1、 矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法。矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法。矩阵位移法的基本环节：矩阵位移法的基本环节：结构的离散化结构的离散化-单元分析；单元分析；集合成整体集合成整体-整体分析。整体分析。任务任务意义意义建立杆端力与杆端位移建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单间的刚度方程，形成单元刚度矩阵元刚度矩阵用矩阵形式表示杆用矩阵形式
2、表示杆件的转角位移方程件的转角位移方程由变形条件和平衡条件由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整间的刚度方程，形成整体刚度矩阵体刚度矩阵用矩阵形式表示位用矩阵形式表示位移法基本方程移法基本方程单元单元分析分析整体整体分析分析9-1 概概 述述 杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量，这是平面结构杆件单元的一般情况。三个位移分量，这是平面结构杆件单元的一般情况。正负号规则：正负号规则：12eE A Ilxy(a)(a)图图(b)(b)表示的杆端位移均为正方向
3、。表示的杆端位移均为正方向。单元编号单元编号杆端编号杆端编号局部坐标局部坐标121u1v122u2v(b)(b)杆端位移编号杆端位移编号121xF1yF1M2M2xF杆端力编号杆端力编号(c)(c)9-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵(局部坐标系局部坐标系)1、一般单元一般单元x图图(a)(a)表示单元编号、杆端编号和局部坐标，局部坐标表示单元编号、杆端编号和局部坐标，局部坐标 轴轴与杆轴重合；与杆轴重合；2yF图图(c)(c)表示的杆端力均为正方向。表示的杆端力均为正方向。121u1v122u2v121xF1yF1M2M2xF)(222111)()6()5()4()3()2()1()(eeevu
4、vu()()1(1)1(2)()(3)12(4)(5)2(6)2eexyexyFFFFFMFFFFFFM 单元杆端位移向量单元杆端位移向量 单元杆端力向量单元杆端力向量凡是凡是符号上面带了一横杠符号上面带了一横杠的就表示是基于的就表示是基于局部坐标系局部坐标系而言的。而言的。2yF 单元刚度方程单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时所建立的方程，可是指由单元杆端位移求单元杆端力时所建立的方程，可记为记为“”“”方程。方程。(由位移求力由位移求力称为称为正问题正问题)F 在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意
5、指定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。指定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。e121exF1eyF1eM2eM 我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。向变形和弯曲变形的刚度方程。讨论单元刚度方程讨论单元刚度方程：1v121u2exF2u2v2eyFee12112212xxEAFuulEAFuul 由两个杆端轴向位移由两个杆端轴向位移12uu、可推算出相应的杆端轴向力可推算出相应的杆端轴向力12exxFFe、。2u1u1exF2exF12v
6、v、由两个杆端横向位移由两个杆端横向位移 和和 可以用转角位移方程推导出相应可以用转角位移方程推导出相应的杆端横向力的杆端横向力 和和 。12exxFFe、12、12eMMe、e121exF1eyF1eM2eM1v121u2exF2u2v2eyFe426246ABABBAABMiiilMiiil 112122212122426()246()EIEIEIMlllEIEIEIMlll11212223212122236612()6612()QQEIEIEIFlllEIEIEIFlll 121QMMFl21QQFF 112212xxEAFuulEAFuul 1122112232321112222212
7、211223232211222212612664621261266264xyxyEAEAFuullEIEIEIEIFllllEIEIEIEIMllllEAEAFuullEIEIEIEIFllllEIEIEIEIMllll 将上面六个方将上面六个方程合并，按顺程合并，按顺序排列：序排列：将上面的方程组写成矩阵形式：将上面的方程组写成矩阵形式：323222323222000012612600646200000012612600626400eEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll111222euvuv111222exy
