1、燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University从前面讨论可以看到，一些简单情形下的振型函数是从前面讨论可以看到，一些简单情形下的振型函数是三角函数，它们的正交性是自然的。三角函数，它们的正交性是自然的。同有限自由度系统一样，连续系统也存在固有振型的同有限自由度系统一样，连续系统也存在固有振型的正交性这一重要的特性。正交性这一重要的特性。在一些复杂情况下，振型函数还包含双曲函数，它们在一些复杂情况下，振型函数还包含双曲函数，它们的正交性以及更一般情形下振型函数的正交性尚待进一的正交性以及更一般情形下振型函数的正交性尚待进
2、一步说明。步说明。3.5 振型函数的正交性振型函数的正交性仅以梁弯曲振动的振型函数论证其正交性。仅以梁弯曲振动的振型函数论证其正交性。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University 设设Yr(x)和和Ys(x)分别代表对应于分别代表对应于r阶和阶和s阶固有频率阶固有频率 r和和 s的两个不同阶的振型函数，代入上式得的两个不同阶的振型函数，代入上式得)0(Lx 0)()()(d)(d)(dd22222xYxAxxxYxEJx梁横向振动的振型函数方程为梁横向振动的振型函数方程为22222d()d()()()()ddrrrY
3、 xEJ xx A x Y xxLxx(1)22222d()d()()()()ddsssY xEJ xx A x Y xxLxx(2)用用Ys(x)乘方程乘方程(1)，并在梁全长上进行积分，并在梁全长上进行积分用用Yr(x)乘方程乘方程(2)，并在梁全长上进行积分，并在梁全长上进行积分燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University22 222 0 0d()d()()d()()()()dddLLrsrrsYxYxEJ xxx A x Yx Yxxxx222 222 0 0d()d()dd()()d()()ddddLLrr
4、ssY xY xY xEJ xxY xdEJ xxxxx 2 0()()()()dLrrsx A x Yx Yxx22 22 00d()d()d()dd()()()dddddLLsrrsY xY xY xY xEJ xEJ xdxxxxxx22 22 00d()d()d()d()()()ddddLLsrrsY xY xY xY xEJ xd EJ xxxxx2222 2222 000d()d()d()d()d()d()()()()ddddddLLLssrrrsY xY xY xY xY xY xEJ xEJ xEJ xdxxxxxxx22222d()d()()()()ddrrrYxE JxxA
5、x Yxxx(1)燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University22222d()d()()()()ddsssY xEJ xx A x Y xxLxx(2)用用Yr(x)乘方程乘方程(2)，并在梁全长上进行积分。同理可得，并在梁全长上进行积分。同理可得222 222 00222 222 00 2 0d()d()dd()()d()()ddddd()d()d()d()()()ddddd()()()()dLLssrrLLssrrLsrsYxYxYxEJ xxYxEJ xxxxxYxYxYxYxEJ xEJ xxxxxxx A
6、x Yx Yxx燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University经过变换后得如下两个方程经过变换后得如下两个方程222 222 00222 222 00 2 0d()d()dd()()d()()ddddd()d()d()d()()()dddd()()()()dLLrrssLLssrrLrrsY xY xY xEJ xxY xEJ xxxxxY xY xY xY xEJ xEJ xdxxxxxx A x Y x Y x x(3)222 222 00222 222 00 2 0d()d()dd()()d()()ddddd()
7、d()d()d()()()ddddd()()()()dLLssrrLLssrrLsrsYxYxYxEJ xxYxEJ xxxxxYxYxYxYxEJ xEJ xxxxxxx A x Yx Yxx(4)两式左右对应相减两式左右对应相减燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University 22 0222200222200()()()()dd()d()d()d()()()ddddd()d()d()d()()ddddLrsrsLLsrrsLLssrrx A x Y x Y xxY xY xY xY xEJ xEJ xxxxxY xY
