.3 因因式分解式分解14.3.1 14.3.1 提提公因式法公因式法人教人教版版 数学数学 八八年级年级 上册上册 我们知我们知道道，利利用整式的乘法运用整式的乘法运算算，可可以将以将几个整式的积化为一个多项式的形几个整式的积化为一个多项式的形式式，反反过过来来，能能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若呢？若能能，这这种变形叫做什么呢种变形叫做什么呢？导入新知导入新知2.理理解并掌握解并掌握提公因式法提公因式法并能熟练地运用并能熟练地运用提公因式法分解因式提公因式法分解因式.1.理理解解因式分解因式分解的意义和概念及其与整式的意义和
2、概念及其与整式乘法的乘法的区别区别和联系和联系.素养目标素养目标3.会会利用利用因式分解因式分解进行简便计算进行简便计算.如图，一如图，一块菜地被分成三部块菜地被分成三部分，你分，你能用不同的方式能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？表示这块草坪的面积吗？abcm方法一：方法一：m(a+b+c)方法二：方法二：ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc整式乘法整式乘法?探究新知探究新知知识点知识点 1因式分解的概念因式分解的概念1.运用整式乘法法则或公式填空：运用整式乘法法则或公式填空：(1)m(a+b+c)=；(2)(x+1)(x1)=；(3)(a+b)2=.ma+mb+mcx2 1a
3、2+2ab+b22.根据等式的性质填空：根据等式的性质填空：(1)ma+mb+mc=()()(2)x2 1=()()(3)a2+2ab+b2=()2m a+b+cx+1 x1a+b 都是多项式化为几个整式的积的形式比一比一比，这比，这些式子些式子有什么共同点？有什么共同点？探究新知探究新知 把把一个多项式化为几个一个多项式化为几个整式整式的的乘积乘积的形的形式，像式，像这样的式子变这样的式子变形叫做把这个多项式形叫做把这个多项式因式分因式分解解，也也叫做把这个多项式叫做把这个多项式分解因式分解因式.探究新知探究新知x21 (x+1)(x1)因式分解整式乘法x21=(x+1)(x1)等式的特征：
4、左边是等式的特征：左边是多项多项式式，右右边是边是几个整式的乘积几个整式的乘积整整式乘法与因式分解有什么关系？式乘法与因式分解有什么关系？是互为相反的变是互为相反的变形，形，即即探究新知探究新知想一想想一想例例1 下列从左到右的变形中是因式分解的下列从左到右的变形中是因式分解的有有()x2y21(xy)(xy)1；x3xx(x21)；(xy)2x22xyy2；x29y2(x3y)(x3y)A1个个 B2个个 C3个个 D4个个B方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即形，即互逆运互逆运算，二算，二者是一个式子的不同表现形式因式分解的右边是两个或几个因式积
5、者是一个式子的不同表现形式因式分解的右边是两个或几个因式积的形的形式，整式，整式乘法的右边是多项式的形式式乘法的右边是多项式的形式素养考点素养考点 1因式分解变形的识别因式分解变形的识别探究新知探究新知1.在在下列等式下列等式中，从中，从左到右的变形是因式分解的左到右的变形是因式分解的有有 .不是因式分解的，请说明原因不是因式分解的，请说明原因.1x am+bm+c=m(a+b)+c24x2y=3x 8xyx21=(x+1)(x1)(2x+1)2=4x2+4x+1x2+x=x2(1+)2x+4y+6z=2(x+2y+3z)最后不是积的运算最后不是积的运算因式分解的对象是因式分解的对象是多项式多
6、项式是整式乘法是整式乘法每个因式必须是整式每个因式必须是整式巩固练习巩固练习pa+pb+pc用提公因式法分解因式用提公因式法分解因式 多多项式中项式中各项各项都含有的都含有的相同因相同因式式，叫，叫做做这这个多项个多项式的式的公因式公因式.相同因式p观观察下列多项察下列多项式，它式，它们有什么共同特点？们有什么共同特点？x2x相同因式x知识点 2探究新知探究新知问题问题1：一一般般地，如地，如果多项式的各项有公因果多项式的各项有公因式，可式，可以以把这个公因式提取出把这个公因式提取出来，将来，将多项式写成公因式与多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形另一个因式的乘积的形式，这式，这种分解因式的
