1、 第 - 1 - 页 共 7 页 - 1 - 小题专项训练小题专项训练 8 立体几何立体几何 一、选择题 1若直线 a平面 ，直线 b直线 a，点 Ab 且 A，则 b 与 的位置关系是( ) AbA Bb Cb Db 或 b 【答案】B 【解析】由 a，bab 或 b.又 b 过 内一点，故 b. 2 (2019 年陕西模拟)已知平面 内有一个点 M(1， 1,2)， 平面 的一个法向量是 m(2， 1,2)，则下列点 P 中，在平面 内的是( ) AP(2,3,3) BP(2,0,1) CP(4,4,0) DP(3，3,4) 【答案】A 【解析】记 P(x，y，z)，则MP (x1，y1，
2、z2)，当MP ，即MP m2(x1)(y 1)2(z2)0，即 2xy2z7 时，点 P(x，y，z)在平面 内，验证知只有 A 满足故选 A 3设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 bm， 则“ab”是“ ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由 ，bm，得 b.又直线 a 在平面 内，所以 ab；但直线 a，m 不一 定相交，所以“ab”是“ ”的必要不充分条件故选 B 4(2019 年江苏宿迁期末)如图，一个底面水平放置的倒圆锥形容器，它的轴截面是正三 角形，容器内有一定量的水，
3、水深为 h.若在容器内放入一个半径为 1 的铁球后，水面所在的 平面恰好经过铁球的球心 O(水没有溢出)，则 h 的值为( ) A2 9 B 2 C 3 2 3 D32 【答案】D 【解析】作 ODAC，垂足为 D，则球的半径 rOD1，此时 OA2r2，倒圆锥的底 第 - 2 - 页 共 7 页 - 2 - 面半径 OC2tan 30 2 3 3 .放入小球之前，水深为 h.，则底面半径为 htan 30 3 3 h.由题意得 1 3 3 3 h 2h1 3 2 3 3 221 2 4 31 3，解得 h3 2.故选 D 5如图，两个圆锥和一个圆柱分别有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都
4、在同一 球面上若圆柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和，且该球的表面积为 16，则圆柱的体积 为( ) A2 B8 3 C6 D8 【答案】C 【解析】设球的半径为 R，则 4R216，解得 R2.设圆锥的高 O1AO2Bx，底面圆半 径 O1CO2Dy，则圆锥的母线长 AC x2y2，圆柱的高为 42x.由圆柱的侧面积等于两 个圆锥的侧面积之和，得 2y(42x)2y x2y2，则 y23x216x16.在 RtOO1C 中，可 得(2x)2y24， 解得 x4， y0 (舍去)或 x1， y 3. 所以圆柱的体积为 Vy2(42x)6.故选 C 6(2018 年广东珠海一模)如图，在直四棱柱
5、 ABCDA1B1C1D1中，四边形 ABCD 为梯形， ADBC，AA13，ABBCCD 3，BCD120 ，则直线 A1B 与 B1C 所成的角的余弦值 为( ) A7 8 B5 8 C 3 8 D 6 8 第 - 3 - 页 共 7 页 - 3 - 【答案】A 【解析】以 A 为原点，在平面 ABCD 中，过点 A 的 AD 的垂线为 x 轴，AD 为 y 轴，AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系，则 A1(0,0,3)，B 3 2， 3 2 ，0 ，B1 3 2， 3 2 ，3 ，C 3 2， 3 3 2 ，0 ，A1B 3 2， 3 2 ，3 ，B1C (0， 3，3)设直线 A1B
6、 与 B1C 所成的角为 ，则 cos |A1B B1C | |A1B |B1C | 21 2 12 7 8.故选 A 7已知 ABCD 为空间四边形，ABCD，ADBC，ABAD，M，N 分别是对角线 AC 与 BD 的中点，则 MN 与( ) AAC，BD 之一垂直 BAC，BD 都垂直 CAC，BD 都不垂直 DAC，BD 不一定垂直 【答案】B 【解析】ADBC，ABCD，BDBD，ABDCDB.连接 AN，CN，MN，则 AN CN.在等腰ANC 中，M 为 AC 的中点，MNAC.同理可得 MNBD.故选 B 8(2018 年福建福州模拟)已知直线 a，b 异面，给出以下命题： 一
7、定存在平行于 a 的平面 使 b； 一定存在平行于 a 的平面 使 b； 一定存在平行于 a 的平面 使 b； 一定存在无数个平行于 a 的平面 与 b 交于一定点 则其中真命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】对于，若存在平面 ，使得 b，则有 ba，而直线 a，b 未必垂直，不 正确；对于，注意到过直线 a，b 外一点 M 分别引直线 a，b 的平行线 a1，b1，显然由直线 a1，b1可确定平面 ，此时平面 与直线 a，b 均平行，正确；对于，注意到过直线 b 上的一点 B 作直线 a2与直线 a 平行，显然由直线 b 与 a2可确定平面 ，此时平面 与直线 a
