1、数学观与数学教学观数学观与数学教学观 对数学和数学教学本质问题的回答对数学和数学教学本质问题的回答数学观数学观人们对数学的性质、任人们对数学的性质、任务、来源、以及数学与人类社会务、来源、以及数学与人类社会各个领域的知识之间的关系的认各个领域的知识之间的关系的认识。识。数学是科学的女王数学是科学的女王数学是一种别具匠心的艺术数学是一种别具匠心的艺术 数学是符号加逻辑数学是符号加逻辑 数学是人类的思考中最高的成就数学是人类的思考中最高的成就 数学是研究抽象结构的理论数学是研究抽象结构的理论 数学是上帝描述自然的符号数学是上帝描述自然的符号 数支配着宇宙数支配着宇宙 数学是一种会不断进化的文化数学
2、是一种会不断进化的文化 数学是一切知识中的最高形式数学是一切知识中的最高形式 数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠 数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。所有研究顺序和度数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。所有研究顺序和度量的科学均和数学有关量的科学均和数学有关 数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度 给我空间、时间、及对数，我可以创造一个宇宙给我空间、时间、及对数，我可以创造一个宇宙 自然界的书是用数学的语言写成的自然界的书是用数学的语言写成的 数学是各式各样的证明技巧数学是各式各
3、样的证明技巧 第一是数学，第二是数学，第三是数学第一是数学，第二是数学，第三是数学 l数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对客观现象抽象日常生活的各个方面。数学作为对客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥
4、着越来越大的作用。特别是科学中发挥着越来越大的作用。特别是20世纪中世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。（全日制义务教育数学课程标准（修改稿）（全日制义务教育数学课程标准（修改稿），2011年）l不同历史时期有很不相同、很不一致的观点不同历史时期有很不相同、很不一致的观点古代古代l中国：数学是术，是用来解决生产与生活问题的计算中国：数学是术，是用来解决生产与生活问题的计算方法。方法。l古希腊：数学是理念，是关于世界本质的学问，数学古希腊：数学是理念，是关于世
5、界本质的学问，数学对象是一种不依赖于人类思维的客观存在，但可以通对象是一种不依赖于人类思维的客观存在，但可以通过亲身体验，借助实验、观察和抽象获得有关的知识。过亲身体验，借助实验、观察和抽象获得有关的知识。l代表人物：毕达哥拉斯、柏拉图，代表人物：毕达哥拉斯、柏拉图，强调数量关系是现强调数量关系是现实的本质实的本质 ，自然界是按数学方式设计的，并且这个设，自然界是按数学方式设计的，并且这个设计是和谐优美的内部真理计是和谐优美的内部真理 。（张维忠（张维忠.论数学观的演变论数学观的演变.大自然探索，大自然探索，19981998，1.1.）l毕达哥拉斯学派神秘主义数学观毕达哥拉斯学派神秘主义数学观