7、方法种分解因式的方法叫做叫做提公因式法提公因式法.(a+b+c )pa+pb+pcp=探究新知探究新知 找出找出 3x 2 6xy 的公因式的公因式.系数：系数：最最大公约数大公约数.3字母：字母：相同相同的的字母字母.x 所以这个算式的公因式所以这个算式的公因式是是3x.指数：指数：相同字母相同字母的最低的最低次数次数.1如如何确定一个多项式的公因式？何确定一个多项式的公因式？探究新知探究新知问问题题2：u找出多项式的公因式的正确步骤：3.定指数定指数：相同字母的指数取各项中最小的一：相同字母的指数取各项中最小的一个，即个，即字母字母的最低次数的最低次数.1.定系数定系数：公因式的系数是多项
8、式各项系数的最大公约数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.定定字母字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母字母取多项式各项中都含有的相同的字母.探究新知探究新知 归纳总结归纳总结找一找找一找:下列各多项式的下列各多项式的公因式公因式是什么？是什么？3aa22(m+n)3mn2xy(1)3x+6y(2)ab2ac(3)a 2 a 3(4)4(m+n)2+2(m+n)(5)9 m 2n6mn (6)6 x 2 y8 xy 2 探究新知探究新知(1)8a3b2+12ab3c；例例2 把下列各式分解因把下列各式分解因式式.分析：分析：提公因式法步提公因式法步骤骤(分分两两步步)第第一步一
9、步:找出公因式；找出公因式；第第二步二步:提取公因式提取公因式 ，即，即将多项式化为两个因式的乘积将多项式化为两个因式的乘积.(2)2a(b+c)3(b+c).公因式既可以是一个公因式既可以是一个单单项式项式的形的形式，也式，也可以是可以是一个一个多项式多项式的形式的形式.整体思想整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法是数学中一种重要而且常用的思想方法.素养考点素养考点 2利用提公因式法分解因式利用提公因式法分解因式探究新知探究新知解解：(1)(1)8a3b2+12ab3c=4ab2 2a2+4ab2 3bc=4ab2(2a2+3bc)；如果提出公因式如果提出公因式4ab，另，另一个因式一
10、个因式是否还有是否还有公公因因式式？另一个因式将是另一个因式将是2a2b+3b2c，它还有公因式是它还有公因式是b.(2)(2)2a(b+c)3(b+c)=(b+c)(2a3).如何检查因式分解是否正确？做整式乘法运算做整式乘法运算.探究新知探究新知2.因因式分解：式分解：(1)(1)3a3c212ab3c；(2)(2)2a(bc)3(bc)；(3)(3)(ab)(ab)ab.(3)(3)原式原式(ab)(ab1)解解：(1)(1)原原式式3ac(a2c4b3)；(2)(2)原式原式(2a3)(bc)；巩固练习巩固练习把把12x2y+18xy2分解因式分解因式.解：解：原式原式=3xy(4x+
11、6y).错误错误 公因式公因式没有提没有提尽，还尽，还可可以提出公因式以提出公因式2.注意：注意：公因式要公因式要提尽提尽.正解：正解：原式原式=6xy(2x+3y).3.小明小明的的解法解法有误吗？有误吗？巩固练习巩固练习当多项式的某一项和公因式相同当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是时，提公因式后剩余的项是1.错误注意：注意：某项提出莫漏某项提出莫漏1.解：解：原式原式 =x(3x6y).把把3x2 6xy+x分解因式分解因式.正解正解：原式原式=3xx6yx+1x =x(3x6y+1)4.小亮的小亮的解法解法有误吗？有误吗？巩固练习巩固练习 提出提出负号时括号负号时括号里
12、的项没变里的项没变号号.错误把把 x2+xyxz分解因式分解因式.解：解：原式原式=x(x+yz).注意：注意：首项有负常首项有负常提负提负.正解正解：原式原式=(x2xy+xz)=x(xy+z)5.小小华华的的解法解法有误吗？有误吗？巩固练习巩固练习提提取取公因式分解公因式分解因式的技巧：因式的技巧：当公因式是多项式当公因式是多项式时，把时，把多项式看成多项式看成一个整体一个整体提提取公因式；分解因式取公因式；分解因式分分解解到到不能分解不能分解为止；某一项为止；某一项全部提取全部提取后，不后，不要要漏掉漏掉“1”；首项有负；首项有负号常提号常提负号负号；检查因式分解的结果是否正检查因式分解
13、的结果是否正确，可确，可用用整式的乘法验整式的乘法验证证.巩固练习巩固练习 归纳总结归纳总结例例3 计算：计算：(1)39371391；(2)2920.167220.161320.1620.1614.(2)(2)原原式式20.16(29721314)2016.1320260；解解：(1)(1)原原式式31337139113(33791)方法总结：方法总结：在计算求在计算求值值时，若时，若式子各项都式子各项都含有公因含有公因式，用式，用提取提取公因式的方法可使运公因式的方法可使运算简便算简便素养考点素养考点 3利用因式分解进行简便运算利用因式分解进行简便运算探究新知探究新知=259 =9900(
