2020届高考理科数学全优二轮复习训练:专题2 第2讲 解三角形.DOC

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1、 第 - 1 - 页 共 5 页 - 1 - 专题复习检测专题复习检测 A 卷 1在ABC 中,a 2,A45 ,则ABC 外接圆的半径 R 等于( ) A1 B2 C4 D无法确定 【答案】A 【解析】2R a sin A 2 sin 45 2,R1. 2(2019 年陕西模拟)在ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,(abc)(ac b)3ac,则角 B( ) A2 3 B 3 C5 6 D 6 【答案】B 【解析】由(abc)(acb)3ac,可得 a2c2b2ac,根据余弦定理可得 cos B a2c2b2 2ac 1 2.又 B(0,),所以 B 3.故选 B 3(2

2、019 年北京模拟)在ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若C30 , a 2c,则角 B 等于( ) A45 B105 C15 或 105 D45 或 135 【答案】C 【解析】 由正弦定理 a sin A c sin C, 得 sin A asin C c 2csin 30 c 2 2 , 所以A45 或 135 . 所以B105 或 15 .故选 C 4(2018 年陕西榆林二模)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,sin A sin B 1 3, 若 c2cos C 3,则ABC 的周长为( ) A3 B2 3 C3 3 D32 3 【答案】

3、D 【解析】由sin A sin B 1 3及正弦定理,得 a b 1 3.设 at,则 b 3t.又 c2cos C 3,则 c 3,且 cos C 3 2 .由余弦定理,得 c2a2b22abcos C4t23t23,解得 t 3.所以 a 3,b3,ABC 的周长abc32 3. 第 - 2 - 页 共 5 页 - 2 - 5边长为 5,7,8 的三角形中,最大角与最小角之和为( ) A90 B120 C135 D150 【答案】B 【解析】设边长为 5,7,8 的对角分别为 A,B,C,则 ABC.由题意,得 cos B5 28272 258 1 2,cos(AC)cos B 1 2.

4、AC120 . 6(2019 年新课标)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 b6,a2c,B 3,则ABC 的面积为_ 【答案】6 3 【解析】 由余弦定理b2a2c22accos B及b6, a2c, B 3, 得36(2c) 2c24c2cos 3, 解得 c212.所以 SABC1 2acsin Bc 2sin B6 3. 7(2018 年福建福州模拟)如图,小张在山顶 A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿 直线匀速行驶,小张在 A 处测得公路上 B,C 两点的俯角分别为 30 ,45 ,且BAC135 . 若山高 AD100 m,汽车从 B 点到 C 点历时

5、14 s,则这辆汽车的速度约为_m/s.(精确 到 0.1,参考数据: 21.414, 52.236) 【答案】22.6 【解析】小张在 A 处测得公路上 B,C 两点的俯角分别为 30 ,45 ,BAD60 , CAD45 .设这辆汽车的速度为 v m/s, 则 BC14v.在 RtADB 中, AB AD cosBAD 100 cos 60 200.在 RtADC 中, AC AD cosCAD 100 cos 45 100 2.在ABC 中, 由余弦定理得 BC2AC2 AB22AC AB cosBAC,(14v)2(100 2)220022100 2200cos 135 ,v 50 1

6、0 7 22.6,即这辆汽车的速度约为 22.6 m/s. 8(2019 年江苏)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. (1)若 a3c,b 2,cos B2 3,求 c 的值; (2)若sin A a cos B 2b ,求 sin B 2 的值 【解析】(1)在ABC 中,由余弦定理,得 cos Ba 2c2b2 2ac 10c 22 6c2 2 3,解得 c 3 3 . 第 - 3 - 页 共 5 页 - 3 - (2)由sin A a cos B 2b 及正弦定理,得sin A a sin B b cos B 2b ,2sin Bcos B. 代入 sin2Bcos

7、2B1,解得 sin B 5 5 ,cos B2 5 5 . sin B 2 cos B2 5 5 . 9(2019 年北京)在ABC 中,a3,bc2,cos B1 2. (1)求 b,c 的值; (2)求 sin(BC)的值 【解析】(1)a3,bc2,cos B1 2, 由余弦定理 b2a2c22accos B, 可得 b232(b2)223(b2) 1 2 . b7,cb25. (2)在ABC 中,cos B1 2,sin B 3 2 . 由正弦定理有 c sin C b sin B, sin Ccsin B b 5 3 2 7 5 3 14 . 由 cos B1 2可知 B 为钝角,

