1、1第三节第三节 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 1 第三节 函数的奇偶性与周期性 2三年三年1212考考 高考指数高考指数:1.1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性；会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性；3.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性函数的周期性2 三年1 2 考 高考指数:31.1.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考向；函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考向；2.2.常与函数的图像、单调性、对称性
2、、零点等综合命题常与函数的图像、单调性、对称性、零点等综合命题;3.3.多以选择、填空题的形式出现，属中低档题目多以选择、填空题的形式出现，属中低档题目.3 1.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考向；41.1.函数奇偶性的定义函数奇偶性的定义(1)(1)图像定义：图像定义：f(x)f(x)为奇函数为奇函数图像关于图像关于_对称；对称；f(x)f(x)为偶函数为偶函数图像关于图像关于_对称；对称；(2)(2)符号定义：对于函数符号定义：对于函数f(x)f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x xf(x)f(x)为偶函数为偶函数_;f(x)f(x)为奇函数为奇函数_.原点原点y y
3、轴轴f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)4 1.函数奇偶性的定义原点y 轴f(-x)=f(x)f(-x)5【即时应用即时应用】(1)(1)思考：函数思考：函数f(x)=x+sinx,g(x)=xsinxf(x)=x+sinx,g(x)=xsinx各自图像有什么各自图像有什么对称性？对称性？提示：提示：f(x)f(x)为奇函数，所以其图像关于原点对称；为奇函数，所以其图像关于原点对称；g(x)g(x)为偶为偶函数，所以其图像关于函数，所以其图像关于y y轴对称轴对称.5【即时应用】6(2)(2)判断下列六个函数是否是奇函数判断下列六个函数是否是奇函
4、数.(.(请在括号中填请在括号中填“是是”或或“否否”)y=xy=x2 2-|x|()-|x|()y=sin3x y=sin3x ()()y=x+y=x+()()y=3y=3x x-3-3-x -x ()()y=|x|cosx ()y=|x|cosx ()y=xy=x2 2,x(-1,1,x(-1,1 ()()1x6(2)判断下列六个函数是否是奇函数.(请在括号中填“是”或7【解析解析】由奇函数、偶函数的符号定义知，函数由奇函数、偶函数的符号定义知，函数,为偶为偶函数，函数，,为奇函数为奇函数,是非奇非偶函数是非奇非偶函数.答案：答案：否否 是是 是是 是是 否否 否否7【解析】由奇函数、偶函
5、数的符号定义知，函数,为偶函数，8(3)(3)已知已知f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+bx是定义在是定义在a-1,2aa-1,2a上的偶函数，那么上的偶函数，那么a+ba+b的值是的值是_._.【解析解析】由已知得由已知得a-1=-2a,a-1=-2a,解得解得a=a=f(x)=+bx,f(x)=+bx,又又f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),即即又又xx ,b=0,b=0,故故a+b=+0=a+b=+0=答案：答案：1,321x32211xbxxbxbx0,332 2,3 3131.3138(3)已知f(x)=a x 2+b x 是定义在a-1,2 a 上9(4)(4)已知
6、已知f(x)f(x)为为R R上的奇函数，且当上的奇函数，且当x0 x0时，时，f(x)=xf(x)=x2 2,则则f(x)=f(x)=_._.【解析解析】由题意知由题意知f(0)=0,f(0)=0,当当x0 x0,-x0,f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)2 2=x=x2 2,又又f(-x)=-f(x),f(x)=-xf(-x)=-f(x),f(x)=-x2 2,答案：答案：22x,x0f(x)0 x0.x,x0综上，22x,x0 x,x09(4)已知f(x)为R 上的奇函数，且当x 0 时，f(x)=10(5)(5)若若f(x)f(x)为为R R上的偶函数，且在上的偶函数，且在0 0
