《线性代数与空间解析几何》课件.ppt

1、哈工大数学系代数与几何教研室哈工大数学系代数与几何教研室 王宝玲王宝玲第二章第二章 12m n mn111212122212nnmmmnaaaaaaaaaAm n3()m nijm naA,00mn|Aij n nadet 41111diag(,)nnnnaaaaE,In 或或diag(1,1,1)nEdiag(,)cc11121222nnnnaaaaaa5l 下三角矩阵下三角矩阵:11212212nnnnaaaaaal 行矩阵行矩阵:12naaal 12naaa67()ij m na()ijm nb()()A+B=Cijm nijijm ncab()()ij m nij m naa()ABA

2、B,()AAAA 00(A与与B 要同形要同形).,()()A+B=B+AA+BCAB+C8()()Aijm nijm nkk aka1,0AAA 0()()AAk lkl()A+BABkkk()AAAklkl91 122ijijijissjca ba ba b(),ij m sa(),ijs nb()C=ABijm nc,12 iiisaaa12jjs jbbbijc1,1,;1,.sikkjka bim jn10iji j 11(1),pmpnnqmqAA0000(2)mnE A=A,AE=A(3)()()A BCAB C(4)()()A B+CAB+ACB+C A=BA+CAAm n 1

3、2设设2311121,00312AB 2 3111 21 00 312 2 1 3 0 1 21 1 2 0(1)20 1 3 0 1 2 412131122,ABabbaAB 1 11 22 122,ababa ba bBA 1 122()bab a141111,111 1AB0 022,0 022ABBA151 21 37 1,2 42 112ABC1 21 32 42 1AB12712412AC55,101055.101016ABBAAB=ACB=CABAB 000或ABAB 000且17祝祝 大大 家家 中秋节中秋节 快快 乐乐预习预习2.3-2.42.3-2.4!18101,1,2,

4、AAAEAAAkkk()klklklklA AAAAAB,().ABA Bkkk19()nnnnf xa xaxa xa1110A()nnnnfaaaa1110AAAAEA()f A20n 111212122212|A|nnnnnnaaaaaaaaa211212(1),(1)(2)(3)(4)nnssmmkk AAAA|AB|=|A|B|A AA|A|A|A|AA(行列式乘法公式行列式乘法公式)A,B,niA22B|A|=3BnkA23111212122212,nnmmmnaaaaaaaaaA称为称为A的转置矩阵的转置矩阵.1121112222T12mmnnmnaaaaaaaaaA24T TT

5、TTTTTTTTTT123456mmn nn nkkmAAABABAAABB AAANAAAA（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（），25,1,2,ijjiaai jn0,1,2,iiijjiaaai jn261.,.|nMnAAA设设其其中中是是奇奇数数，反反对对称称？0T|A|A|A|(1)n|A|A|27 2829nn B A1.30 你学过的方阵中你学过的方阵中,哪些是可逆阵哪些是可逆阵,哪些是不可逆阵哪些是不可逆阵?1.E-1=E2.当当 k1k2kn0 时时,有有:112nkkk12111nkkk31BA=AC=EB=,BE=()B AC=()BA C=EC=C32T1

6、1T(4)()()AA11(5)|AA111(3)0AA（，111(2)()ABBA可可推广至有限个积推广至有限个积11(6)()(),mmmAANA,B 11(1)()AA331|,0,nikjkkijaijAA复习行列式的展开性质复习行列式的展开性质A,BA+B 111ABABABACBCA,由由34*AA伴随矩阵伴随矩阵:A为为n 阶方阵阶方阵|000|0|00|AAA EA111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa AAAAAAAAA35T*()()nnjiijnnnnAAAAAAAAAAAA112111222212称称为矩阵为矩阵A的的

7、.ijA36A A=AA=AEAA(A)=(A)A=E1A1A11(*)=AAA11*,AAA1*=,AA AAn37设设 A 为数域为数域 F 上上 n 阶方阵阶方阵,则则 1.A 可逆可逆A 02.A 可逆时可逆时,A1=*1AA111AA=A AE 1AA=E38*11()()|AAA AEAA*|AAA A EA,1*1|AAA 在在|A|0时时,11(*)=AAA|A|0,*A39 A=0 时时,称称 A 为为A 0 时时,称称 A 为为40abcdA|0adbcAA 11dbcaadbcA41求满足矩阵方程求满足矩阵方程 AX=B 的矩阵的矩阵 X,12283212,5922121

