1、 第 - 1 - 页 共 7 页 - 1 - 专题复习检测专题复习检测 A 卷 1(2018 年北京海淀区校级三模)若双曲线 C1：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)与 C2： y2 a2 x2 b21 的离心率分别为 e1和 e2，则下列说法正确的是( ) Ae21e22 B 1 e21 1 e221 CC1与 C2的渐近线相同 DC1与 C2的图象有 8 个公共点 【答案】A 【解析】由题意，e1 a2b2 a 1，e2 a2b2 a 1，显然 e21e22.故选 A 2(2019 年河南焦作模拟)设 P 是椭圆x 2 25 y2 91 上一点，M，N 分别是两圆(x4) 2y2 1
2、 和(x4)2y21 上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为( ) A9,12 B8,11 C8,12 D10,12 【答案】C 【解析】 如图， 由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点， 由椭圆定义知|PA| |PB|2a10.连接 PA，PB 分别与圆相交于 M，N 两点，此时|PM|PN|最小，最小值为|PA| |PB|2R8；连接 PA，PB 并延长，分别与圆相交于 M，N 两点，此时|PM|PN|最大，最 大值为|PA|PB|2R12.故选 C 3已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)右支上非顶点的一点 A 关于原点 O 的对称点为 B， F 为其
3、右焦点， 若 AFFB， 设ABF 且 12， 4 ， 则双曲线离心率的取值范围是( ) A( 2，2 B(1， 2 C( 2，) D(2，) 【答案】C 【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为 F，连接 AF，BF.AFFB，四边形 AFBF为矩形因此|AB|FF|2c.则|AF|2csin ，|BF|2ccos .|AF|AF|2a. 第 - 2 - 页 共 7 页 - 2 - 2ccos 2csin 2a，即 c(cos sin )a，则 ec a 1 cos sin 1 2cos 4 . 12， 4 ， 4 3， 2 ，则 cos 4 0，1 2 ， 2cos 4 0， 2 2 ，则 1
4、 2cos 4 1 2 2 2，即 e 2，故双曲线离心率的取值范围是( 2，)故选 C 4已知点 A(2,3)在抛物线 C：y22px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于 点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为( ) A1 2 B1 3 C3 4 D4 3 【答案】D 【解析】根据已知条件，得p 22，所以 p4.从而抛物线的方程为 y 28x，其焦点为 F(2,0)设切点 B(x0，y0)，由题意，在第一象限内 y28xy2 2x.由导数的几何意义可知切 线的斜率为 kABy| xx0 2 x0，而切线的斜率也可以为 kAB y03 x02.又因为切点 B(x
5、0， y0)在曲线上，所以 y208x0.由上述条件解得 x08， y08， 即 B(8,8)从而直线 BF 的斜率为80 82 4 3.故选 D 5(2018 年黑龙江绥化检测)已知圆 C1：x2y24ax4a240 和圆 C2：x2y22by b210 只有一条公切线，若 a，bR 且 ab0，则 1 a2 1 b2的最小值为( ) A2 B4 C8 D9 【答案】D 【解析】圆 C1的标准方程为(x2a)2y24，其圆心为(2a,0)，半径为 2；圆 C2的标准 方程为 x2(yb)21，其圆心为(0，b)，半径为 1.圆 C1和圆 C2只有一条公切线，圆 C1 与圆 C2相内切， 2a
6、020b221，得 4a2b21. 1 a2 1 b2 1 a2 1 b2 (4a2b2) 第 - 3 - 页 共 7 页 - 3 - 5b 2 a2 4a2 b2 52 b2 a2 4a2 b2 9，当且仅当b 2 a2 4a2 b2 ，且 4a2b21，即 a21 6，b 21 3时等号 成立 1 a2 1 b2的最小值为 9. 6(2018 年浙江绍兴检测)双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的两条渐近线将平面划分为“上、 下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率 e 的取值范围 是_ 【答案】 5 2 ， 【解析】 双曲线x 2 a2 y
