1、 第 - 1 - 页 共 9 页 - 1 - 专题复习检测专题复习检测 A 卷 1在空间四边形 OABC 中，OBOC，AOBAOC 3，则 cosOA ，BC 等于( ) A1 2 B 2 2 C1 2 D0 【答案】D 【解析】OA BC OA (OC OB )OA OC OA OB |OA | |OC |cosOA ，OC |OA | |OB |cosOA ，OB |OA | |OC |cos 3|OA | |OB |cos 30，cosOA ，BC 0. 2已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线 BC1和平面 DBB1D1 夹角的正弦值为( ) A 3 2
2、 B 3 3 C 10 5 D 10 10 【答案】C 【解析】如图，建立空间直角坐标系，则 B(4,0,0)，C(4,4,0)，C1(4,4,2)，显然 AC平面 BB1D1D，所以AC (4,4,0)为平面 BB 1D1D 的一个法向量又BC1 (0,4,2)，所以 cosBC1 ，AC BC1 AC |BC1 |AC | 16 164 1616 10 5 ，即直线 BC1和平面 DBB1D1夹角的正弦值为 10 5 . 3 已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直， 体积为9 4， 底面是边长为 3的正三角形 若 P 为底面 A1B1C1的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大
3、小为( ) A5 12 B 3 C 4 D 6 【答案】B 【解析】如图，过 P 作 PP平面 ABC 于 P，则 P为平面 ABC 的中心连接 AP， 延长交 BC 于点 M，则PAP 即为 PA 与平面 ABC 所成的角由 VSh，得 hV S 第 - 2 - 页 共 9 页 - 2 - 9 4 1 2 3 3 2 3 3，即 PP 3.又 AP2 3AM1，所以 tanPAP 3.所以PAP 3.故选 B 4二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内且都垂 直于 AB.已知 AB4，AC6，BD8，CD2 17，则该二面角的大小为( ) A150 B4
4、5 C60 D120 【答案】C 【解析】 由条件知CA AB0， AB BD 0， 因为CD CA ABBD ， 所以|CD |2|CA |2|AB |2|BD |22CA AB2AB BD 2CA BD 624282268cosCA ，BD (2 17)2.所以 cosCA ，BD 1 2，则CA ，BD 120 ，即AC ，BD 60 .所以二面角的大小为 60 . 5(2018 年广东东莞模拟)如图，圆锥的底面直径 AB2，高 OC 2，D 为底面圆周上 的一点，AOD120 ，则空间中两条直线 AD 与 BC 所成的角为( ) A30 B60 C75 D90 【答案】B 【解析】如图
5、，取弧 AB 中点 E，以 O 为原点，OE 所在直线为 x 轴，OB 所在直线为 y 轴，OC 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系由题意得 A(0，1,0)，B(0,1,0)，C(0,0， 2)， D 3 2 ，1 2，0 ，则AD 3 2 ，3 2，0 ，BC (0，1， 2)设直线 AD 与 BC 所成的角为 ，则 cos |AD BC | |AD | |BC | 1 2，60 .故选 B 第 - 3 - 页 共 9 页 - 3 - 6 (2019年上海改编)已知向量a(1,0,2)， b(2,1,0)， 则a与b的夹角的余弦值为_ 【答案】2 5 【解析】cos a b |a|b|
6、200 5 5 2 5. 7如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M 是侧棱 CC1的中点，则异面 直线 AB1和 BM 所成的角的大小是_ 【答案】90 【解析】不妨设棱长为 2，则AB1 BB1 BA ，BM BC 1 2BB1 ，cosAB1 ，BM BB1 BA BC 1 2BB1 2 2 5 |0220| 2 2 5 0，所以AB1 ，BM 90 . 8正方形 ABCD 所在平面外有一点 P，PA平面 ABCD，若 PAAB，则平面 PAB 与平 面 PCD 的夹角的余弦值为_ 【答案】45 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系， 设 PAAB1.则 A(0,0,