14、1)99299(2)=99(99+1)6.简便计简便计算算.巩固练习巩固练习解：解：原式原式=99 99+99解解：原式原式=13.80.125+86.20.125 =0.125(13.8+86.2)=0.125100 =12.5 例例4 已知已知ab7，ab4，求，求a2bab2的值的值原式原式ab(ab)4728.解：解：ab7，ab4，方法总结：方法总结：含含ab，ab的求值的求值题，通题，通常要将所求代数式进行因式分常要将所求代数式进行因式分解，将解，将其变形为能用其变形为能用ab和和ab表示的式表示的式子，然子，然后将后将ab，ab的值整的值整体带入即可体带入即可.素养考点素养考点
15、4利用因式分解求整式的值利用因式分解求整式的值探究新知探究新知7.已已知知a+b=5，ab=3，求，求a2b+ab2的值的值.解解:a2b+ab2=ab(a+b)=3 5 =15巩固练习巩固练习1.分解分解因式：因式：a25a=_连 接 中 考连 接 中 考巩固练习巩固练习2.若若a+b=4，ab=1，则则a2b+ab2=解析：解析：a+b=4，ab=1，a2b+ab2=ab(a+b)=14 =4a(a5)41.多项式多项式15m3n2+5m2n20m2n3的公因式的公因式是是()A5mn B5m2n2 C5m2n D 5mn2 2.把把多项多项式式(x+2)(x2)+(x2)提提取公因取公因
16、式式(x2)后，余后，余下的下的部分部分是是()Ax+1 B2x Cx+2 Dx+33.下列多项式的分解因下列多项式的分解因式，正式，正确的确的是是()A12xyz9x2y2=3xyz(43xyz)B3a2y3ay+6y=3y(a2a+2)Cx2+xyxz=x(x2+yz)Da2b+5abb=b(a2+5a)B C D课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题4.把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：(1)(1)分解分解因式因式：m23m=(2)(2)12xyz9x2y2=_；(3)(3)因式分解因式分解：(x+2)xx2=_(4)(4)x3y3x2y2xy=_；3xy(4z3xy
17、)xy(x2y2+xy+1)(5)(5)(xy)2+y(yx)=_.(yx)(2yx)5.若若9a2(xy)23a(yx)3M(3axy)，则，则M等于等于_.3a(xy)2 m(m3)(x+2)(x1)课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题6.简便计算：简便计算：(1)(1)1.992+1.990.01;(2)(2)20132+201320142;(3)(2)101+(2)100.(2)(2)原式原式=2013(2013+1)20142 =20132014 20142=2014(20132014)=2014解解：(1)(1)原式原式=1.99(1.99+0.01)=3.98；(
18、3)(3)原原式式=(2)100(2+1)=2100(1)=2100.课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题解解：(1)(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 4=12.(2)(2)原原式式=(2x+1)(2x+1)(2x1)=(2x+1)(2x+12x+1)=2(2x+1).(1)已已知知:2x+y=4，xy=3，求，求代数式代数式2x2y+xy2的值的值.(2)化简求值：化简求值：(2x+1)2(2x+1)(2x1)，其中其中x=.12当当x=时时12能 力 提 升 题能 力 提 升 题原式原式=2(2 +1)=4.12课堂检测课堂检测 ABC的三边长分别为的三边长分别
19、为a、b、c，且，且a2abc2bc，请，请判断判断ABC的形的形状，并状，并说明理由说明理由ABC是等腰三角形是等腰三角形解：解：整理整理a2abc2bc得得，a2abc2bc0，(ac)2b(ac)0，(ac)(12b)0，ac0或或12b0，即即ac或或b0.5(舍去舍去)，拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题课堂检测课堂检测因 式分 解定义定义am+bm+mc=m(a+b+c)方法方法提公因式法确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数第一步找公因式；第二步提公因式注意注意1.分解因式是一种恒等变形；2.公因式：要提尽；3.不要漏项；4.提负号，要注意变号课堂小结课堂小结课后作业