8、xyFFMFFM上面的式子可以用矩阵符号记为上面的式子可以用矩阵符号记为 eeeFk 这就是局部坐标系中的这就是局部坐标系中的单元刚度方程单元刚度方程。e可求单元杆端力可求单元杆端力 F通过这个式子由单元杆端位移通过这个式子由单元杆端位移局部坐标系的单元刚度矩阵局部坐标系的单元刚度矩阵1122112232321112222212211223232211222212612664621261266264xyxyEAEAFuullEIEIEIEIFllllEIEIEIEIMllllEAEAFuullEIEIEIEIFllllEIEIEIEIMllll 2、单元刚度矩阵的性质、单元刚度矩阵的性质 单元
9、刚度系数单元刚度系数的意义的意义eijk 代表单元杆端第代表单元杆端第 j 个位移分量等于个位移分量等于1 时所引起的第时所引起的第i 个杆端力分量。个杆端力分量。例如：例如：35212lEIk代表单元杆端第代表单元杆端第2个位移分量个位移分量 时所引起的第时所引起的第5个个杆端力分量杆端力分量 的数值。的数值。11v2yFEA l6EI l2 6EI l2 EA l12EI l3 12EI l34EI l2EI leek=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0000006EI l206EI l20-EA l-6EI l2-6EI l2 EA l-12EI
10、l3 12EI l32EI l4EI l000000-6EI l206EI l2011u11v1112u12v12只与杆件本身性质有只与杆件本身性质有关而与外荷载无关关而与外荷载无关 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 是是对称对称矩阵，即矩阵，即 。ek jiijkk 因此它的逆矩阵不存在。因此它的逆矩阵不存在。eeF由由 有一组力的解答有一组力的解答(唯一的唯一的)，即正问题。，即正问题。eeF 由由 eF如果如果 不是一组平衡力系则无解；若是一组平衡力系，不是一组平衡力系则无解；若是一组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。则解答不是唯一的，即反问题。2、单元刚度矩阵的性质、单元刚度矩阵的性质 一
11、般单元的刚度矩阵一般单元的刚度矩阵 是是奇异奇异矩阵；矩阵；ek 0ek 的系数行列式的系数行列式ek 直接计算矩阵行列式即可验证。直接计算矩阵行列式即可验证。从力学上可以理解为：根据单元刚度方程从力学上可以理解为：根据单元刚度方程 eeeFk 3、特殊单元、特殊单元 若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该单元称为特若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。以连续梁为例：以连续梁为例：e 从物理概念上看，因为杆端相当于没有约束（均可位移），自由体从物理概念上看，因为杆端相当于没有约
12、束（均可位移），自由体系在平衡外力作用下，可以产生惯性运动，系在平衡外力作用下，可以产生惯性运动，所以无法由平衡的外荷载唯所以无法由平衡的外荷载唯一地确定位移。一地确定位移。1201u01v1202u02ve11224224eeeEIEIMllEIEIMll 323222323222000012612600646200000012612600626400eEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll111222euvuv111222exyxyFFMFFM4224eeEIEIllkEIEIll 为了程序的标准化和通用性，
13、不为了程序的标准化和通用性，不采用特殊单元，只用一般单元，采用特殊单元，只用一般单元，如果结构有特殊单元，可以通过如果结构有特殊单元，可以通过程序由一般单元来形成。程序由一般单元来形成。9-3 单元刚度矩阵单元刚度矩阵(整体坐标系整体坐标系)xyexy111cossineeexxyFFF单元杆端力的转换单元杆端力的转换1、单元坐标转换矩阵、单元坐标转换矩阵 除连续梁外，一般结构中各杆件的轴线方向不尽相同，各自的局部坐标除连续梁外，一般结构中各杆件的轴线方向不尽相同，各自的局部坐标系也不尽相同。为了进行整体分析，必须选用一个统一的公共坐标系，称为系也不尽相同。为了进行整体分析，必须选用一个统一的
14、公共坐标系，称为整体坐标系。为保证变形协调和平衡，应将杆端位移和杆端力都转换成统一整体坐标系。为保证变形协调和平衡，应将杆端位移和杆端力都转换成统一的对整体坐标的量，因此要先解决坐标转换问题。下面先讨论自由式杆件单的对整体坐标的量，因此要先解决坐标转换问题。下面先讨论自由式杆件单元的转换问题。元的转换问题。局部坐标系中，杆件轴线作为局部坐标系中，杆件轴线作为 轴。轴。x1eyF1eM1eyF1exF1exF1eM2eyF2eM2eyF2exF2eM2exF111sincoseeeyxyFFF 11eeMM222cossineeexxyFFF222sincoseeeyxyFFF 22eeMM e