7、0)， D(0,1,0)， P(0,0,1) 于 是AD (0,1,0)取 PD 中点为 E，则 E 0，1 2， 1 2 ，AE 0，1 2， 1 2 .易知AD 是平面 PAB 的法 向量，AE 是平面 PCD 的法向量，cosAD ，AE 2 2 ，平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为 45 . 9(2017 年新课标)如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，ABBC1 2AD，BADABC90 ，E 是 PD 的中点 第 - 4 - 页 共 9 页 - 4 - (1)求证：直线 CE平面 PAB； (2)点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与
8、底面 ABCD 所成角为 45 ，求二面角 MABD 的余 弦值 【解析】(1)证明：取 PA 的中点 F，连接 EF，BF. E，F 分别是 PD，PA 的中点，EFAD，EF1 2AD. 又BADABC90 ，BCAD. 又 BC1 2AD，EFBC，EFBC. 四边形 BCEF 是平行四边形，CEBF. 又 BF平面 PAB，CE平面 PAB， CE平面 PAB. (2)由已知得 BAAD，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，取 AB1， 则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1， 3)， PC (1,0， 3)，AB(1,0,0) 设 M(x，y，z)(
9、0x1)，则BM (x1，y，z)，PM (x，y1，z 3) BM 与底面 ABCD 所成的角为 45 ，n(0,0,1)是底面 ABCD 的法向量， |cosBM ，n| |z| x12y2z2 2 2 ， 即(x1)2y2z20. 又 M 在棱 PC 上，设PM PC ， 则 x，y1，z 3 3. 由解得 x1 2 2 ， y1， z 6 2 或 x1 2 2 ， y1， z 6 2 (舍去) 第 - 5 - 页 共 9 页 - 5 - 设 m(x0，y0，z0)是平面 ABM 的法向量， 则 m AM 0， m AB 0， 得 1 2 2 x0y0 6 2 z00， x00. 可取
10、m(0， 6，2)，则 cosm，n m n |m|n| 10 5 ， 二面角 MABD 的余弦值为 10 5 . 10(2019 年河南郑州模拟)如图，ABC 中，ABBC2，ABC90 ，E，F 分别为 AB，AC 边的中点，以 EF 为折痕把AEF 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PBBE. (1)求证：EF平面 PBE； (2)N 为线段 PF 上的动点，求直线 BN 与平面 PCF 所成角的正弦值的最大值 【解析】(1)因为 E，F 分别为 AB，AC 边的中点，所以 EFBC. 因为ABC90 ，所以 EFBE，EFPE. 又因为 BEPEE，所以 EF平面 PBE. (2
11、)因为 EF平面 PBE，EF平面 BCFE， 所以平面 BCFE平面 PBE. 由题意得 PBPEBE，取 BE 的中点 O，连接 PO， 则 POBE，PO平面 BCFE. 以 O 为原点，OB 为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz. 可得 P 0，0， 3 2 ，B 1 2，0，0 ，C 1 2，2，0 ， F 1 2，1，0 ， 则PC 1 2，2， 3 2 ，PF 1 2，1， 3 2 . 设平面 PCF 的法向量为 m(x，y，z)， 第 - 6 - 页 共 9 页 - 6 - 则 m PC 1 2x2y 3 2 z0， m PF 1 2xy 3 2 z0，
12、取 x2，可得 y2，z2 3， 则 m(2，2，2 3) 设PN PF(01)，则BNBPPF 1 2，0， 3 2 1 2，1， 3 2 1 2 1 2， 3 2 3 2 . 设直线 BN 与平面 PCF 所成角为 ， 则 sin |cos m，BN |m BN | |m|BN | 4 2 5 221. 对于 2212 1 4 27 8，当 1 4时取得最小值 7 8， 此时 sin 取得最大值4 70 35 . 所以直线 BN 与平面 PCF 所成角的正弦值的最大值为4 70 35 . B 卷 11已知三棱锥 SABC 的各棱长均相等，O 为ABC 的中心，E 是 SA 的中点，则异面