20、课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习1 14.3 4.3 因因式分解式分解14.3.2 14.3.2 公公式式法法第一课时第二课时人教人教版版 数学数学 八八年级年级 上册上册第一课时第一课时a米米b米米b米米a米米(ab)如图，在如图，在边长为边长为a米的正方形上剪掉一个边长为米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方米的小正方形，将形，将剩余部分拼成一个长方剩余部分拼成一个长方形，根形，根据此据此图形变图形变换，你换，你能得到什么公式？能得到什么公式？a2 b2=(a+b)(ab)导入新知导入新知1.探探索并运用索并运用平方差公式平方差公
21、式进行因式分进行因式分解，解，体体会转化思想会转化思想2.能能综合综合运用提公因式法和平方差公式对运用提公因式法和平方差公式对多项式多项式进行进行因式分解因式分解素养目标素养目标用平方差公式进行因式分解用平方差公式进行因式分解多多项式项式a2b2有什么特点？你能将它分解因式吗？有什么特点？你能将它分解因式吗？是是a，b两数的平方差的形式两数的平方差的形式)(baba+=22ba)(22bababa+=整式乘法因式分解因式分解 两两个数的个数的平方平方差差，等，等于这两个数的于这两个数的和和与这两个与这两个数的数的差差的的乘积乘积.平方差公式：平方差公式：探究新知探究新知知识点 1想一想想一想辨
22、一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为式，为什么？什么？符合平方差的形符合平方差的形式的多项式才能用式的多项式才能用平方差公式进行因平方差公式进行因式分式分解，即解，即能写成能写成:()2()2的形式的形式.两数是平两数是平方，方，减号在中央减号在中央(1)x2+y2(2)x2y2(3)x2y2(x2+y2)y2x2(4)x2+y2(5)x225y2(x+5y)(x5y)(6)m21(m+1)(m1)探究新知探究新知2(1)49;x 例例1 分解因式：分解因式：22(2)3x(23)(23);xx22(2)()().xpxqaabb(+)()a2 b2
23、 =解解:(1)(1)原原式式=2x32x2x33()()()()xpx qxpx q(2)(2)原原式式(2)().xp q p q 22()()xpx q素养考点素养考点 1利利用平方差公式分解因式的应用平方差公式分解因式的应用用探究新知探究新知 方法点拨 公公式中的式中的a、b无论表示无论表示数、单项式、数、单项式、还是还是多项多项式式，只，只要被分解的多项式能要被分解的多项式能转转化化成成平方差平方差的形的形式，就式，就能用平方差公式能用平方差公式因式分解因式分解.探究新知探究新知1.分解因式：分解因式：(1)(1)(ab)24a2；(2)(2)9(mn)2(mn)2.(2m4n)(4
24、m2n)解解：(1)(1)原原式式(ab2a)(ab2a)(ba)(3ab)；(2)(2)原原式式(3m3nmn)(3m3nmn)4(m2n)(2mn)若若用平方差公式分解后用平方差公式分解后的结果中有公因的结果中有公因式，一式，一定要定要再用提公因式法继续分解再用提公因式法继续分解.巩固练习巩固练习例例2 分分解因式：解因式：443(1);(2).xya bab解解：(1)(1)原原式式(x2)2(y2)2(x2+y2)(x2y2)分解分解因式因式后，一后，一定要检查是否还定要检查是否还有能继续分解的因有能继续分解的因式，若有，则式，若有，则需继需继续分续分解，直解，直到不能分解为止到不能分
25、解为止.(x2+y2)(x+y)(xy);(2)(2)原原式式ab(a21)分解分解因式因式时，一时，一般先用提公因般先用提公因式法进行分式法进行分解，然解，然后再用公式法后再用公式法.最最后进行检查后进行检查.ab(a+1)(a1).素养考点素养考点 2多次因式分解多次因式分解探究新知探究新知 方法点拨 分解分解因式前应先分析多项式的特因式前应先分析多项式的特点，一点，一般般先提公因先提公因式式，再再套用公式套用公式必须进行到每必须进行到每一个多项式都一个多项式都不能再分解因式不能再分解因式为止为止探究新知探究新知2.分分解因式：解因式：(1)(1)5m2a45m2b4；(2)(2)a24b