8、5AB A=-270,1*1AAA12212129221X=A-1B=2/9 17/37/9-5/3 28/9 1/3其中其中4211 A23,(3),nn AAA,AEB0 1 00 10B()nn AEB122(1)2nnnnn nn EBBB！34(3)nn0BBB20 0 10 0,0B43122(1)2nnnnn nnAEBB！2222212,A323323333 A121(1)2nnnnnnn nnn！44A A 0 在在|A|0时时,11(*)=AAA*11AAA4546 47rirj ri()rirjriricicj ci cicjcii 48 A B49:A A A B，BA

9、AB，B C，AC初初 若若A B，A B ABAB且且50 满足下面两个条件的矩阵称为满足下面两个条件的矩阵称为矩阵或矩阵或矩阵矩阵:(1)零行全部位于非零行下方零行全部位于非零行下方;(2)非零行的左起第一个非零元素的非零行的左起第一个非零元素的 列数由上至下严格递增列数由上至下严格递增.A31021501324400007600000051 如果阶梯形矩阵如果阶梯形矩阵A满足满足:(1)非零行左起第一个非零元素都是非零行左起第一个非零元素都是1;(2)非零行左起第一个非零元所在列只有非零行左起第一个非零元所在列只有 一个非零元一个非零元.则称则称A为为矩阵矩阵.A100207013200

10、00001900000052,rE000r000EA即即 如果一个矩阵的左上角为单位矩阵如果一个矩阵的左上角为单位矩阵,其余元素都是零其余元素都是零.则称这个矩阵为则称这个矩阵为 矩阵（唯一）矩阵（唯一）.53,rr pnmm pns rs ps nEEEE000000 54结结 论论 1 任一矩阵任一矩阵A都可经都可经变换化成变换化成;2 任一矩阵任一矩阵A都可经都可经变换化成变换化成3 任一矩阵任一矩阵A都可经都可经变换化成变换化成.A 行阶梯形行阶梯形行行行行A 行最简形行最简形A标准形标准形初初rE00055 3 2 3 4 5 93 1 0 2 1 50 1 3 2 6 106 4

11、6 8 12 243 2 3 4 5 90 1 3 2 4 40 0 0 0 2 60 0 0 0 0 01 0 -1 0 0 10/30 1 3 2 0 -80 0 0 0 1 30 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0行行行行列列行阶梯形行阶梯形行最简形行最简形标准形标准形E3 00 0=562.657祝祝大家大家国庆节国庆节快乐快乐预习预习2.4,2.52.4,2.5！58设设A,B是三阶方阵是三阶方阵，,A2.AABAE320();();();().ABCD112222AB（）.由由 AABAE32()A AB AE

12、2 A AB AE2()32 AB2AABAE32059AAA|A|=1/2|(3A)-1-2 A*|A*A AA AA E，AAA AAAAA AAAAAAA1160设设A是是n 阶方阵阶方阵，*.nAA1*AA为为的的伴随矩阵伴随矩阵,试试证证:由由,AAA AA E下面分三种情况讨论下面分三种情况讨论:0,A(1)若若*.nAA1(2)若若0A且且,A0*,A0*0.nAA1显然结论成立显然结论成立:nA AA有有61(3)若若0,A而而,A0下面证明下面证明*0.nAA1反证反证:若若*0,A*(),A1*A()()11AAAA A0()A10AAAA EA0*0.nAA1*.n1AA

13、6263 矩阵矩阵A的子方阵的行列式称为矩阵的子方阵的行列式称为矩阵A 的的 一一 个子式个子式.划去划去A的某些行或列后剩下的元素，的某些行或列后剩下的元素，按原顺序构成的矩阵称为矩阵按原顺序构成的矩阵称为矩阵A的一的一 个子矩阵个子矩阵.64A的的非零子式的最高阶数非零子式的最高阶数r记作记作:r(A)=r并规定并规定:(0)=0.,A1472583690,143253 3阶子式只有一个阶子式只有一个,且且 ,所以所以0Alrrr(A)=2.A的的:65若若 A 是是mn 矩矩阵，则阵，则1.1.0 (A)min)minm,n 2.2.(AT)=)=(A)3.3.(kA)=)=0 k=0(