8、 xY xY xEJ xEJ(xxxxx注意注意:上式右边是上式右边是x=0和和x=L的端点边界条件。对于固支的端点边界条件。对于固支端、铰支端和自由端的任一组合而成的梁，上式右边都端、铰支端和自由端的任一组合而成的梁，上式右边都等于零。等于零。将上面两式相减得将上面两式相减得燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University因此，上述方程可以简化为因此，上述方程可以简化为0d)()()()(0 22xxYxYxAxLsrsr 按照假设，按照假设，Yr(x)和和Ys(x)是对应于不同固有频率的振是对应于不同固有频率的振型函
9、数型函数(r s，r s)，由此得出由此得出LsrxxYxYxAx00d)()()()()(sr 显然，振型函数显然，振型函数Yr(x)和和Ys(x)对于质量对于质量(x)A(x)是正是正交的，这就是简单支承条件下梁振型函数对于质量的正交的，这就是简单支承条件下梁振型函数对于质量的正交性条件。交性条件。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University振型函数对于刚度振型函数对于刚度EJ(x)的正交性的正交性LsrxxYxYxAx00d)()()()()(sr 代入式代入式(3)将振型函数对于质量将振型函数对于质量(x)A
10、(x)的正交性关系的正交性关系222 222 00222 222 00 2 0d()d()dd()()d()()ddddd()d()d()d()()()dddd()()()()dLLrrssLLssrrLrrsY xY xY xEJ xxY xEJ xxxxxY xY xY xY xEJ xEJ xdxxxxxx A x Y x Y x x(3)当当rs时时，0燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University22 22 0d()d()()d0ddLrsY xY xEJ xxrsxx 对于固支端、铰支端和自由端的任一组合的
11、梁，振对于固支端、铰支端和自由端的任一组合的梁，振型函数对于刚度型函数对于刚度EJ(x)的正交条件表示为的正交条件表示为0dd)(dd)(d)(2222 0 xxxYxxYxEJsrL)(sr 由此可见，梁弯曲振动振型函数对刚度由此可见，梁弯曲振动振型函数对刚度EJ(x)的正交的正交性，实际上是振型函数的二阶导数所具有的正交性。性，实际上是振型函数的二阶导数所具有的正交性。22220022 22 0d()d()d()d()()()ddddd()d()()0ddLLsrrsLsrY xY xY xY xEJ xEJ xxxxxY xY xEJ xdxxx燕山大学机械工程学院School of M
12、echanical Engineering,Yanshan University设设Yr(x)和和Ys(x)为正则振型函数，则有为正则振型函数，则有式中式中 rs为克朗尼格为克朗尼格 符号。符号。0()()()()d,1,2,Lrsrsx A x Y x Y x xr s振型函数的正则化振型函数的正则化用途：对振型函数正则用途：对振型函数正则化，确定正则化系数化，确定正则化系数燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University考虑如下关系考虑如下关系可得可得22 222 0d()d()()d,1,2,ddLrsrrsY x
13、Y xEJ xxr sxx 22 222 0d()d()()ddLsrrrsY xYxEJ xdxxx 可按以上两式对振型函数正则化。可按以上两式对振型函数正则化。222 222 00222 222 00 2 0d()d()dd()()d()()ddddd()d()d()d()()()dddd()()()()dLLrrssLLssrrLrrsY xY xY xEJ xxY xEJ xxxxxY xY xY xY xEJ xEJ xdxxxxxx A x Y x Y xx(3)0()()()()d,1,2,Lrsrsx A x Yx Yxxr s燕山大学机械工程学院School of Mecha
14、nical Engineering,Yanshan University在讨论离散系统响应时，采用了振型叠加法。在讨论离散系统响应时，采用了振型叠加法。利用系统的振型矩阵进行坐标变换，可以将系统相互利用系统的振型矩阵进行坐标变换，可以将系统相互耦合的物理坐标运动方程变换成解耦的固有坐标运动方耦合的物理坐标运动方程变换成解耦的固有坐标运动方程，从而使多自由度系统的响应分析问题可以按多个单程，从而使多自由度系统的响应分析问题可以按多个单自由度系统的问题分别加以处理。自由度系统的问题分别加以处理。3.6 连续系统的响应连续系统的响应振型叠加法振型叠加法燕山大学机械工程学院School of Mech
15、anical Engineering,Yanshan University多自由度离散系统振动微分方程多自由度离散系统振动微分方程：离散系统响应求解方法离散系统响应求解方法振型叠加法振型叠加法 ()tMxCxKxQ多自由度离散系统的自由振动多自由度离散系统的自由振动：0MxKx2MKB特征矩阵：特征矩阵：振型方程：振型方程：0BA 20KMA 20BKM固有频率方程：固有频率方程：求出求出n个固有频率个固有频率求出求出n个振型向量个振型向量燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University振型矩阵振型矩阵：离散系统响应求解