26、2a2b.(a2b)(a2b1).5m2(a2b2)(ab)(ab)；解解：(1)(1)原原式式5m2(a4b4)5m2(a2b2)(a2b2)(2)(2)原原式式(a24b2)(a2b)(a2b)(a2b)(a2b)巩固练习巩固练习例例3 已知已知x2y22，xy1，求，求xy，x，y的值的值xy2.解：解：x2y2(xy)(xy)2，xy1，联立联立组成二元一次方程组成二元一次方程组组，解解得得：1,23.2xy 素养考点素养考点 3利用因式分解求整式的值利用因式分解求整式的值探究新知探究新知方法总结：在与在与x2y2，xy有关的求代数式或有关的求代数式或未知数的值的问题未知数的值的问题中
27、，中，通通常需先因式分常需先因式分解，然解，然后后整体代入整体代入或或联立方程联立方程组组求值求值.3.已知已知xy=2，x2y2=8，求，求x+y的的值值.巩固练习巩固练习例例4 计算下列各题：计算下列各题：(1)(1)1012992；(2)(2)53.52446.524.解解：(1)(1)原原式式(10199)(10199)400；(2)(2)原原式式4(53.5246.52)4(53.546.5)(53.546.5)41007=2800.方法总结：方法总结：较为复杂的有理数运较为复杂的有理数运算，可算，可以运用因式分解对其进以运用因式分解对其进行变行变形，使形，使运算得以简化运算得以简化
28、.素养考点素养考点 4利用因式分解进行简便运算利用因式分解进行简便运算探究新知探究新知巩固练习巩固练习4.用平方差公式进行简便计算用平方差公式进行简便计算:(1)(1)3837 (2)(2)21387(3)3)229171 (4)(4)9189解：解：(1)3837=(38+37)(3837)=75(2)21387=(213+87)(21387)=300126=37800(3)229171=(229+171)(229171)=40058=23200(4)9189=(90+1)(901)=901=81001=8099例例5 求证：当求证：当n为整数为整数时，多时，多项项式式(2n+1)2(2n1
29、)2一定能一定能被被8整除整除即多项即多项式式(2n+1)2(2n1)2一定能被一定能被8整除整除证明：证明：原式原式=(2n+1+2n1)(2n+12n+1)=4n2=8n，n为整为整数，数，8n被被8整整除，除，方法总结：方法总结：解决整除的基本思路就是将解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积代数式化为整式乘积的形的形式，然式，然后分析能被哪些数或式子整除后分析能被哪些数或式子整除素养考点素养考点 5利用因式分解进行证明利用因式分解进行证明探究新知探究新知5.若若a，b，c是三角形的三是三角形的三边，且边，且满足满足关系式关系式a22bc=c22ab，试，试判断这个三角形的形状判断这个
30、三角形的形状.解：a22bc=c22ab，(a2c2)+2ab2bc=0，(a+c)(ac)+2b（a-c）=0，(ac)(a+c+2b)=0.a+c+2b0，ac=0，即即a=c，这个三角形是等腰三角形这个三角形是等腰三角形.巩固练习巩固练习分析：分析：已知等式变形后，利用完全平方公式及平已知等式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解，得到方差公式分解，得到a=c，即可确定出三角形形状即可确定出三角形形状.1.多项式多项式4aa3分解因式的结果分解因式的结果是是()Aa(4a2)Ba(2a)(2+a)Ca(a2)(a+2)Da(2a)2连 接 中 考连 接 中 考2.若若a+b=4，ab=
31、1，则则(a+1)2(b1)2的值为的值为 解析：解析：a+b=4，ab=1，(a+1)2(b1)2=(a+1+b1)(a+1b+1)=(a+b)(ab+2)=4(1+2)=12B12巩固练习巩固练习1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的下列多项式中能用平方差公式分解因式的是是()Aa2(b)2 B5m220mnCx2y2 Dx29D2.将将多项式多项式xx3因式分解正确的因式分解正确的是是()Ax(x21)Bx(1x2)Cx(x+1)(x1)Dx(1+x)(1x)D3.若若a+b=3，ab=7，则，则b2a2的值的值为为()A21 B21 C10 D10A课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题
