1、 第 - 1 - 页 共 5 页 - 1 - 专题复习检测专题复习检测 A 卷 1在ABC 中，a 2，A45 ，则ABC 外接圆的半径 R 等于( ) A1 B2 C4 D无法确定 【答案】A 【解析】2R a sin A 2 sin 45 2，R1. 2(2019 年陕西模拟)在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，(abc)(ac b)3ac，则角 B( ) A2 3 B 3 C5 6 D 6 【答案】B 【解析】由(abc)(acb)3ac，可得 a2c2b2ac，根据余弦定理可得 cos B a2c2b2 2ac 1 2.又 B(0，)，所以 B 3.故选 B 3(2
2、019 年北京模拟)在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，若C30 ， a 2c，则角 B 等于( ) A45 B105 C15 或 105 D45 或 135 【答案】C 【解析】 由正弦定理 a sin A c sin C， 得 sin A asin C c 2csin 30 c 2 2 ， 所以A45 或 135 . 所以B105 或 15 .故选 C 4(2018 年陕西榆林二模)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，sin A sin B 1 3， 若 c2cos C 3，则ABC 的周长为( ) A3 B2 3 C3 3 D32 3 【答案】
3、D 【解析】由sin A sin B 1 3及正弦定理，得 a b 1 3.设 at，则 b 3t.又 c2cos C 3，则 c 3，且 cos C 3 2 .由余弦定理，得 c2a2b22abcos C4t23t23，解得 t 3.所以 a 3，b3，ABC 的周长abc32 3. 第 - 2 - 页 共 5 页 - 2 - 5边长为 5,7,8 的三角形中，最大角与最小角之和为( ) A90 B120 C135 D150 【答案】B 【解析】设边长为 5,7,8 的对角分别为 A，B，C，则 ABC.由题意，得 cos B5 28272 258 1 2，cos(AC)cos B 1 2.
4、AC120 . 6(2019 年新课标)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 b6，a2c，B 3，则ABC 的面积为_ 【答案】6 3 【解析】 由余弦定理b2a2c22accos B及b6， a2c， B 3， 得36(2c) 2c24c2cos 3， 解得 c212.所以 SABC1 2acsin Bc 2sin B6 3. 7(2018 年福建福州模拟)如图，小张在山顶 A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿 直线匀速行驶，小张在 A 处测得公路上 B，C 两点的俯角分别为 30 ，45 ，且BAC135 . 若山高 AD100 m，汽车从 B 点到 C 点历时
5、14 s，则这辆汽车的速度约为_m/s.(精确 到 0.1，参考数据： 21.414， 52.236) 【答案】22.6 【解析】小张在 A 处测得公路上 B，C 两点的俯角分别为 30 ，45 ，BAD60 ， CAD45 .设这辆汽车的速度为 v m/s， 则 BC14v.在 RtADB 中， AB AD cosBAD 100 cos 60 200.在 RtADC 中， AC AD cosCAD 100 cos 45 100 2.在ABC 中， 由余弦定理得 BC2AC2 AB22AC AB cosBAC，(14v)2(100 2)220022100 2200cos 135 ，v 50 1
6、0 7 22.6，即这辆汽车的速度约为 22.6 m/s. 8(2019 年江苏)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. (1)若 a3c，b 2，cos B2 3，求 c 的值； (2)若sin A a cos B 2b ，求 sin B 2 的值 【解析】(1)在ABC 中，由余弦定理，得 cos Ba 2c2b2 2ac 10c 22 6c2 2 3，解得 c 3 3 . 第 - 3 - 页 共 5 页 - 3 - (2)由sin A a cos B 2b 及正弦定理，得sin A a sin B b cos B 2b ，2sin Bcos B. 代入 sin2Bcos