15、eeFTF单元杆端力的转换写成矩阵形式：单元杆端力的转换写成矩阵形式：111cossineeexxyFFF111sincoseeeyxyFFF 11eeMM222cossineeexxyFFF222sincoseeeyxyFFF 22eeMM111111222222cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001eeexxyyxxyyFFFFMMFFFFMM或简写成：或简写成：cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001eeT单元坐标单元坐标转换矩阵转换矩阵正交矩阵正交矩阵T-1
16、=TTT-1=TT或或 TTT=TT T=I 于是有于是有 eTeFTF同理，可求出单元杆端位移的转换式：同理，可求出单元杆端位移的转换式：eeT eTeT2、整体坐标系中的单元刚度矩阵、整体坐标系中的单元刚度矩阵在局部坐标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为：在局部坐标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为：在整体坐标系中杆端力与杆端位移的关系式可表达为：在整体坐标系中杆端力与杆端位移的关系式可表达为：两边前乘两边前乘T T 比较式比较式(9-20)和和(b)可得：可得：(920)eeeFk ()eeeTFkTa ()eTeeFTkTb (921)eeTkTkT 整体坐标系中的单元刚度矩阵整体坐标
17、系中的单元刚度矩阵 与与 同阶，具有类似的性质。同阶，具有类似的性质。ek ekcos,sin 忽略轴向变形时整忽略轴向变形时整体坐标系下的单刚体坐标系下的单刚为：为：考虑轴向变形时整体坐标系下的单刚为：考虑轴向变形时整体坐标系下的单刚为：22222222222222222222222212(12)6(12)(12)6(12)126(12)(12)6664662(12)(12)612(12)6(eIIIIIIAAAAllllllIIIIIIAAAAllllllIIIIIIEllllkIIIIIIlAAAAllllllA2222222212)(12)6(12)126662664IIIIIIAAA
18、llllllIIIIIIllll 222222222222222222222222121261212612126121266646621212612126121261212666266eIIIIIIllllllIIIIIIllllllIIIIIIEllllkIIIIIIlllllllIIIIIIllllllIIIIlll4IIl 323222323222126126000000646200126126000000626400eEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllkEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllll90当当 时整体坐标系下的单刚为：时整体坐标系下
19、的单刚为：90 当当 时整体坐标系下的单刚为：时整体坐标系下的单刚为：323222323222126126000000646200126126000000626400eEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllkEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllll323222323222000012612600646200000012612600626400EAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll例例9-1.试求图示刚架中各单元在整体坐标系中的刚度矩阵试求图示刚架中各单元在整体坐标系中的刚
20、度矩阵k 。设各杆的杆长设各杆的杆长 和截面尺寸相同。和截面尺寸相同。l=5ml=5mxyl=5m，bh=0.5m 1m,A=0.5m2,4300 10/EAkN ml解解:4300/00300/00012/30012/30030100/03050/10300/00300/00012/300123003050/030100/kN mkN mkN mkNkN mkNkNkN mkNkN mkkN mkN mkN mkNkNkNkN mkNkN m 单元单元：=0，T =I 4124Im425 10EIkN ml 局部坐标系中的单元刚度矩阵局部坐标系中的单元刚度矩阵ek 整体坐标系中的单元刚度矩阵
21、整体坐标系中的单元刚度矩阵 ek kk kk 单元单元 ：=90，单元坐标转换矩阵为单元坐标转换矩阵为 100000001000010000000100000001000010T 412/03012/0300300/00300/030010030050/1012/03012/0300300/00300/030050/300100/kN mkNkN mkNkN mkN mkNkNkN mkkN mkNkN mkNkN mkN mkNkN mkNkN ml=5ml=5mxy TkTkT 4300/00300/00012/30012/30030100/03050/10300/00300/00012/300123003050/030100/kN mkN mkN mkNkN mkNkNkN mkNkN mkkN mkN mkN mkNkNkNkN mkNkN m