6、 毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（Pythagoras，572 BC497 BC）古希腊数）古希腊数学家、哲学家。学家、哲学家。无论是解说外在物质世界，还是描无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学写内在精神世界，都不能没有数学！最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生的，是生活在活在2500年前的毕达哥拉斯。年前的毕达哥拉斯。毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派：亦称：亦称“南意大利学派南意大利学派”，是一个集政，是一个集政治、学术、宗教三位于一体的组织。古希腊哲学家治、学术、宗教三位于一体的组织。古希腊哲学家毕达哥拉斯所创立。毕达哥拉斯所
7、创立。产生于公元前产生于公元前6世纪末，公元世纪末，公元前前5世纪被迫解散世纪被迫解散，其成员大多是数学家、天文学，其成员大多是数学家、天文学家、音乐家。它是西方美学史上家、音乐家。它是西方美学史上最早探讨美的本质最早探讨美的本质的学派的学派。数是宇宙万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决数是宇宙万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序“万物皆数万物皆数”：“1”1”是数的第一原则，万物之母，也是数的第一原则，万物之母，也是智慧；是智慧；“2”2”是对立和否定的原则，是意见；是对立和否定的原则，是意见；“
8、3”3”是万物的形体和形式；是万物的形体和形式；“4”4”是正义，是宇宙创造是正义，是宇宙创造者的象征；者的象征；“5”5”是奇数和偶数，雄性与雌性和结是奇数和偶数，雄性与雌性和结合，也是婚姻；合，也是婚姻；“6”6”是神的生命，是灵魂；是神的生命，是灵魂；“7”7”是机会；是机会；“8”8”是和谐，也是爱情和友谊；是和谐，也是爱情和友谊；“9”9”是是理性和强大；理性和强大；“10”10”包容了一切数目，是完满和美包容了一切数目，是完满和美好。好。l“美是和谐美是和谐”：数是音乐和谐的基础。他们发现，数是音乐和谐的基础。他们发现，音乐的和谐是由高低长短轻重不同的音调按照一定音乐的和谐是由高低
9、长短轻重不同的音调按照一定的数量上的比例组成的数量上的比例组成 ，当一根琴弦被缩短到原来当一根琴弦被缩短到原来长度的一半时，拨动琴弦，音调将提高长度的一半时，拨动琴弦，音调将提高8 8度；度；比率比率为为3232和和4343时，相对应的是高时，相对应的是高5 5度和高度和高4 4度的和声。度的和声。和声就是由这样一些不同的部分组成的整体。他们和声就是由这样一些不同的部分组成的整体。他们认为，正是由于各种事物的数值比确定了它们分别认为，正是由于各种事物的数值比确定了它们分别是什么，并显示出彼此之间的关系。是什么，并显示出彼此之间的关系。l柏拉图主义柏拉图主义柏拉图（柏拉图（Plato，约前约前4
10、27年前年前347年），年），古希腊伟大古希腊伟大的哲学家，也是的哲学家，也是全部西方哲学乃至整个西方文化最伟大的全部西方哲学乃至整个西方文化最伟大的哲学家和思想家之一哲学家和思想家之一，他和老师苏格拉底，学生亚里士多他和老师苏格拉底，学生亚里士多德并称为德并称为古希腊三大哲学家古希腊三大哲学家。柏拉图还是西方教育史上西方教育史上第第一个提出完整的学前教育思想并建立了完整的教育体系一个提出完整的学前教育思想并建立了完整的教育体系的的人人。柏拉图。柏拉图指出指出了了每门学科对于发展抽象思维的意义每门学科对于发展抽象思维的意义。从。从2030岁，那些对抽象思维表现特殊兴趣的学生就要继续岁，那些对抽
