1、第四章热传导问题的数值解法Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer导热问题研究的目的热流量温度分布强化/减弱导热的措施导热问题研究的基本方法理论分析法数值计算法实验方法有限差分法分子动力学模拟法边界元法有限元法有限差分法的基本思想：用有限小的差分、差商近似代替无限小的微分、微商，用代数形式的差分方程近似代替微分方程，并通过求解差分方程求取有限时刻物体有限节点上的温度值。Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer 数值计算方法的基本思想将时间、空间坐标系中连续的物
2、理量场，用有限离散点上数值的集合来代替，并通过求解离散点物理量组成的代数方程来求解，所得的解称为数值解。126345数值计算方法的优点：多维变物性复杂几何形状复杂边界Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH0tyf3thf2thf1thx二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题传热学 Heat TransferStep-1:控制方程及边界条件Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题传热学 Heat TransferStep-2:计算域离散化xyxynm(m,n)MN基本概念：网格
3、线节点（内节点、边界节点）控制容积界面线步长均匀/非均匀网格Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题传热学 Heat TransferStep-3:建立节点离散（代数）方程基本方法：Taylor（泰勒）级数展开法控制容积平衡法(热平衡法)内节点边界节点平直边界节点边界内节点边界外节点Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH!3!23,332,22,1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm!3!23,332,22,1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm传热学 Heat Tra
4、nsfer内节点离散方程的推导（泰勒级数展开法）1.对相邻节点写出温度 t 对内节点(m,n)的泰勒级数展开式x:(m,n)的相邻节点为(m+1,n),(m-1,n)y:(m,n)的相邻节点为(m,n+1),(m,n-1)X方向Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer内节点离散方程的推导（泰勒级数展开法）2.整理得到二阶导数的中心差分)(222,1,1,22xoxtttxtnmnmnmnm)(2221,1,22yoytttytnmnmnmnm截断误差：级数余项中的x的最低阶数为2即中心差分格式具有二阶精度。3.由控制方程得到内
5、节点(m,n)的离散代数方程中心差分Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer内节点离散方程的推导（热平衡法）基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 控制体内能的增量稳态、无内热源时：从所有方向流入控制体的总热量0Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer内节点离散方程的推导（热平衡法
6、）(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)x x y y(m,n+1)对控制体每个界面线（图中虚线）应用傅立叶导热定律。Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transferxttynmnmw,1xttynmnme,1yttxnmnmn,1,yttxnmnms,1,yxShanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat TransferStep-3:建立节点离散（代数）方程基本方法：Taylor（泰勒）级数展开法控制容积平衡法(热平衡法)内节点边界节点平直边界节点边界内节点边界外节点
7、为什么要建立边界节点的离散方程？一类边界条件：方程组封闭，可直接求解二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用表示内热源。Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH2,1,1,1,224xttqxttnmnmnmwnmnm0222,1,1,1yxyttxyttxyqxttynmnmnmnmnmwnmnmyx边界节点离散方程的推导（热平衡法）：传热学 Heat Transfer二维矩形域内稳态、常物性的导热问题从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 0平直边界
8、节点Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH边界节点离散方程的推导（热平衡法）：传热学 Heat Transfer二维矩形域内稳态、常物性的导热问题从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 0边界外角点0222222,1,1yxyttxqxqyxttynmnmnmwwnmnmyx2222,1,1,xqxtttnmwnmnmnmShanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH边界节点离散方程的推导（热平衡法）：传热学 Heat Transfer二维矩形域内稳态、常物性的导热问题从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 0
9、边界内角点yx0432222,1,1,1,1yxqxyttxyttxqyxttyxttynmwnmnmnmnmwnmnmnmnm)22322(6122,11,1,1,wnmnmnmnmnmqxxtttttShanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH边界节点离散方程的两个具体问题：传热学 Heat Transfer边界热流密度的具体处理方法绝热边界第二类边界第三类边界constqw0wq)(,nmfwtthq不规则边界的处理方法多段折线模拟不规则边界，网格越密越接近实际坐标变换：保角变换Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH建立节