13、直线 OE 与 AB 所成角的正弦值为( ) A 2 3 B 3 3 C 2 2 D 3 2 【答案】D 【解析】如图，取 SB 的中点 F，连接 OA，OB，OF，EF，则 EFAB，且 EF1 2AB， OEF(或其补角)就是异面直线 OE 与 AB 所成的角 O 是等边三角形 ABC 的中心， 设ABC 边长为 1，OA 3 3 ，SO底面 ABC.SOA90 .在 RtSOA 中，E 是斜边 SA 的中点， OE1 2SA 1 2.同理可得 OF 1 2.又 EF 1 2AB 1 2，OEF 是正三角形，OEF60 ，即 第 - 7 - 页 共 9 页 - 7 - 异面直线 OE 与
14、AB 所成角的正弦值为 3 2 . 12(2019 年浙江)设三棱锥 VABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱 VA 上的 点(不含端点)记直线 PB 与直线 AC 所成角为 ，直线 PB 与平面 ABC 所成角为 ，二面角 P ACB 的平面角为 ，则( ) A， B， C， D， 【答案】B 【解析】方法一：如图 G 为 AC 的中点，V 在底面的射影为 O，则 P 在底面上的射影 D 在线段 AO 上，作 DEAC 于 E.易得 PEVG，过 P 作 PFAC 交 VG 于 F，过 D 作 DHAC 交 BG 于 H，则 BPF，PBD，PED，则 cos PF PB EG P
15、B DH PB BD PBcos ，可 得 ；tan PD ED PD BDtan ，可得 .故选 B 方法二(特殊图形法)：设三棱锥 VABC 为棱长为 2 的正四面体，P 为 VA 的中点，易得 cos 1 2 3 3 6 ，所以 sin 33 6 ，sin 6 3 3 2 3 ，sin 6 3 3 2 2 2 3 ，则 ，.故选 B 13P 是二面角 AB 棱上的一点，分别在平面 ， 上引射线 PM，PN，如果BPM BPN45 ，MPN60 ，那么二面角 AB 的大小为_ 【答案】90 【解析】不妨设 PMa，PNb，如图，作 MEAB 于 E，NFAB 于 F，EPM FPN45 ，
16、PE 2 2 a，PF 2 2 b. 第 - 8 - 页 共 9 页 - 8 - EM FN (PM PE ) (PNPF) PM PN PM PF PE PNPE PF abcos 60 a 2 2 bcos 45 2 2 abcos 45 2 2 a 2 2 b ab 2 ab 2 ab 2 ab 2 0. EM FN ，即二面角 AB 的大小为 90 . 14(2019 年天津)如图，AE平面 ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1， AEBC2. (1)求证：BF平面 ADE； (2)求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值； (3)若二面角 EBDF 的余弦值为1 3
17、，求线段 CF 的长 【解析】(1)证明：以 A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系，依题意可得 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2) 设 CFh，则 F(1,2，h) 易知AB (1,0,0)是平面 ADE 的一个法向量， 又BF (0,2，h)，BF AB0. 又直线 BF平面 ADE，BF平面 ADE. 第 - 9 - 页 共 9 页 - 9 - (2)依题意，BD (1,1,0)，BE (1,0,2)，CE(1，2,2) 设 n(x，y，z)为平面 BDE 的法向量，则 n BD 0， n BE 0， 即 xy0， x2z0. 令 z1，得 n(2,2,1) cos CE ，nCE n |CE |n| 4 9. 直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值为4 9. (3)设 m(x1，y1，z1)为平面 BDF 的法向量，则 m BD 0， m BF 0， 即 xy0， 2yhz0. 令 y1，得 m 1，1，2 h . |cos m，n|m n| |m|n| 42 h 32 4 h2 1 3，解得 h 8 7. 经检验，符合题意，故线段 CF 的长为8 7.