32、基 础 巩 固 题4.把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：=_;=_;因式分解因式分解：2x28=_;(4)(4)a4+16=_.(4a+3b)(4a3b)4ab(4+a2)(2+a)(2a)5.若将若将 2xn81分解成分解成 4x2+9 2x+3 2x3，则，则n的值的值是是_.42(x+2)(x2)课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题1.已已知知4m+n=40，2m3n=5求求 m+2n2 3mn2的值的值原式原式=405=200解：解：原式原式=m+2n+3m n m+2n 3m+n=4m+n 3n 2m=4m+n(2m 3n，当当4m+n=40，2m3n=5时时，
33、能 力 提 升 题能 力 提 升 题课堂检测课堂检测2.如图，在如图，在边长为边长为6.8 cm正方形钢板正方形钢板上，挖上，挖去去4个边长个边长为为1.6 cm的小正方的小正方形，求形，求剩余部分的面积剩余部分的面积解：解：根据题根据题意，得意，得6.8241.626.82(21.6)26.823.22(6.83.2)(6.8 3.2)103.6 36(cm2)答：答：剩余部分的面积为剩余部分的面积为36 cm2.课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题(1)9921能否被能否被100整除吗？整除吗？解解：(1)(1)因因为为 9921=(99+1)(991)=10098，所所以
34、，以，(2n+1)225能被能被4整除整除.(2)n为整为整数，数，(2n+1)225能否被能否被4整除？整除？所以所以9921能被能被100整除整除.(2)(2)原原式式=(2n+1+5)(2n+15)=(2n+6)(2n4)=2(n+3)2(n2)=4(n+3)(n2).拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题课堂检测课堂检测平方差公式分解因式公式a2b2=(a+b)(ab)步骤一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.课堂小结课堂小结第第二二课课时时 我们知我们知道，因道，因式分解与整式乘法是反方向的式分解与整式乘法是反方向的变变形，我形，我们学习了因式分解
35、的两种方法：提取公们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法因式法、运用平方差公式法.现现在，大在，大家自然会家自然会想，还想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？导入新知导入新知2.能能较熟练地运用较熟练地运用完全平方公式完全平方公式分解因式分解因式1.理理解解完全平方公式完全平方公式的特点的特点素养目标素养目标3.能能综合运用综合运用提公因式提公因式、完全平方公式完全平方公式分解分解因式这两种方法进行求值和证明因式这两种方法进行求值和证明1.因式分解：因式分解：把一个多项式转化为把一个多项式转化为几个整式的积几个整式的积的形式的形式.2.我
36、们已经学过哪些我们已经学过哪些因因式分解的方法？式分解的方法？提提公因式法公因式法平平方差公式方差公式a2b2=(a+b)(ab)用完全平方公式分解因式用完全平方公式分解因式知识点 13.完全平方公式完全平方公式(ab)2=a22ab+b2探究新知探究新知回回顾顾旧旧知知 你你能把下面能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？成的图形的面积吗？同学们拼出图形为：同学们拼出图形为：aabbababababab探究新知探究新知这个大正方形的面积可以怎么求？这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2(a+b)2=baababb(a+b)2 a2+2
37、ab+b2=将上面的等式倒过来将上面的等式倒过来看，能看，能得到：得到：探究新知探究新知 a2+2ab+b2 a22ab+b2 我我们把们把a+2ab+b和和a2ab+b这样的式子这样的式子叫叫做做完完全平方式全平方式.观察这两个多项式观察这两个多项式：(1)每每个多项式有几项？个多项式有几项？(3)中中间项和第一间项和第一项，第项，第三项有什么关系？三项有什么关系？(2)每每个多项式的第一项和第三项有什么特征？个多项式的第一项和第三项有什么特征？三三项项.这两项都是数或式的平这两项都是数或式的平方，并方，并且符号相且符号相同同.是第一项和第三项底数的积的是第一项和第三项底数的积的2倍倍.探究