16、方法离散系统响应求解方法振型叠加法振型叠加法 )()2()1()(2)2(2)1(2)(1)2(1)1(1)()2()1(nnnnnnnAAAAAAAAAAAAP TPTPPKPKPMPM对角矩阵对角矩阵振型矩阵的正交性振型矩阵的正交性：)()2(2)1(1)(2)2(22)1(21)(1)2(12)1(11)()2(2)1(1nnnnnnnnnnnAAAAAAAAAAAAN正则振型矩阵正则振型矩阵：燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University离散系统响应求解方法离散系统响应求解方法振型叠加法振型叠加法正则振型矩阵的
17、正交性正则振型矩阵的正交性：2TTnNMNINKN Nx QNKNCNM 2nCQ正则坐标变换：正则坐标变换：对于比例阻尼，上述运动微分方程完全解耦；对于比例阻尼，上述运动微分方程完全解耦；对于一般阻尼，假设阻尼矩阵非对角元素为对于一般阻尼，假设阻尼矩阵非对角元素为0，运动微分方程解耦，运动微分方程解耦!燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University经过坐标变换后，就可以把连续系统按一系列单自由经过坐标变换后，就可以把连续系统按一系列单自由度系统的形式来处理，可以方便地得出系统对初始激励、度系统的形式来处理，可以方便地
18、得出系统对初始激励、外部激励的响应；也可以求出系统对初始激励、外部激外部激励的响应；也可以求出系统对初始激励、外部激励的共同响应。励的共同响应。只要把连续系统的位移表示成振型函数的级数，利用只要把连续系统的位移表示成振型函数的级数，利用振型函数的正交性，就可以将系统物理坐标的偏微分方振型函数的正交性，就可以将系统物理坐标的偏微分方程变换成一系列固有坐标的二阶常微分方程组。程变换成一系列固有坐标的二阶常微分方程组。对于具有无限多个自由度的连续系统，也可以用类似对于具有无限多个自由度的连续系统，也可以用类似的方法来分析系统的响应。的方法来分析系统的响应。燕山大学机械工程学院School of Me
19、chanical Engineering,Yanshan University以梁的弯曲振动为例，说明振型叠加法在连续系统中以梁的弯曲振动为例，说明振型叠加法在连续系统中的应用。的应用。设梁的弯曲刚度为设梁的弯曲刚度为EJ(x)，单位体积质量为单位体积质量为(x)，横截横截面积为面积为A(x)，分布激励载荷为，分布激励载荷为f(x,t)。梁的弯曲振动微分方程为梁的弯曲振动微分方程为这是非齐次偏微分方程，其全解包含两部分：一部分是这是非齐次偏微分方程，其全解包含两部分：一部分是对应于齐次方程的通解，相当于自由振动的解；另一部对应于齐次方程的通解，相当于自由振动的解；另一部分是对应于非齐次项的特解
20、，即受迫振动的响应。当给分是对应于非齐次项的特解，即受迫振动的响应。当给定激励函数定激励函数f(x,t)时，可求得激励的响应。时，可求得激励的响应。),(),()(),()()(222222txfxtxyxEJxttxyxAx燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University设在给定边界条件下的固有频率为设在给定边界条件下的固有频率为 r，相应的振型函相应的振型函数为数为Yr(x)，引进正则坐标引进正则坐标qr(t)，根据振型叠加法，可将梁根据振型叠加法，可将梁横向振动偏微分方程和给定边界条件的解横向振动偏微分方程和给定边
21、界条件的解y(x,t)变换为变换为)()(),(1tqxYtxyrrr将上式代入梁横向振动的偏微分方程将上式代入梁横向振动的偏微分方程),()(d)(d)(dd)()()()(221221txftqxxYxEJxtqxYxAxrrrrrr),(),()(),()()(222222txfxtxyxEJxttxyxAx可得可得燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University上述方程两边同时乘以上述方程两边同时乘以Ys(x)，并在整个区间，并在整个区间(0 xL/v，Qr(t)=0，梁作自由振动，自由振动初始梁作自由振动，自由
22、振动初始条件是条件是qr(L/v)与与 ，便可得到自由振动的便可得到自由振动的解。解。vLqr燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University连续系统共振破坏实例连续系统共振破坏实例 近代工程上许多因共振造成的灾难性事故给近代工程上许多因共振造成的灾难性事故给我们留下的教训就显得非常深刻。我们留下的教训就显得非常深刻。1940年年7月月1日美国西海岸华盛顿州建成了一日美国西海岸华盛顿州建成了一座当时位居世界第三的座当时位居世界第三的Tacoma大桥。大桥中央大桥。大桥中央跨距为跨距为853.4 m，全长，全长1810.5