7、，+)+)上单调递减，则上单调递减，则f(x)f(x)在在(-,0(-,0上的单调性为上的单调性为_._.【解析解析】由图像关于由图像关于y y轴对称知在轴对称知在(-,0(-,0上为单调增函数上为单调增函数.答案：答案：单调递增单调递增1 0(5)若f(x)为R 上的偶函数，且在0，+)上单调递112.2.周期性周期性(1)(1)周期函数：常数周期函数：常数T T为函数为函数f(x)f(x)的一个周期，则需满足的条件：的一个周期，则需满足的条件：T0;T0;f(x+T)=_f(x+T)=_对定义域内的任意对定义域内的任意x x都成立都成立.(2)(2)最小正周期：如果在周期函数最小正周期：如
8、果在周期函数f(x)f(x)的所有周期中存在一个的所有周期中存在一个_，那么这个，那么这个_就称为它的最小正周期就称为它的最小正周期f(x)f(x)最小的正数最小的正数最小的正数最小的正数1 1 2.周期性f(x)最小的正数最小的正数12【即时应用即时应用】(1)(1)已知函数已知函数f(x),f(x),对任意对任意xRxR，都有，都有f(x+4)=f(x),f(x+4)=f(x),且且x(0,2)x(0,2)时，时，f(x)=2 012xf(x)=2 012x2 2,则则f(2 013)=_.f(2 013)=_.(2)(2)函数函数f(x)f(x)对于任意实数对于任意实数x x满足条件满足
9、条件f(x+1)=-f(x),f(x+1)=-f(x),则则f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为_._.1 2【即时应用】13【解析解析】(1)f(x+4)=f(x),(1)f(x+4)=f(x),f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为4 4，f(2 013)=f(503f(2 013)=f(5034+1)=f(1)=2 0124+1)=f(1)=2 0121 12 2=2 012.=2 012.(2)f(x+1)=-f(x),(2)f(x+1)=-f(x),f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(x)-f(x)
10、=f(x).=f(x).最小正周期为最小正周期为2.2.答案：答案：(1)2 012 (2)2(1)2 012 (2)2 1 3【解析】(1)f(x+4)=f(x),14 判定函数的奇偶性判定函数的奇偶性【方法点睛方法点睛】判定函数的奇偶性的常用方法及思路判定函数的奇偶性的常用方法及思路(1)(1)符号定义法：符号定义法：1 4 判定函数的奇偶性15(2)(2)图像定义法：图像定义法：f(x)f(x)的图象的图象关于原点对称关于原点对称关于关于y y轴对称轴对称f(x)f(x)为奇函数为奇函数f(x)f(x)为偶函数为偶函数1 5(2)图像定义法：f(x)关于原点对称关于y 轴对称f(x16(
11、3)(3)性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇偶性奇偶性奇函数与奇函数奇函数与奇函数 奇函数与偶函数奇函数与偶函数 偶函数与偶函数偶函数与偶函数 和和 差差奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数积积 商商1 6(3)性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇17【提醒提醒】“性质法性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的才成立的.1 7【提醒】“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成18【例例
12、1 1】判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x(1)f(x)=x3 3-x;-x;(2)f(x)=(x+1)(2)f(x)=(x+1)(3)(3)【解题指南解题指南】由奇偶性的符号定义，先看函数的定义域是否由奇偶性的符号定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，再计算关于原点对称，再计算f(-x)f(-x)，并判断其与，并判断其与f(x)f(x)的关系，从的关系，从而得出函数的奇偶性而得出函数的奇偶性.1 x;1 x22xx,x0f(x).xx,x01 8【例1】判断下列函数的奇偶性：19【规范解答规范解答】(1)(1)显然函数显然函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为
13、R R，关于原点对称，关于原点对称，又又f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)3 3-(-x)=-(x-(-x)=-(x3 3-x)=-f(x),f(x)-x)=-f(x),f(x)为奇函数为奇函数.(2)(2)使使f(x)=(x+1)f(x)=(x+1)有意义，则有有意义，则有 0 0且且1+x0,1+x0,解得解得函数的定义域为函数的定义域为(-1,1(-1,1,不关于原点对称，因此函数不关于原点对称，因此函数f(x)f(x)既不既不是奇函数，也不是偶函数是奇函数，也不是偶函数.1 x1 x1 x1 x1 9【规范解答】(1)显然函数f(x)的定义域为R，关于原点20(3)(3)显然函数