11、象思维表现特殊兴趣的学生就要继续深造，学习算术、几何、天文学与和声学等学科，以锻炼深造，学习算术、几何、天文学与和声学等学科，以锻炼他的他的思考能力思考能力，使他开始探索宇宙的奥妙。主张未来的统，使他开始探索宇宙的奥妙。主张未来的统治者在治者在30岁以后，要进一步学习岁以后，要进一步学习辩证法辩证法，以洞察理念世界。，以洞察理念世界。经过经过5年后，他就可以成为统治国家的哲学王了。他年后，他就可以成为统治国家的哲学王了。他主张主张心心身和谐发展身和谐发展，强调，强调“用体育锻炼身体，用音乐陶冶心灵用体育锻炼身体，用音乐陶冶心灵”。柏拉图丰富的体育思想对后世体育的发展有深远的影响。柏拉图丰富的体
12、育思想对后世体育的发展有深远的影响。柏拉图曾旅行到意大利南部，在那儿遇到柏拉图曾旅行到意大利南部，在那儿遇到毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派的学者，对他产生了影响的学者，对他产生了影响：视：视数学为万物的本质数学为万物的本质；宇宙二；宇宙二元论元论真理（理念）世界和由影子组成的可见世界；对真理（理念）世界和由影子组成的可见世界；对理论科学感兴趣理论科学感兴趣；宗教神秘主义和道德禁欲主义；宗教神秘主义和道德禁欲主义；灵魂的；灵魂的轮回和不朽轮回和不朽。教育是约束和指导青少年，培养他们正当的理智。每个人最初所受教育是约束和指导青少年，培养他们正当的理智。每个人最初所受教育的方向容易决定以后行为的性质，
13、感召的力量是不小的。教育的方向容易决定以后行为的性质，感召的力量是不小的。耐心是一切聪明才智的基础。耐心是一切聪明才智的基础。开始是工作的最重要部分。开始是工作的最重要部分。意志不纯正，则学识足以为害。意志不纯正，则学识足以为害。语言的美、乐调的美以及节奏的美，都表现好性情。所谓语言的美、乐调的美以及节奏的美，都表现好性情。所谓“好性情好性情”并不是人们通常用来恭维愚笨的人的那个意思，而是心灵真并不是人们通常用来恭维愚笨的人的那个意思，而是心灵真正尽善尽美。正尽善尽美。技艺没有知识，他对于那种技艺的语言和作为，就不能作正确的判技艺没有知识，他对于那种技艺的语言和作为，就不能作正确的判断了。断了
14、。不知道自己的无知，乃是双倍的无知。不知道自己的无知，乃是双倍的无知。子女教育是社会的基础。子女教育是社会的基础。美具有引人向善的作用和力量。美具有引人向善的作用和力量。爱是美好带来的欢欣，智慧创造的奇观，神仙赋予的惊奇。爱是美好带来的欢欣，智慧创造的奇观，神仙赋予的惊奇。尊重人不应该胜过尊重真理。尊重人不应该胜过尊重真理。只要有信心，人永远不会挫败。只要有信心，人永远不会挫败。每天告诉自己一次：每天告诉自己一次：“我真的很不错我真的很不错”。柏拉图主义（柏拉图主义（Platonism）是数学历史上影响最大的数学哲学观点）是数学历史上影响最大的数学哲学观点，在西方近现代数学界都有相当大的影响，
15、在西方近现代数学界都有相当大的影响，一些数学巨匠如一些数学巨匠如G康托尔、罗素、哥德尔、布尔巴基学派基本上都持这种康托尔、罗素、哥德尔、布尔巴基学派基本上都持这种观点观点。它起源于古希腊的柏拉图，此后在西方数学界一直有。它起源于古希腊的柏拉图，此后在西方数学界一直有着或明或暗的柏拉图主义观念，着或明或暗的柏拉图主义观念，19世纪，它在数学界几乎占世纪，它在数学界几乎占了统治地。了统治地。20世纪初，数学基础三大学派的争议刚趋平息，世纪初，数学基础三大学派的争议刚趋平息，柏拉图主义观点又成为讨论的热点之一。柏拉图主义观点又成为讨论的热点之一。柏拉图主义的基本观点柏拉图主义的基本观点：数学的对象就