8、则 C 为锐角, cos C1 5 3 14 211 14. sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 3 2 11 14 1 2 5 3 14 4 3 7 . B 卷 10在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若ABC 的面积为 S,且 2S (ab)2c2,则 tan C 等于( ) A3 4 B4 3 C4 3 D3 4 【答案】C 【解析】因为 2S(ab)2c2a2b2c22ab,结合三角形的面积公式与余弦定理,得 absin C 2abcos C 2ab , 即 sin C 2cos C 2 , 所 以 (sin C 2cos C)2 4 , si

9、n2C4sin Ccos C4cos2C sin2Ccos2C 4.所以tan 2C4tan C4 tan 2C1 4,解得 tan C4 3或 tan C0(舍 第 - 4 - 页 共 5 页 - 4 - 去)故选 C 11(2018 年河北邢台模拟)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 b2c2a2bc,AB BC 0,a3 2 ,则 bc 的取值范围是( ) A 1,3 2 B 3 2 ,3 2 C 1 2, 3 2 D 1 2, 3 2 【答案】B 【解析】由 b2c2a2bc,得 cos Ab 2c2a2 2bc 1 2,则 A 3.由AB BC 0,知

10、B 为钝 角 又 a sin A1, 则 bsin B, csin C, bcsin Bsin Csin Bsin 2 3 B 3 2sin B 3 2 cos B 3sin B 6 . 2B 2 3 ,2 3 B 6 5 6 , 1 2sin B 6 3 2 ,bc 3 2 ,3 2 . 12ABC 的三个内角为 A,B,C,若 3cos Asin A 3sin Acos Atan 7 12 ,则 2cos Bsin 2C 的 最大值为_ 【答案】3 2 【解析】 3cos Asin A 3sin Acos A 2sin A 3 2sin A 6 sin A 3 cos A 3 tan A

11、3 tan A 3 tan 7 12 , A 3 7 12, 得 A 7 12 3 4.2cos Bsin 2C2cos Bsin 2 3 4 B 2cos Bsin 3 2 2B 2cos Bcos 2B2cos B2cos2B12 cos B1 2 23 2.当 cos B 1 2 时,2cos Bsin 2C 有最大值3 2. 13(2019 年江西南昌模拟)为改善居民的生活环境,政府拟将一公园进行改造扩建,已知 原公园是直径为 200 米的半圆形,出入口在圆心 O 处,A 为居民小区,OA 的距离为 200 米, 按照设计要求,以居民小区 A 和圆弧上点 B 为线段向半圆外作等腰直角三

12、角形 ABC(C 为直角 顶点),使改造后的公园成四边形 OACB,如图所示 第 - 5 - 页 共 5 页 - 5 - (1)当 OBOA 时,C 与出入口 O 的距离为多少米? (2)B 设计在什么位置时,公园 OACB 的面积最大? 【解析】 (1)设OAB, 当 OBOA 时, AB 10022002100 5, sin 100 100 5 5 5 , cos 200 100 5 2 5 5 . 在等腰直角三角形 ABC 中,AC 2 2 AB50 10,BAC 4. 在OAC 中,cos OACcos 4 2 5 5 2 2 5 5 2 2 10 10 ,由余弦定理得 OC2 200

13、2(50 10)2220050 10 10 10 45 000, 所以 OC150 2,即 C 与出入口 O 的距离为 150 2米 (2)设AOB,则 SOAB1 2OA OBsin 10 000sin , AB2100220022100200cos 50 00040 000cos , 所以 SABC1 2AC 21 4AB 212 50010 000cos . 所以 SOACBSOABSABC10 000(sin cos )12 50010 000 2sin 4 12 500. 当 sin 4 1,即 3 4 时,四边形 OACB 的面积最大,所以 B 设计在圆弧上使AOB 3 4 的位置时,公园 OACB 的面积最大

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