1、2.32.3平面向量的基本定理平面向量的基本定理12.3.12.3.1平面向量的平面向量的基本定理基本定理2 问题问题1：在物理中，我们学习了力的分解，即：在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？提示：提示：可以可以 问题问题2：如图，以：如图，以a为平行四边形的一条对角线为平行四边形的一条对角线作平行四边形，四边形确定吗？作平行四边形，四边形确定吗？提示：提示：不确定不确定新课讲解3 问题问题3：如果：如果e1，e2是两个不共线的
2、确定向量，那么是两个不共线的确定向量，那么与与e1，e2在同一平面内的任一向量在同一平面内的任一向量a能否用能否用e1，e2表示？表示？根据是什么？根据是什么？提示：提示：可以，根据是数乘向量和平行四边形法则可以，根据是数乘向量和平行四边形法则 问题问题4：如果：如果e1，e2是共线向量，那么向量是共线向量，那么向量a能否用能否用e1，e2表示？为什么？表示？为什么？提示：提示：不一定，当不一定，当a与与e1共线时可以表示，否则不能共线时可以表示，否则不能表示表示4 一、平面向量基本定理一、平面向量基本定理 (1)定理：如果定理：如果e1、e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个 向向量，那么
3、对于这一平面内的量，那么对于这一平面内的 向量向量a，实数实数、u，使，使a .(2)基底：基底：的向量的向量e1，e2叫做表示这一平面叫做表示这一平面内内 向量的一组基底向量的一组基底.不共线不共线任意任意有且只有一对有且只有一对不共线不共线所有所有e1ue251.如果如果e1、e2是平面是平面内两个不共线的向量，判断下列说法内两个不共线的向量，判断下列说法是否正确是否正确 e1e2(、R)可以表示平面可以表示平面内的所有向量；内的所有向量；对于平面对于平面内任一向量内任一向量a，使，使ae1e2的实数对的实数对(，)有无穷多个；有无穷多个；若向量若向量1e11e2与与2e12e2共线，则有
4、且只有一个实共线，则有且只有一个实数数，使得，使得1e11e2(2e12e2)；若实数若实数，使得使得e1e20，则，则0.分析思考6 解：解：由平面向量基本定理可知，是正确的；由平面向量基本定理可知，是正确的；不正确，由平面向量基本定理可知，一旦一个不正确，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；数对是唯一的；不正确，当两向量的系数均为零，即不正确，当两向量的系数均为零，即12120时，这样的时，这样的有无数个有无数个 72设设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列是平面内所有向量的一组基
5、底，则下列四组向量中，不能作为基底的是四组向量中，不能作为基底的是()Ae1e2和和e1e2B3e14e2和和6e18e2Ce12e2和和2e1e2 De1和和e1e2解析：解析：6e18e22(3e14e2)，(6e18e2)(3e14e2)，3e14e2和和6e18e2不能作为平面的基底不能作为平面的基底答案：答案：B8问题问题1：两条直线存在夹角，那么两个向量也有：两条直线存在夹角，那么两个向量也有夹角吗？夹角吗？提示：提示：有有 问题问题2：两条直线在什么情况下互相垂直？：两条直线在什么情况下互相垂直？提示：提示：所成的角为所成的角为90时时二、平面向量的夹角二、平面向量的夹角9非零向
6、量非零向量AOB0180同向同向反向反向90ab10 1关于平面向量的基底，下面三种说法正确吗？关于平面向量的基底，下面三种说法正确吗？一个平面内有且只有一对不共线的向量可以作为表示该一个平面内有且只有一对不共线的向量可以作为表示该平面所有向量的基底；平面所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；所有向量的基底；基底中的向量一定不是零向量基底中的向量一定不是零向量 提示：提示：平面内任何不共线的两个向量都可以作为一组基底，平面内任何不共线的两个向量都可以作为一组基底，故不正确，正确故不正确，正确提示：提示：不
7、对，是不对，是B.分析思考11概念理解12例题讲解13答案答案3012014答案：答案：120跟踪练习1516例题讲解1718跟踪练习1920例题讲解2122跟踪练习232425262.3.2-32.3.2-3平面向量的平面向量的正交分解及坐标运算正交分解及坐标运算27 1 1平面向量的正交分解平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个把一个向量分解成两个 的向量，叫做把向量正的向量，叫做把向量正交分解交分解 2 2平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示：向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与在直角坐标系中，分别取与x轴、轴、y轴方向相同的两个轴方向相同的两个 i、j作为基