16、是数、量、函数等数学概念，数学的对象就是数、量、函数等数学概念，而而。它们它们里，里，并不接受并不接受“理念论理念论”，但也认为，但也认为数学概念数学概念特殊的特殊的独立于现实世界之外独立于现实世界之外客观存在客观存在它们是不依赖于时间、空它们是不依赖于时间、空间和人的思维的永恒的存在。间和人的思维的永恒的存在。；与之相应的，柏拉图主义认为与之相应的，柏拉图主义认为而这种而这种的，人们的，人们只有通过直觉才能达到独立于现实世界之外的只有通过直觉才能达到独立于现实世界之外的“数数学世界学世界”。古典柏拉图主义古典柏拉图主义：“数学理念世界数学理念世界”数学观。数学观。数学的理数学的理念世界是独立
17、于人的感性经验之外念世界是独立于人的感性经验之外的世界，是一种的世界，是一种客观存在着的完善的永恒世界客观存在着的完善的永恒世界。近代柏拉图主义近代柏拉图主义：上帝是用数学方案来构造宇宙上帝是用数学方案来构造宇宙的，而的，而寻求自然界的数学规律是对上帝智慧的证明；寻求自然界的数学规律是对上帝智慧的证明；数学数学对象是具有客观性的理念实体，需要通过理性的心对象是具有客观性的理念实体，需要通过理性的心智活动去认识智活动去认识，而不应受直观感觉的约束；，而不应受直观感觉的约束；数学真数学真理具有必然性和唯一性理具有必然性和唯一性；数学仅仅是研究具有确定数学仅仅是研究具有确定性的数量与空间形式的科学性
18、的数量与空间形式的科学，那些具有模糊性的或，那些具有模糊性的或超越二值范畴的对象关系都不能作为数学对象。超越二值范畴的对象关系都不能作为数学对象。现代柏拉图主义现代柏拉图主义的的“先验论先验论”/“实在主义实在主义”数学观数学观:数学数学对象是对象是“客观实在客观实在”（“数学实体数学实体”，哈代），是，哈代），是一些理想化的结构一些理想化的结构，这种理想结构，这种理想结构不同于物理世界不同于物理世界的构造的构造，至多只存在某种近似的关联；，至多只存在某种近似的关联；数学真理是数学真理是客观存在的，而人们对其认识不可能是完全的客观存在的，而人们对其认识不可能是完全的，数，数学发展到任何时候总有
19、一批未解决的难题，而有许学发展到任何时候总有一批未解决的难题，而有许多问题结论的真假不能判定。（徐利治多问题结论的真假不能判定。（徐利治.数学中的数学中的现代柏拉图主义与有关问题现代柏拉图主义与有关问题.数学教育学报，数学教育学报，2004，3.）近代近代以数学基础三大学派的逻辑主义、形式主义、直觉主义所形成的数学观为代表逻辑主义把数学化归为逻辑逻辑主义把数学化归为逻辑 代表人物：英国著名数学家、哲学家、逻辑学家代表人物：英国著名数学家、哲学家、逻辑学家罗罗素素（数学哲学导论数学哲学导论）代表作：罗素，怀特海：代表作：罗素，怀特海：数学原理数学原理。作者企图在。作者企图在这这3 3卷本的数学巨
20、著中向人们说明：全部数学可以卷本的数学巨著中向人们说明：全部数学可以从逻辑概念出发用明显的定义得出数学概念；由从逻辑概念出发用明显的定义得出数学概念；由逻辑命题开始用纯逻辑的演绎推得数学定理。从逻辑命题开始用纯逻辑的演绎推得数学定理。从而，而，全部数学都可以从基本的逻辑概念和逻辑规全部数学都可以从基本的逻辑概念和逻辑规则而推导出来则而推导出来。这样，就可以把数学看成是这样，就可以把数学看成是逻辑逻辑学延伸或分支学延伸或分支。故。故“逻辑学生数学的青年时代，逻辑学生数学的青年时代，而数学是逻辑学的壮年时代。而数学是逻辑学的壮年时代。”“”“数学即逻辑数学即逻辑”（罗素）（罗素）l在在数学原理数学
21、原理中，罗、怀通过纯逻辑的途径再加中，罗、怀通过纯逻辑的途径再加上集合论的选择公理和无穷公理把当时的数学严格上集合论的选择公理和无穷公理把当时的数学严格的推导了出来。罗素宣称：的推导了出来。罗素宣称：“从逻辑中展开纯数学从逻辑中展开纯数学的工作，已由怀特海和我在的工作，已由怀特海和我在数学原理数学原理中详细地中详细地做了出来。做了出来。”问题是：数学的基础是逻辑吗？罗、问题是：数学的基础是逻辑吗？罗、怀的工作：在推导数学时使用集合论的两个公理！怀的工作：在推导数学时使用集合论的两个公理！这是不可缺的，否则不能完成。因为，不用这是不可缺的，否则不能完成。因为，不用“无无”则自然数系统无法构造，更