14、显然函数f(x)f(x)的定义域为：的定义域为：(-(-，0)(0,+)0)(0,+)，关于原，关于原点对称，点对称，当当x0 x0-x0，则，则f(-x)=-(-x)f(-x)=-(-x)2 2-x-x=-x=-x2 2-x=-f(x)-x=-f(x)；当当x0 x0时时,-x0,-x0 x0时，时，-x0,-x0,又又x0 x0时，时，f(x)=2xf(x)=2x2 2-x,-x,f(-x)=2(-x)f(-x)=2(-x)2 2-(-x)=2x-(-x)=2x2 2+x,+x,又又f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),即即:-f(x)=2x:-f(x)=2x2 2+x,f(x)
15、=-2x+x,f(x)=-2x2 2-x.-x.综上综上,222xx,x0f x.2xx,x03 2【互动探究】在本例(1)中的条件下求f(x)在R 上的解析33【反思反思感悟感悟】利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、求解析式、作图像、判定单调性问题转化为已知区间上值、求解析式、作图像、判定单调性问题转化为已知区间上的函数值、解析式、图像、单调性问题求解，充分体现了数的函数值、解析式、图像、单调性问题求解，充分体现了数学的转化与化归思想学的转化与化归思想.3 3【反思 感悟】利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、34【变式备选变式备选】奇函数奇函
16、数f(x)f(x)的定义域为的定义域为-5,5-5,5.若当若当xx0,50,5时，时，f(x)f(x)的图像如图所示，则不等式的图像如图所示，则不等式f(x)0f(x)0的解集的解集是是_._.3 4【变式备选】奇函数f(x)的定义域为-5,5.若当x35【解析解析】由奇函数图像对称性补出其在由奇函数图像对称性补出其在-5,0)-5,0)上的图像，上的图像，由图像知解集为由图像知解集为(-2,0)(2,5(-2,0)(2,5.答案：答案：(-2,0)(2,5(-2,0)(2,53 5【解析】由奇函数图像对称性补出其在-5,0)上的图像，36 函数周期性的应用函数周期性的应用【方法点睛方法点睛
17、】关于函数周期性的几个常用结论关于函数周期性的几个常用结论(1)(1)若对于函数若对于函数f(x)f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x x都有：都有：f(x+a)=-f(x)f(x+a)=-f(x)，则函数，则函数f(x)f(x)必为周期函数，必为周期函数，2|a|2|a|是它的一个是它的一个周期；周期；f(x+a)=f(x+a)=则函数则函数f(x)f(x)必为周期函数，必为周期函数，2|a|2|a|是它的一个周是它的一个周期；期；f(x+a)=f(x+a)=则函数则函数f(x)f(x)必为周期函数，必为周期函数，2|a|2|a|是它的一个是它的一个周期；周期；1f(x)，1f(x
18、)，3 6 函数周期性的应用37(2)(2)如果如果T T是函数是函数y=f(x)y=f(x)的周期，则的周期，则kT(kZ,k0)kT(kZ,k0)也是函数也是函数y=f(x)y=f(x)的周期，即的周期，即f(x+kT)=f(x)f(x+kT)=f(x)；若已知区间若已知区间m,nm,n(mn)(m10 x10时，时，|lgx|1,|lgx|1,因此结合图像及数据特点因此结合图像及数据特点y=f(x)y=f(x)与与y=|lgx|y=|lgx|的图像交点共有的图像交点共有1010个个.4 1(2)根据f(x)的周期性及f(x)在-1,1 上的解42【反思反思感悟感悟】已知周期函数在长度为一
19、个周期的区间上的已知周期函数在长度为一个周期的区间上的解析式或图像，则可求在其他区间上的函数值、解析式或画解析式或图像，则可求在其他区间上的函数值、解析式或画出其他区间上的图像，关键是用好其周期性进行转化出其他区间上的图像，关键是用好其周期性进行转化.4 2【反思 感悟】已知周期函数在长度为一个周期的区间上的解析43【变式训练变式训练】设设f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，且对任意实数上的奇函数，且对任意实数x x，恒有恒有f(x+1)=f(1-x).f(x+1)=f(1-x).当当xx0,20,2时，时，f(x)=2x-xf(x)=2x-x2 2.(1)(1)求证：求证：f(
20、x)f(x)是周期函数是周期函数;(2)(2)当当xx2,42,4时，求时，求f(x)f(x)的解析式的解析式;(3)(3)计算计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).4 3【变式训练】设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数44【解析解析】(1)f(x+1)=f(1-x),(1)f(x+1)=f(1-x),f(x+2)=f(x+1)+1)f(x+2)=f(x+1)+1)=f(1-(x+1)=f(-x)=-f(x)=f(1-(x+1)=f(-x)=-f(x)f(x+2)=-f(x),f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(