8、 平行，且 b，正确；对于，在直线 b 上取一定点 N，过点 N 作直线 c 与直线 a 平行， 经过直线 c 的平面(除由直线 a 与 c 所确定的平面及直线 c 与 b 所确定的平面之外)均与直线 a 平行，且与直线 b 相交于一定点 N，正确综上，正确故选 C 9已知三棱锥 SABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形，SA 垂直于底面 ABC， SA3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为( ) A3 4 B 3 4 第 - 4 - 页 共 7 页 - 4 - C 5 4 D 7 4 【答案】A 【解析】如图，建立空间直角坐标系 Axyz，易知 S(0,0,3)
9、，B(2,0,0)，C(1， 3，0)设 平面 SBC 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n BC x，y，z 1， 3，00， n BS x，y，z 2，0，30， 可取 n(3， 3，2)又AB (2,0,0)，所以当 为 AB 与平面 SBC 所成的角时，sin |cos AB ，n|AB n| |AB |n| 6 2 16 3 4. 10(2019 年江西模拟)如图所示，在棱长为 6 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分 别是棱 C1D1，B1C1的中点，过 A，E，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为( ) A183 2 B6 133 2 C6 59 2 D10
10、3 24 10 【答案】B 【解析】在平面 A1B1C1D1中，双向延长 EF，分别与 A1D1，A1B1的延长线交于点 P，Q， 连接 AP 交 DD1于点 M，连接 AQ 交 BB1于点 N，则过 A，E，F 三点该正方体的截面为五边 形 AMEFN.易得 D1PB1Q1 2AD2， 则 DMBN4， D1MB1N2， 所以 AMAN 6 242 2 13，MENF 2232 13，EF 32323 2.所以截面的周长为 6 133 2.故选 B 第 - 5 - 页 共 7 页 - 5 - 11已知球 O1和球 O2的半径分别为 1 和 2，且球心距为 5.若两球体的表面相交得到一 个圆，
11、则该圆的面积为( ) A2 B C4 5 D 2 【答案】C 【解析】 作出两球面相交的一个截面图如图所示， AB 为相交圆的直径 由条件知 O1A1， O2A2，O1O2 5，AO1O2为直角三角形由三角形面积公式，得 ACO1A O2A O1O2 2 5， 所求圆的面积为 2 5 24 5 . 12(2018 年河北唐山模拟)设点 A，B，C 为球 O 的球面上三点，O 为球心，球 O 的表面 积为 100，且ABC 是边长为 4 3的正三角形，则三棱锥 OABC 的体积为( ) A12 B24 C24 3 D12 3 【答案】D 【解析】球 O 的表面积为 1004r2，球 O 的半径为
12、 5.如图，取ABC 的中心 H， 连接 OH，连接 AH 并延长交 BC 于点 M，则 AM4 32 4 3 2 26，AH2 3AM4， OH OA2AH2 52423，三棱锥 OABC 的体积为 V1 3 3 4 (4 3)2312 3. 二、填空题 13设一正方体外接球的体积为 V1，内切球的体积为 V2，则V1 V2_. 【答案】3 3 第 - 6 - 页 共 7 页 - 6 - 【解析】设正方体的边长为 1，则外接球半径 r1 3 2 ，内切球半径 r21 2，所以 V1 V2 4 3r 3 1 4 3r 3 2 3 3. 14已知平面 ， 和直线 m，给出条件：m；m；m；. 当
13、满足条件_时，有 m.(填所选条件的序号) 【答案】 【解析】根据面面平行的性质定理得，当 m， 时，m，故满足条件时，有 m. 15(2018 年辽宁沈阳三模)如图，将一块边长为 10 cm 的正方形铁片裁下四个全等的等腰 三角形(阴影部分)把余下的部分沿虚线折叠后围成一个正四棱锥，若被裁下阴影部分的总面积 为 20 cm2，则正四棱锥的体积为_cm3. 【答案】32 10 3 【解析】如图，设所截等腰三角形的底边边长为 x cm，由 41 25x20，解得 x2. 所得四棱锥的底面边长为 4 2，四棱锥的斜高 EF2512 223 2，四棱锥的高为 OE 3 222 22 10，所以该容器
14、的体积 V1 3(4 2) 2 1032 10 3 . 16(2018 年甘肃天水一模)四棱锥 PABCD 的三视图如图，且四棱锥 PABCD 的五个 顶点都在同一个球面上，E，F 分别是棱 AB，CD 的中点，直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2，则该球的表面积为_ 第 - 7 - 页 共 7 页 - 7 - 【答案】12 【解析】将三视图还原为直观图如图中四棱锥 PABCD，可得四棱锥 PABCD 的五个 顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球设外接球的球心为 O，则 O 也是正方体的中心，设 EF 的中点为 G，连接 OG，OA，AG.直线 EF 被球面所截得的线段 长为 2 2，即正方体面对角线长也是 2 2，AG 2 2 2 a，得 a2.在 RtOGA 中，OG 1 2a1，AG 2，则 AO 3，即外接球半径 R 3，所求外接球的表面积为 4R 212.