14、A)k04.4.(A1)(A),),(A1为为 A的子阵的子阵)66 求法求法:初初1.2.67n nnrn（）=AAE()m nmm n mrm 0（）（）,AAE称称()nm nm nnrnEAA（）0,称称nA可逆可逆0rnAA（）,称称 为为6800ijab，111212122212nnnnnna ba ba ba ba ba bra ba ba bAA，（）,()1rA111122()nnnna ba ba bAA并求并求nA1212nnaabbbaA可求可求69*n nrrrnrAAAAAA，（），（），（），（）？4 42100*,m nmnEABEBA m n为任意数为任意数.

15、120nnnnnnnn nnnn nxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyEx yx yx yx yx yx y1 11 211 11 212 12 222 12 221212111nnnnnnx yx yx yx yx yx yx yx yx y111212122212111121nnnxxEyyyx1212nnx yx yx y11221nnxxEyyyx12112nnx yx yx y 11221122 设设 （5 5）()()Arr Ar BB00(),()r Ar r Br12,P P Q Q1212,rrEEP AQP BQ121122000000123APQBrrEP

16、AQEP BQ1211220000000000000000令令,PQPQPQ1122PQAPQB1122000000ArB()()rrr Ar B12124（6 6）()()ACrrArBB0 设设 (),()r Ar r Br12则存在可逆阵则存在可逆阵 使使,P P Q Q1212,rrEEP AQP BQ121122000000令令,PQPQPQ1122125=Er1 0 0 0 0 0 Er r2 2 00 0 0 0P1CQ2ACPQB0PQACPQB112200000P AQPCQP BQ1112220()()ACrrArBB0126r11111 0 00 0040 0 000 0

17、 r Ar B 2()()Ar Ar BrB00()A Brr A BB0（7 7）()()()r A Br Ar B127（8 8）r（A+B）r（A）+r（B）r(A)=r(A,0)=r（A,AB）r(AB)rr1 01 030 10 0 AA A Br Ar Brrr A BBB000()rr A B2 020 1（9 9）min,rABrAr B()()BBr Brrr ABAB0128r(A)+r(B)且且 AB=0时，时，（1010）A为为 矩阵，矩阵，B为为 矩阵矩阵,则则()()()r ABr Ar Bn()()r Ar BnmnnpAABrrE BEB00ABrE00()Er

18、nr ABAB00129矩矩阵阵基本运算基本运算逆逆 矩矩 阵阵初等变换初等变换秩秩分块矩阵分块矩阵线性运算（加法、数乘）线性运算（加法、数乘）乘法乘法方幂方幂（求方幂的方法）求方幂的方法）转转 置置定义定义及运算性质及运算性质求求 法法伴随矩阵法伴随矩阵法初等变换法初等变换法初等阵初等阵等秩、等价，行阶梯、标准形等秩、等价，行阶梯、标准形定定 义义性性 质质10条条求求 法：法：初等（行）变换初等（行）变换加、数乘、乘加、数乘、乘、转置、初等变换、转置、初等变换行列式乘法公式行列式乘法公式定义法定义法判判 别别7条条应用：线性方程组应用：线性方程组1300A()r AnA与与E 等价等价,PAQ=E,A E,isAP PPP12为为初等阵初等阵AX=0只有零解只有零解AX=b只有唯一解只有唯一解初初行列行列n nBABE使使可逆可逆n nA1311.1.基本公式基本公式:AAA AA E2.2.求逆求逆:若若A可逆可逆,()AAAAAA1111,()()AA AAA 1113.3.性质性质:,()()2112 nnAAAAA,()(),(),()()0,()nn r Anr Ar AnkArknAA111134,()()0,()(n r Anr Ar An 5(n 2)(n 2)132133