21、x+2)=f(x).f(x+4)=-f(x+2)=f(x).f(x)f(x)是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数.4 4【解析】(1)f(x+1)=f(1-x),45(2)(2)当当xx-2,0-2,0时，时，-x-x0,20,2，由已知得，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)f(-x)=2(-x)-(-x)2 2=-2x-x=-2x-x2 2,又又f(x)f(x)是奇函数，是奇函数，f(-x)=-f(x)=-2x-xf(-x)=-f(x)=-2x-x2 2,当当xx-2,0-2,0时，时，f(x)=xf(x)=x2 2+2x.+2x.又当又当xx2,42,4时，时，x-4x-4-2
22、,0-2,0,f(x-4)=(x-4),f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-+2(x-4).4).又又f(x)f(x)是周期为是周期为4 4的周期函数，的周期函数，f(x)=f(x-4)=(x-4)f(x)=f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4)=x+2(x-4)=x2 2-6x+8.-6x+8.从而求得从而求得xx2,42,4时，时，f(x)=xf(x)=x2 2-6x+8.-6x+8.4 5(2)当x-2,0 时，-x 0,2，由已知得46(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又又f(x)f
23、(x)是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数,f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.f(0)+f(1)+f(2)+f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.4 6(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)47【变式备选
24、变式备选】设函数设函数f(x)f(x)是是(-,+)(-,+)上的奇函数，且上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)f(x+2)=-f(x)，当，当xx0,10,1时，时，f(x)=x.f(x)=x.(1)(1)求求f()f()的值；的值；(2)(2)当当xx-4,4-4,4时，求时，求f(x)f(x)的图像与的图像与x x轴所围成的图形的轴所围成的图形的面积面积.4 7【变式备选】设函数f(x)是(-,+)上的奇函数，且48【解析解析】(1)(1)由由f(x+2)=-f(x)f(x+2)=-f(x)得得f(x+4)=-f(x+2)f(x+4)=-f(x+2)，f(x+4)=f(x)f(x+4)
25、=f(x)，则则f(x)f(x)是以是以4 4为周期的周期函数为周期的周期函数.f()=f(-1f()=f(-14+)=f(-4)4+)=f(-4)，f(x)f(x)是是(-,+)(-,+)上的奇函数，上的奇函数，f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.f()=-4.f()=-4.4 8【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得49(2)(2)由由f(x)f(x)是是(-,+)(-,+)上的奇函数与上的奇函数与f(x+2)=-f(x)f(x+2)=-f(x)得得f(x+2)=f(-x)f(x+2)=f(-x)，故知函数故知函数y=f(x)y=f(
26、x)的图像关于的图像关于x=1x=1对称，对称，又又xx0,10,1时，时，f(x)=xf(x)=x，且，且f(x)f(x)的图像关于原点对称，则的图像关于原点对称，则f(x)f(x)的图像如图所示的图像如图所示4 9(2)由f(x)是(-,+)上的奇函数与f(x+2)50当当xx-4,4-4,4时，时，f(x)f(x)的图像与的图像与x x轴所围成的图形的面积为：轴所围成的图形的面积为：S=4SS=4SOABOAB=4=4(2 21)=4.1)=4.125 0 当x-4,4 时，f(x)的图像与x 轴所围成的图形的51【创新探究创新探究】创新应用函数的奇偶性与周期性创新应用函数的奇偶性与周期
27、性【典例典例】(2011(2011福建高考福建高考)对于函数对于函数f(x)=asinx+bx+c(f(x)=asinx+bx+c(其中其中,a,bR,cZ)a,bR,cZ)，选取，选取a,b,ca,b,c的一组值计算的一组值计算f(1)f(1)和和f(-1)f(-1)，所得，所得出的正确结果一定不可能是出的正确结果一定不可能是()()(A)4(A)4和和6 (B)36 (B)3和和1 1(C)2(C)2和和4 (D)14 (D)1和和2 25 1【创新探究】创新应用函数的奇偶性与周期性52【解题指南解题指南】解答本题需根据函数解答本题需根据函数f(x)f(x)解析式的结构特征，解析式的结构特