8、底，对于平面内的一个向量作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数基本定理知，有且只有一对实数x，y使得使得a ，则把有，则把有序数对序数对 叫做向量叫做向量a的坐标记作的坐标记作 ，此式叫做，此式叫做向量的坐标表示向量的坐标表示 (2)在直角坐标平面中，在直角坐标平面中，i ，j ，0 互相垂直互相垂直向量向量(x，y)xiyja(x，y)(1,0)(0,1)(0,0)单位单位新课讲解283 3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)相应坐标相应坐标(x，y)相应坐标相应坐标(x2x1，y2y1)AB AB 2
9、91与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：提示：与与x轴平行的向量的纵坐标为轴平行的向量的纵坐标为0，即，即a(x,0)；与与y 轴平行的向量的横坐标为轴平行的向量的横坐标为0，即，即b(0，y)2已知向量已知向量 (1，2)，M点的坐标与点的坐标与 的坐标有什么关系？的坐标有什么关系？提示：提示：坐标相同但写法不同；坐标相同但写法不同；(1，2)，而而M(1，2)OMOMOM分析思考30 3在基底确定的条件下，给定一个向量它的坐在基底确定的条件下，给定一个向量它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向
10、量是否唯一？量是否唯一？提示：提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量穷多个，这些向量都是相等向量 4向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？提示：提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变变31例题讲解323334跟踪练习35363738例题讲解3940答案：答案：B跟踪练习41例题讲解42思考：保持例题条件不变，问思考：保持例题条件不变，问t为何值时，为何值时，B为线段
11、为线段AP的中点？的中点？431已知向量已知向量u(x，y)和向量和向量v(y,2yx)的对应关系用的对应关系用vf(u)表示表示(1)若若a(1,1)，b(1,0)，试求向量，试求向量f(a)及及f(b)的坐标的坐标(2)求使求使f(c)(4,5)的向量的向量c的坐标的坐标解：解：(1)由由vf(u)可得当可得当u(x，y)时，有时，有v(y,2yx)f(u)，从而，从而f(a)(1,211)(1,1)，f(b)(0,201)(0，1)跟踪练习442.若向量若向量|a|b|1，且，且ab(1,0)，求，求a与与b的坐标的坐标45464748例例4 已知已知a(1,2)，b(1，1)，c(3，
12、2)，且有且有cpaqb.试求实数试求实数p，q的值的值491.已知已知A(3,2)、B(5,4)、C(6,7)，求以，求以A、B、C为为顶点的平行四边形的另一个顶点顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标的坐标错因分析错因分析 只考虑了一种情况，还有另外两种情况没有只考虑了一种情况，还有另外两种情况没有考虑考虑跟踪练习5051可得可得(63,72)(5x,4y)，解得解得x2，y1.故所求顶点故所求顶点D的坐标为的坐标为D(2，1)综上可得，以综上可得，以A、B、C为顶点的平行四边形的另一个顶为顶点的平行四边形的另一个顶点点D的坐标是的坐标是(4,5)或或(8,9)或或(2，1)522.3.42
13、.3.4平面向量共线的平面向量共线的坐标表示坐标表示53 提示：提示：(1)、(2)中，中，b2a，(3)中，中，b2a，(4)中，中，ba.新课讲解54问题问题2：以上几组向量中：以上几组向量中a，b共线吗？共线吗？提示：提示：共线共线问题问题3：当：当ab时时a，b的坐标成比例吗？的坐标成比例吗？提示：提示：坐标不为坐标不为0时成比例时成比例55 (1)设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中，其中b0，当且仅当，当且仅当 时，向量时，向量a与与b共线共线 (2)设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果向量，如果向量b不平行于坐不平行于坐标轴，即标轴，即x20，y20，则，则ab x1y2x2y10平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示56概念理解57例题讲解58答案：答案：2跟踪练习5960例题讲解61答案：答案：9跟踪练习626364例题讲解656667跟踪练习68答案：答案：(0，2)69707172