38、新知探究新知完全平方式的特点：完全平方式的特点：1.必须是必须是三项三项式式(或或可以看成三项可以看成三项的的)；2.有两个有两个同号同号的数或式的平方；的数或式的平方；3.中间有两底数之积的中间有两底数之积的2倍倍.222baba 完全平方式完全平方式:探究新知探究新知简记口诀简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡凡具备这些特点的三项具备这些特点的三项式，就式，就是完全平方是完全平方式，将式，将它写成完全平方形它写成完全平方形式，便式，便实现了因式分解实现了因式分解.2ab+b2=(a b)a2首2+尾22首尾(首尾)2 两两个数的平方和加个数的平方和加上上(或或减减去去)这这两个数的
39、两个数的积的积的2 2倍，等倍，等于这两个于这两个数的数的和和(或差或差)的的平方平方.探究新知探究新知 3.a+4ab+4b=()+2()()+()=()2.m6m+9=()2()()+()=()1.x+4x+4=()+2()()+()=()x2x +2 aa 2ba+2b2b对照对照 a2ab+b=(ab)，填，填空：空：mm 33x2 m3 探究新知探究新知试一试下列各式是不是完全平方式？下列各式是不是完全平方式？(1)a24a+4;(2)1+4a;(3)4b2+4b1;(4)a2+ab+b2;(5)x2+x+0.25.是是只只有两项有两项；不是不是4b与与1的符号不统一的符号不统一；不
40、是不是不是不是是是ab不是不是a与与b的积的的积的2倍倍.探究新知探究新知说一说例例1 分解因式：分解因式：(1)16x2+24x+9；(2)x2+4xy4y2.分析分析：(1)中中，16x2=(4x)2，9=3，24x=24x3，所以所以16x2+24x+9是一个完全平方是一个完全平方式式，即即16x2+24x+9=(4x)2+24x3+(3)2.(2)中中首项有负首项有负号，一号，一般先利般先利用添括号法用添括号法则，将则，将其变形其变形为为(x24xy+4y2)，然然后再利用后再利用公式分解因式公式分解因式.素养考点素养考点 1利用完全平方公式分解因式利用完全平方公式分解因式探究新知探究
41、新知解：解：(1)16x2+24x+9 =(4x+3)2；=(4x)2+24x3+(3)2 (2)x2+4xy4y2 =(x24xy+4y2)=(x2y)2.1.把把下列多项式因式分解下列多项式因式分解.(1)x212xy+36y2.(2)16a4+24a2b2+9b4.解解：(1)x212xy+36y2 =x22x6y+(6y)2 =(x6y)2.(2)16a4+24a2b2+9b4=(4a2)2+24a23b2+(3b2)2=(4a2+3b2)2.巩固练习巩固练习(3)2xyx2y2.(4)412(xy)+9(xy)2.解解：(3)2xyx2y2 =(x2+2xy+y2)=(x+y)2.(
42、4)412(xy)+9(xy)2=22223(xy)+3(xy)2=23(xy)2=(23x+3y)2.巩固练习巩固练习例例2 如果如果x26x+N是一个完全平方是一个完全平方式，那式，那么么N是是()A.11 B.9 C.11 D.9B解析：解析：根据完全平方式的特根据完全平方式的特征，中征，中间间项项6x=2x(3)，故故可知可知N=(3)2=9.素养考点素养考点 2利用完全平方公式求字母的值利用完全平方公式求字母的值探究新知探究新知 方法点拨 本题要本题要熟练掌握熟练掌握完全平方公式的结构特完全平方公式的结构特征征，根据参数所在位根据参数所在位置，结置，结合公合公式，找式，找出参数与已知
43、出参数与已知项之间的数量关项之间的数量关系，从系，从而求出参数的值而求出参数的值.计算过程计算过程中，要中，要注意注意积的积的2倍的符倍的符号号，避，避免漏解免漏解探究新知探究新知2.如果如果x2mx+16是一个完全平方是一个完全平方式，那式，那么么m的值为的值为_.解析：解析：16=(4)2，故故m=2(4)，m=8.8巩巩固练习固练习例例3 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)(a+b)212(a+b)+36.解解:(1)(1)原原式式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；分析分析：(1)中中有公因式有公因式3a，应，应先提出公因先提
44、出公因式，再式，再进一步分解因式进一步分解因式；(2)中将中将a+b看成一个整体，设看成一个整体，设a+b=m，则原式化为，则原式化为m212m+36.(2)(2)原原式式=(a+b)22(a+b)6+62 =(a+b6)2.素养考点素养考点 3利用完全平方公式进行较复杂的因式分解利用完全平方公式进行较复杂的因式分解探究新知探究新知 利用利用公式把某些具有特殊形公式把某些具有特殊形式式(如如平方差平方差式，完式，完全平方式全平方式等等)的的多项式分多项式分解因解因式，这式，这种分解因式的方法叫做种分解因式的方法叫做公公式法式法.探究新知探究新知3.因式分解：因式分解：(1)(1)3a2x224