28、征，构造奇函数构造奇函数g(x)=f(x)-c,g(x)=f(x)-c,然后利用奇函数的性质，然后利用奇函数的性质，g(-g(-1)+g(1)=0,1)+g(1)=0,探究出探究出f(-1)+f(1)f(-1)+f(1)与与c c的关系，从而由的关系，从而由cZcZ限定限定f(1)f(1)与与f(-1)f(-1)不可能的取值不可能的取值.5 2【解题指南】解答本题需根据函数f(x)解析式的结构特征，53【规范解答规范解答】选选D.D.令令g(x)=f(x)-c=asinx+bx,g(x)=f(x)-c=asinx+bx,g(-x)=asin(-x)+b(-x)=-(asinx+bx)=-g(x
29、),g(-x)=asin(-x)+b(-x)=-(asinx+bx)=-g(x),g(x)g(x)为定义在为定义在R R上的奇函数上的奇函数.则由奇函数的性质，得则由奇函数的性质，得:g(-1)+g(1)=0,:g(-1)+g(1)=0,即即f(-1)+f(1)-2c=0.f(-1)+f(1)-2c=0.f(-1)+f(1)=2c,f(-1)+f(1)=2c,又又cZ,f(1)+f(-1)cZ,f(1)+f(-1)是偶数，是偶数，而选项中只有而选项中只有D D中两数和为奇数，故选中两数和为奇数，故选D.D.5 3【规范解答】选D.令g(x)=f(x)-c=a s i n x+54【阅卷人点拨阅
30、卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下创新通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨及备考建议点拨及备考建议:创创新新点点拨拨本题有以下创新点：本题有以下创新点：(1)(1)命题方式创新：题目虽为选择题，但并不是直接考查命题方式创新：题目虽为选择题，但并不是直接考查而是以间接否定的形式考查而是以间接否定的形式考查.(2)(2)考查内容创新：本题通过所给函数的解析式及所求函考查内容创新：本题通过所给函数的解析式及所求函数值，间接考查函数奇偶性的确定与应用，较好地考查数值，间接考查函数奇偶性的确定与应用，较好地考查了学生的创新应用意识、探究能力和逻辑推理能力，是了学生的创新应用意识、探究能力
31、和逻辑推理能力，是考查函数奇偶性与周期性的一个新的亮点考查函数奇偶性与周期性的一个新的亮点.5 4【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨55备备考考建建议议从该题的解答过程来看，我们在备考函数奇偶性与周期从该题的解答过程来看，我们在备考函数奇偶性与周期性时还应注意以下问题性时还应注意以下问题:(1)(1)熟练掌握函数奇偶性、周期性的有关概念及确定与应熟练掌握函数奇偶性、周期性的有关概念及确定与应用的方法用的方法.(2)(2)平时学习时在所给的解析式或函数关系中，要能从其平时学习时在所给的解析式或函数关系中，要能从其结构特征探究、发现其隐含的奇偶性、周期性，从而利结构特征探究、
32、发现其隐含的奇偶性、周期性，从而利用奇偶性、周期性将问题解决用奇偶性、周期性将问题解决.5 5 备从该题的解答过程来看，我们在备考函数奇偶性与周期561.(20111.(2011山东高考山东高考)已知已知f(x)f(x)是是R R上最小正周期为上最小正周期为2 2的周期函的周期函数数,且当且当0 x20 x2时时,f(x)=x,f(x)=x3 3-x-x，则函数，则函数y=f(x)y=f(x)的图像在区间的图像在区间0,60,6上与上与x x轴的交点个数为轴的交点个数为()()(A)6 (B)7 (C)8 (D)9(A)6 (B)7 (C)8 (D)95 6 1.(2 0 1 1 山东高考)已
33、知f(x)是R 上最小正周期为57【解析解析】选选B.B.令令f(x)=xf(x)=x3 3-x=0,-x=0,即即x(x+1)(x-1)=0,x(x+1)(x-1)=0,所以所以x=0,1,-1,x=0,1,-1,因为因为0 x2,0 x2,所以此时函数的零点有两个所以此时函数的零点有两个,即与即与x x轴的交点个轴的交点个数为数为2.2.因为因为f(x)f(x)是是R R上最小正周期为上最小正周期为2 2的周期函数，的周期函数，所以所以2x4,4x62x4,4x1,f(1)1,则则a a的取值范围是的取值范围是_._.2a3f(2)a 1，6 2 5.(2 0 1 2 南昌模拟)设函数f(x)是定义在R 上以363【解析解析】f(x)f(x)是定义在是定义在R R上以上以3 3为周期的奇函数，为周期的奇函数，f(2)=f(-3+2)=f(-1)=-f(1).f(2)=f(-3+2)=f(-1)=-f(1).答案：答案：(-1(-1，)2a32a3f(2),f(1)a 1a 12a3f(1),f(1)1a 12a31,(3a-2)(a 1)0a 121a.3 又，即而，整理得，解得236 3【解析】f(x)是定义在R 上以3 为周期的奇函数，646 4656 5
