1、2.4 函数的微分函数的微分一、微分的概念一、微分的概念二、微分的运算法则二、微分的运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用一一.微分问题的提出微分问题的提出问铁片的面积约增问铁片的面积约增 加了多少加了多少？一正方形铁片一正方形铁片,边长为边长为 加热后边长增长了加热后边长增长了x0 x202)(xxs201xs 20)(2xxx12sss2020)(xxx201xs 2xxx 0 xx 0解解:设正方形的面积设正方形的面积s与与边长边长x2000)(2)()(xxxxsxxss的的函数关系为函数关系为 :)(xs铁片面积的改变量为铁片面积的改变量为2)(xxss可分为两
2、个部分：可分为两个部分：是其一：的线性函数，xx 02x02x是在0 x)(xs 处的导数其二：x2)(x是的高阶无穷小当很小时，x必定很小，2)(x例3xy3202033xxxxx3030)(xxxy)(320 xoxxxxs02于是1.微分的定义微分的定义在在 处有导数处有导数 ，则称则称设函数设函数)(xfyxxf)(0为为处的处的微分微分，记作，记作 ，即，即在点在点0 x0 x)(0 xf)(xfydy,)(0 xxfdy此时也称此时也称 在在 处是可微的处是可微的.)(xfy0 x例：例：xxxxxdyxxyxx55)(114155处的微分就是：在2.可微的条件可微的条件定理定理可
3、微的可微的充要条件是：充要条件是：函数函数在点在点)(xf0 x在在可导。可导。)(xfy0 x注注:1.处的可微性与可导性是等价的；处的可微性与可导性是等价的；)(xfy在点在点xxfdyxx)(|00且且0 x2.函数函数在任意点在任意点 的微分的微分叫做函数的微分，叫做函数的微分，记作记作x,)(xxfdy3.若函数若函数)(xfy在某一在某一区间内每一点都可微区间内每一点都可微,是该是该区间内的可微函数区间内的可微函数,它它不仅与不仅与x有关有关,4.通常把自变量的增量记作通常把自变量的增量记作dx即即xdx 称为称为自变量自变量x 的微分的微分,)(dxxfdy 的的微分记为微分记为
4、)(xfy于是函数于是函数而且与而且与x有关有关函数在区间内的任意一点微分函数在区间内的任意一点微分)(xfy则称则称xxfdy)(也可写成也可写成dxdy可看作函数的微分与自变量微分的商，可看作函数的微分与自变量微分的商，5.求微分时求微分时,可先求导数可先求导数,再乘再乘 dx数又称为微商。数又称为微商。导导二二.微分的运算法则微分的运算法则 1.微分基本公式微分基本公式dxxxd1)(2)adxaadxxln)(3)dxeedxx)(4)dxaxxdaln1)(log(5)dxxxd1|)|(ln(6)xdxxdcos)(sin(7)0)(cd(1)xdxxdsin)(cos(8)dxx
5、xarcd211)cot(15)dxxxd211)(arctan(14)xdxxd2sec)(tan(8)xdxxd2csc)(cot(9)xdxxxdtansec)(sec(10)xdxxxdcotcsc)(csc(11)dxxxd211)(arcsin(12)(-1x1)dxxxd211)(arccos(13)(-1x1)2.微分运算法则微分运算法则1.函数的和、差、积、商的微分法则函数的和、差、积、商的微分法则2.复合函数的微分法则复合函数的微分法则设设都都可微，则可微，则)(xuu)(xvv dvduvud)(1)(2)udvvduuvd)(（C 为常数为常数）cdvcvd)(3)2v
6、udvvduvud(4)0(v设设)(ufy)(xu 在在相应的点处可微，相应的点处可微，可微，可微，即，无论即，无论 u 是自变量还是中间变量，微分形式是自变量还是中间变量，微分形式duufdy)(保持不变，称为保持不变，称为 一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性。)(xfy 则则duufdxxufdxydyx)()()(且且例例1.解解:)12sin(xy求求dy)02)(12cos(dxx解解:例例2.2cos3xeyx求求dy)12)(12cos(dxdx)(2cos)2(cos33xxexdxdedydxx)12cos(2)12()12cos(xdxdy)3()2cos()2(2si
7、n33xdexxxdexxdxexxdxexx33)2cos(32sin2dxxxex）（2cos32sin23三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用从微分定义知，当从微分定义知，当 很小时，很小时，x.)()()()()(0000 xxfxfxxfxfxfy即dyy 为求函数的增量的近似公式，将上式改写为为求函数的增量的近似公式，将上式改写为.)()()()(000 xxfxfxxfxf此为求函数值的近似公式此为求函数值的近似公式.例例.61cos 的近似值计算485.018023211803sin3cos61cos得由)()()(000 xxfxfxxf,sin)(,cos)(xxfxxf则设18036161 化为弧度，得把解.4.2 的近似值计算05.22.012142.44xx2.0,4,)(0 xxxxf则设解例例得由)()()(000 xxfxfxxf作作 业业