7、2 b21的渐近线方程为y b ax， 且“右”区域是由不等式组 yb ax 所确定又点(2,1)在“右”区域内，1 1 2.双曲线的离心率 e 1 b a 2 5 2 ， . 7已知实数 x，y 满足方程(xa1)2(y1)21，当 0yb(bR)时，由此方程可以 确定一个偶函数 yf(x)，则抛物线 y1 2x 2 的焦点 F 到点(a，b)的轨迹上点的距离最大值为 _ 【答案】 13 2 【解析】由题意可得圆的方程一定关于 y 轴对称，故由a10，求得 a1.由圆的几何 性质知，只有当 y1 时，才能保证此圆的方程确定的函数是一个偶函数，故 0b1.由此知 点(a，b)的轨迹是一线段，其
8、横坐标是 1，纵坐标属于(0,1，又抛物线 y1 2x 2，故其焦点坐 标 为 0，1 2 ， 由 此 可 以 判 断 出 焦 点 F 到 点 (a ， b) 的 轨 迹 上 点 的 距 离 最 大 值 是 102 11 2 2 13 2 . 8(2018 年湖北襄阳模拟)已知直线 l： 3xym0 与双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b 0)右支交于 M，N 两点，点 M 在第一象限，若点 Q 满足OM OQ 0(其中 O 为坐标原点)，且 MNQ30 ，则双曲线 C 的渐近线方程为_ 【答案】y x 【解析】由题意可知 M，Q 关于原点对称，设 M(m，n)，N(u，v)，则
9、Q(m，n)，代 入双曲线方程， 得m 2 a2 n2 b21， u2 a2 v2 b21， 两式相减， 得 m2u2 a2 n 2v2 b2 ， kMN kQNnv mu nv mu 第 - 4 - 页 共 7 页 - 4 - n 2v2 m2u2 b2 a2.kMN 3，kQNtan 150 3 3 ，b 2 a21，即 ab.双曲线 C 的渐近线方 程为 y x. 9(2019 年重庆期末)如图，焦距为 2 的椭圆 E 的两个顶点分别为 A，B，且AB 与 n( 2， 1)共线 (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)若直线 ykxm 与椭圆 E 有两个不同的交点 P 和 Q，当 k 变化
10、时，原点 O 总在以 PQ 为直径的圆的内部，求实数 m 的取值范围 【解析】(1)因为 2c2，所以 c1. 又AB (a，b)，且ABn， 所以 2ba，所以 2b2b21，所以 b21，a22. 所以椭圆 E 的标准方程为x 2 2y 21. (2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把 ykxm 代入x 2 2y 21， 消去 y，得(2k21)x24kmx2m220. 所以 x1x2 4km 2k21，x1x2 2m22 2k21， 16k28m280，即 m20)的左、右焦点，以线段 F1F2为直径的圆 交双曲线的右支于点 P，若PF1F2，则双曲线离心率为_(结果用 表示)
11、【答案】 1 cos sin 【解析】 依题意， 知 PF1PF2， |PF1|2c cos ， |PF2|2c sin .e2c 2a 2c |PF1|PF2| 1 cos sin . 14(2019 年山东威海模拟)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2， 上顶点为 B，Q 为抛物线 y212x 的焦点，且F1B QB 0,2F1F2 QF1 0. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过定点 P(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点(M 在 P，N 之间)，设直线 l 的斜率为 k(k0)，在 x 轴上是否存在点 A(m,0)，使得
12、以 AM，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在， 求出实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 第 - 7 - 页 共 7 页 - 7 - 【解析】(1)由已知 Q(3,0)，F1BQB，|QF1|4c3c，所以 c1. 在 RtF1BQ 中，F2为线段 F1Q 的中点，故|BF2|2c2，所以 a2. 所以椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y2 31. (2)设直线 l 的方程为 ykx2(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，取 MN 的中点为 E(x0，y0) 假设存在点 A(m,0)使得以 AM，AN 为邻边的平行四边形为菱形，则 AEMN. 由 ykx2， x2 4 y2 31， 化简，得(4k23)x216kx40，0k21 4. 又 k0，所以 k1 2. 因为 x1x2 16k 4k23， 所以 x0 8k 4k23，y0kx02 6 4k23. 因为 AEMN，所以 kAE1 k，即 6 4k230 8k 4k23m 1 k，整理得 m 2k 4k23 2 4k3 k . 因为 k1 2时，4k 3 k4 3， 1 4k3 k 0， 3 12 ， 所以 m 3 6 ，0 .