7、2B1，解得 sin B 5 5 ，cos B2 5 5 . sin B 2 cos B2 5 5 . 9(2019 年北京)在ABC 中，a3，bc2，cos B1 2. (1)求 b，c 的值； (2)求 sin(BC)的值 【解析】(1)a3，bc2，cos B1 2， 由余弦定理 b2a2c22accos B， 可得 b232(b2)223(b2) 1 2 . b7，cb25. (2)在ABC 中，cos B1 2，sin B 3 2 . 由正弦定理有 c sin C b sin B， sin Ccsin B b 5 3 2 7 5 3 14 . 由 cos B1 2可知 B 为钝角，
8、则 C 为锐角， cos C1 5 3 14 211 14. sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 3 2 11 14 1 2 5 3 14 4 3 7 . B 卷 10在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为 S，且 2S (ab)2c2，则 tan C 等于( ) A3 4 B4 3 C4 3 D3 4 【答案】C 【解析】因为 2S(ab)2c2a2b2c22ab，结合三角形的面积公式与余弦定理，得 absin C 2abcos C 2ab ， 即 sin C 2cos C 2 ， 所 以 (sin C 2cos C)2 4 ， si
9、n2C4sin Ccos C4cos2C sin2Ccos2C 4.所以tan 2C4tan C4 tan 2C1 4，解得 tan C4 3或 tan C0(舍 第 - 4 - 页 共 5 页 - 4 - 去)故选 C 11(2018 年河北邢台模拟)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 b2c2a2bc，AB BC 0，a3 2 ，则 bc 的取值范围是( ) A 1，3 2 B 3 2 ，3 2 C 1 2， 3 2 D 1 2， 3 2 【答案】B 【解析】由 b2c2a2bc，得 cos Ab 2c2a2 2bc 1 2，则 A 3.由AB BC 0，知
10、B 为钝 角 又 a sin A1， 则 bsin B， csin C， bcsin Bsin Csin Bsin 2 3 B 3 2sin B 3 2 cos B 3sin B 6 . 2B 2 3 ，2 3 B 6 5 6 ， 1 2sin B 6 3 2 ，bc 3 2 ，3 2 . 12ABC 的三个内角为 A，B，C，若 3cos Asin A 3sin Acos Atan 7 12 ，则 2cos Bsin 2C 的 最大值为_ 【答案】3 2 【解析】 3cos Asin A 3sin Acos A 2sin A 3 2sin A 6 sin A 3 cos A 3 tan A
11、3 tan A 3 tan 7 12 ， A 3 7 12， 得 A 7 12 3 4.2cos Bsin 2C2cos Bsin 2 3 4 B 2cos Bsin 3 2 2B 2cos Bcos 2B2cos B2cos2B12 cos B1 2 23 2.当 cos B 1 2 时，2cos Bsin 2C 有最大值3 2. 13(2019 年江西南昌模拟)为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知 原公园是直径为 200 米的半圆形，出入口在圆心 O 处，A 为居民小区，OA 的距离为 200 米， 按照设计要求，以居民小区 A 和圆弧上点 B 为线段向半圆外作等腰直角三
12、角形 ABC(C 为直角 顶点)，使改造后的公园成四边形 OACB，如图所示 第 - 5 - 页 共 5 页 - 5 - (1)当 OBOA 时，C 与出入口 O 的距离为多少米？ (2)B 设计在什么位置时，公园 OACB 的面积最大？ 【解析】 (1)设OAB， 当 OBOA 时， AB 10022002100 5， sin 100 100 5 5 5 ， cos 200 100 5 2 5 5 . 在等腰直角三角形 ABC 中，AC 2 2 AB50 10，BAC 4. 在OAC 中，cos OACcos 4 2 5 5 2 2 5 5 2 2 10 10 ，由余弦定理得 OC2 200
13、2(50 10)2220050 10 10 10 45 000， 所以 OC150 2，即 C 与出入口 O 的距离为 150 2米 (2)设AOB，则 SOAB1 2OA OBsin 10 000sin ， AB2100220022100200cos 50 00040 000cos ， 所以 SABC1 2AC 21 4AB 212 50010 000cos . 所以 SOACBSOABSABC10 000(sin cos )12 50010 000 2sin 4 12 500. 当 sin 4 1，即 3 4 时，四边形 OACB 的面积最大，所以 B 设计在圆弧上使AOB 3 4 的位置时，公园 OACB 的面积最大