23、6 m，桥宽，桥宽11.9 m，梁高为梁高为1.3 m，为悬索桥结构，设计可以抗，为悬索桥结构，设计可以抗60 m/s 的大风。但不幸的是大桥刚建成的大风。但不幸的是大桥刚建成4个月后个月后(1940年年11月月7日日)就在就在19 m/s的小风吹拂下整体塌的小风吹拂下整体塌毁。毁。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University美国华盛顿州Tacoma悬索桥燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University振动形式：横向振动、扭转振动振动形式：横向
24、振动、扭转振动 燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University复杂系统动力学仿真实例：复杂系统动力学仿真实例：游梁式抽油系统动力学仿真。游梁式抽油系统动力学仿真。系统描述：系统描述：系统边界、系统组系统边界、系统组成；研究目的；系统简化。成；研究目的；系统简化。力学模型：力学模型：地面装置力学模型；地面装置力学模型；井下装置力学模型。井下装置力学模型。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University1、力学模型、力学模型地面装置地面装置力学模型力
25、学模型力力学学模模型型井下装置井下装置力学模型力学模型单自由度系统力学模型单自由度系统力学模型两自由度系统力学模型两自由度系统力学模型多自由度系统力学模型多自由度系统力学模型离散离散连续混合系统动力学模型连续混合系统动力学模型纵向振动纵向振动力学模型力学模型三维振动三维振动力学模型力学模型抽油杆柱纵向振动力学模型抽油杆柱纵向振动力学模型杆液耦合纵向振动力学模型杆液耦合纵向振动力学模型杆管液耦合纵向振动力学模型杆管液耦合纵向振动力学模型抽油杆柱三维振动力学模型抽油杆柱三维振动力学模型杆液三维耦合振动力学模型杆液三维耦合振动力学模型杆管液三维耦合振动力学模型杆管液三维耦合振动力学模型地面装置单自由
26、度地面装置单自由度+抽油杆柱纵向振动力学模型抽油杆柱纵向振动力学模型燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University2、数学模型、数学模型(1)曲柄运动规律数学模型曲柄运动规律数学模型002220012eeettttdJdJMdtdMe Me(电动机机械特性、地面运动件重力、运动副摩电动机机械特性、地面运动件重力、运动副摩擦、传动机构速比、悬点载荷擦、传动机构速比、悬点载荷PRL)燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University抽油系统示意图抽油系
27、统示意图(2)抽油杆柱纵向振动数学模型抽油杆柱纵向振动数学模型燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University 抽油杆柱纵向振动的力学模型：抽油杆柱纵向振动的力学模型：弹簧固定于基础之上，基础按悬点弹簧固定于基础之上，基础按悬点运动规律上下往复运动。运动规律上下往复运动。抽油杆柱任意截面的运动可以分抽油杆柱任意截面的运动可以分解成两部分：一是该截面随悬点的解成两部分：一是该截面随悬点的运动；二是该截面相对于悬点的运运动；二是该截面相对于悬点的运动。抽油杆柱底端受轴向力动。抽油杆柱底端受轴向力PP(t)。杆柱运动微分方程为
28、杆柱运动微分方程为:222*2222()()()()Puuud u tdu tcx L P tgtxtdtdt集中力的表示方法集中力的表示方法燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University3、数值仿真模型、数值仿真模型(1)曲柄运动规律的数值仿真模型曲柄运动规律的数值仿真模型12xx002220012eeettttdJdJMdtd122221102001120eeettxxdJxMxJdxxx燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University(2)
29、杆柱纵向振动的数值仿真模型杆柱纵向振动的数值仿真模型222*2222()()()()Puuud u tdu tcx L P tgtxtdtdt设固有频率为设固有频率为 r，正则振型函数为，正则振型函数为Ur(x)，正则坐标，正则坐标qr(t)。根据振型叠加法，杆柱纵向振动偏微分方程的解。根据振型叠加法，杆柱纵向振动偏微分方程的解u(x,t)变换为变换为1(,)()()rrru x tUx qt2*2 0()()()()()()dLrPrd u tdu tQ tx L P tg U x xdtdt2()()()()1,2,rrrrrrq tC q tq tQ tr常微分方程组中含有常微分方程组中含有:,燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University212eeedJMdJ燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University曲柄运动微分方程中含曲柄运动微分方程中含 PRL002220012eeettttdJdJMdtd1(0)()rrrUPRLEAqtx