10、点离散方程的泰勒级数法与热平衡法的比较：泰勒级数法属于纯数学方法，而热平衡法基于能量守恒原理，物理概念明确，且推导过程简捷；泰勒级数法对于建立边界节点的离散方程较困难；当导热物体物性或内热源不均匀时，泰勒级数法不适用，而热平衡法能够方便处理。传热学 Heat TransferStep-4:设置温度场的迭代初值Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYHnnnnnnnnnnbtatatabtatatabtatata.22112222212111212111n个未知节点温度，n个代数方程式：Step-5:节点离散（代数）方程的求解传热学 Heat Transfer直接
11、解法迭代解法直接解法：矩阵求逆、高斯消元法等缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的导热系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH迭代解法：Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、松弛法等 先对要计算的场作出假设（给定初始值）、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。Step-5:节点离散（代数）方程的求解传热学 Heat TransferGauss-Seidel迭代法：每
12、次迭代时总是使用节点温度的最新值Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH在计算后面的节点温度时应采用最新值：根据第 k 次迭代的数值：(k)n(k)2(k)1.ttt、)(1)(1)(212)(111)1(1.kknnkkkbtatatat)()()1(11)1(22)1(11)1()(3)(3)1(232)1(131)1(3)(2)(2)(222)1(121)1(2.knknnnknnnknknknkknnkkkkknnkkkbtatatatatbtatatatbtatatat传热学 Heat TransferStep-5:节点离散（代数）方程的求解 Gau
13、ss-Seidel迭代法Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat TransferStep-5:节点离散（代数）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法判断迭代是否收敛的准则：)(max)()1()()()1()()1(maxmaxmaxkkikikikikikikittttttttoror 为允许的偏差，一般取10-310-6(k)maxt为k次迭代得到的计算域温度最大值计算域温度存在近于0的值时采用Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat TransferStep-5:节点离散（代数）方程
14、的求解 Gauss-Seidel迭代法如何判断数值解的准确性？三个检验标准：实验验证、精确分析解验证、特定问题的基准解验证数值计算中偏差 总是存在的，增加节点数目可以减小误差。计算网格独立性。如何避免迭代发散？必须满足对角占优原则：每个迭代变量的系数总大于/等于该式中其它变量系数 绝对值的代数和 (参考教材例题4-1)Step-6:解的分析Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的数值解法非稳态项稳态项（扩散项）源项由于非稳态项的存在，除了对空间坐标离散外，还需要对时间坐标进行离散处理。稳态扩散项的离散
15、格式：中心差分格式非稳态项的离散格式：向前差分格式、向后差分格式、中心差分格式Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfertfhtfhxt 0平板加热问题第三类边界条件一维非稳态导热微分方程及定解条件：xtat220tt00 x0 xtxtthxtf)(边界条件初始条件 4-4 非稳态导热问题的数值解法Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的数值解法向前差分格式向后差分格式中心差分格式非稳态项的离散格式的构造：泰勒级数展开法x 为空间步长
16、 为时间步长偏微分方程22xtat离散化代数方程非稳态项向前差分扩散项中心差分点（n,i）Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的数值解法非稳态项的离散格式的构造：热平衡法Edxxx)()1()(1)()()(1ininEinindxxininxttxcAxttAxttA从所有方向流入控制体的总热量 控制体内能的增量内节点 nShanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的数值解法非稳态项的离散格式的构造：热平衡法0
17、 x0 xt21tt 左边对称绝热边界Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的数值解法非稳态项的离散格式的构造：热平衡法右边第三类边界)()1()()()(12)(iNiNiNfiNiNttxctthxttShanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的数值解法显示格式存在稳定性问题：如果节点 tn(i)前面的系数小于零，则数值解出现不稳定的震荡结果。显示格式2显示格式：格式右边全部为第 i 时间层的温度值，只要 i
18、 时间层温度已 知，即可计算得到 i+1 时间层的温度。非稳态导热节点离散方程的两种格式：即：空间步长x和时间步长的选取有限制5.002122xaFoxa显示格式的稳定性条件：Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的数值解法隐式格式非稳态导热节点离散方程的两种格式：隐式格式：空间离散采用（i+1）时层的值。隐式格式不存在稳定性问题，对时间步长和空间步长没有限制，但是计算量较大。Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer导热问题的数值计算
19、上机实践例题4-6 无限大平板的一维非稳态导热问题数值计算 （1）自主编程，编程语言自定，最后提交源程序（2）提交电子报告（word格式），包括：（a）给出空间离散示意图（网格划分）（b）节点离散方程（显示、隐式皆可）（c）图示温度分布（可以利用origin或matlab）（d）分析空间步长和时间步长对计算结果的影响例题4-5 二维肋片稳态导热问题的数值计算（1）自主编程，编程语言自定，最后提交源程序（2）提交电子报告（word格式），包括：（a）给出空间离散示意图（网格划分）（b）节点离散方程 （c）图示温度等值线（可以利用origin或matlab）Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer导热问题的数值计算上机实践例题4-6 无限大平板的一维非稳态导热问题数值计算(供学生参考)Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer导热问题的数值计算上机实践Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer导热问题的数值计算上机实践