45、a2x48a2；(2)(2)(a24)216a2.(a244a)(a244a)解解：(1)(1)原原式式3a2(x28x16)3a2(x4)2；(2)(2)原式原式(a24)2(4a)2(a2)2(a2)2.有公因式要有公因式要先提先提公因式公因式.要检查每一个多项式要检查每一个多项式的因的因式，看式，看能否继续能否继续分解分解巩固练习巩固练习例例4 把下列完全平方公式分解因式：把下列完全平方公式分解因式：(1)1002210099+99；(2)3423432162.解解：(1)(1)原原式式=(=(10099)(2)(2)原原式式(3416)2 本题本题利用完全平利用完全平方公式分解因方公式
46、分解因式，可式，可以简化计以简化计算算.=1.2500.素养考点素养考点 4利用完全平方公式进行简便运算利用完全平方公式进行简便运算探究新知探究新知4.计算计算:7652172352 17.解：解：7652172352 17 =17(7652 2352)=17(765+235)(765 235)=17 1 000 530=9010000.巩固练习巩固练习例例5 已知已知:a2+b2+2a4b+5=0，求，求2a2+4b3的的值值.提示：提示：从已知条件可以看出从已知条件可以看出，a2+b2+2a4b+5与完全平与完全平方式有很大的相似性方式有很大的相似性(颜色相同的项颜色相同的项)，因此可通过
47、，因此可通过“凑凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和非负数之和等于等于0的形式，从而利用非负数的性质来的形式，从而利用非负数的性质来求解求解.素养考点素养考点 5利用完全平方公式和非负性求字母的值利用完全平方公式和非负性求字母的值探究新知探究新知解：解：由已知可由已知可得得(a2+2a+1)+(b24b+4)=0 即即(a+1)2+(b2)2=0 2a2+4b3=2(1)2+423=71020ab 12ab 探究新知探究新知方法总结方法总结：遇到多项式的遇到多项式的值等于值等于0 0、求另一个多项、求另一个多项式的式的值，常值，常常通过变形为常
48、通过变形为完全平方公式完全平方公式和和(非非负数负数的的和和)的的形形式式，然，然后利用后利用非负数性质非负数性质来解答来解答5.已知已知x24xy210y290，求，求x2y22xy1的值的值112121.解：解：x24xy210y290，(x2)2(y5)20.(x2)20，(y5)20，x20，y50，x2，y5，x2y22xy1(xy1)2 几几个非负数的个非负数的和为和为0，则，则这几个这几个非负数都为非负数都为0.巩固练习巩固练习1.因式分解因式分解：a22ab+b2=连 接 中 考连 接 中 考巩固练习巩固练习2.若若a+b=2，ab=3，则代数式则代数式a3b+2a2b2+ab
49、3的值为的值为 解析：解析：a+b=2，ab=3，a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)，=ab(a+b)2，=34=12(ab)2121.下列四个多项式下列四个多项式中，能中，能因式分解的因式分解的是是()Aa21 Ba26a9 Cx25y Dx25y2.把多项式把多项式4x2y4xy2x3分解因式的结果分解因式的结果是是()A4xy(xy)x3 Bx(x2y)2Cx(4xy4y2x2)Dx(4xy4y2x2)3.若若m2n1，则，则m24mn4n2的值是的值是_BB14.若关于若关于x的多项式的多项式x28xm2是完全平方是完全平方式，则式，则m的值为的值为_ 4课堂检测课
50、堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题5.把把下列多项式因式分解下列多项式因式分解.(1)x212x+36;(2)4(2a+b)24(2a+b)+1;(3)y2+2y+1x2;(2 2)原式原式=2(2a+b)22(2a+b)1+(1)=(4a+2b 1)2;解解：(1)(1)原式原式=x22x6+(6)2=(x6)2;(3 3)原式原式=(y+1)x=(y+1+x)(y+1x).课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题2(20142013)1.22(2014)2 2014 2013(2013)(2)(2)原式原式22(2)2014201440262013.1.计算计算：(1)