22、不要说全部数学了！则自然数系统无法构造，更不要说全部数学了！将数学化归为逻辑还是集合论？将数学化归为逻辑还是集合论？要从逻辑推出全部数学，就必须发展集合论，而集合论是要从逻辑推出全部数学，就必须发展集合论，而集合论是自相矛盾的，没有相容性。但是，在逻辑系统中是自相矛盾的，没有相容性。但是，在逻辑系统中是不允许矛盾的！因此，必须排除悖论。不允许矛盾的！因此，必须排除悖论。“数学就是逻辑数学就是逻辑”，“一切数学思维都是逻辑思维一切数学思维都是逻辑思维”不不被接受被接受!l对对数学原理数学原理的肯定的肯定“该书在该书在2020世纪的科学技术发展中影响很大。它以当时最世纪的科学技术发展中影响很大。它
23、以当时最严格的形式化的符号语言来陈述作者建立的逻辑体严格的形式化的符号语言来陈述作者建立的逻辑体系、定义和定理，从而标准符合逻辑方法的成功。系、定义和定理，从而标准符合逻辑方法的成功。并显示了数学的逻辑基础研究的意义，因而进一步并显示了数学的逻辑基础研究的意义，因而进一步显示了现代逻辑的科学意义显示了现代逻辑的科学意义”。“此书在方法论上的意义是不可忽视的。他们相当成功的此书在方法论上的意义是不可忽视的。他们相当成功的把古典数学纳入了一个统一的公理系统，使之能从把古典数学纳入了一个统一的公理系统，使之能从几个逻辑概念和公理出发，再加上集合论的无穷公几个逻辑概念和公理出发，再加上集合论的无穷公理
24、就能推出康托集合论、一般算术和大部分数学来。理就能推出康托集合论、一般算术和大部分数学来。这把逻辑推理发展到前所未有的高度，使人们看到，这把逻辑推理发展到前所未有的高度，使人们看到，在数理逻辑演算的基础上能够推演出许多数学内容在数理逻辑演算的基础上能够推演出许多数学内容来，形成了集合论公理系统的逻辑体系，这种逻辑来，形成了集合论公理系统的逻辑体系，这种逻辑史上是一件大事，对数理逻辑后来的发展起来决定史上是一件大事，对数理逻辑后来的发展起来决定作用，是现代公理方法的一个重要起点。作用，是现代公理方法的一个重要起点。”形式主义者要把数学组织成形式主义者要把数学组织成“形式形式系统系统”代表人物：代
25、表人物：德国数学家希尔伯特德国数学家希尔伯特非欧几何：当得出互相矛盾的定理的两种几何都证明不非欧几何：当得出互相矛盾的定理的两种几何都证明不了自相矛盾的时候，数学的真理到底体现在哪里？了自相矛盾的时候，数学的真理到底体现在哪里？为什么两个几何都成立？为什么两个几何都成立？在数学与逻辑之间是存在有质的区别的，不可能成功的在数学与逻辑之间是存在有质的区别的，不可能成功的把数学化归为逻辑。把数学化归为逻辑。只有有限的范畴才是绝对的可靠的，涉及无限是不那么可只有有限的范畴才是绝对的可靠的，涉及无限是不那么可靠的，古典数学中包含了许多关于无限的概念和方法，靠的，古典数学中包含了许多关于无限的概念和方法，
26、所以是不那么可靠的。所以是不那么可靠的。既要保留古典数学，又要消除数学当中出现的悖论既要保留古典数学，又要消除数学当中出现的悖论 。通过某些方法进行处理，例如，简化证明，通过某些方法进行处理，例如，简化证明，统一各种不同统一各种不同的理论，的理论，保存传统的逻辑法则，等等，我们仍然可以保存传统的逻辑法则，等等，我们仍然可以把非有限的因素作为理想元素引入到数学中来，问题把非有限的因素作为理想元素引入到数学中来，问题的关键就是要证明这种引进不会导致错误。的关键就是要证明这种引进不会导致错误。l希尔伯特计划希尔伯特计划 构造出一个相容的、完备的、可判定的形式系统，系统中构造出一个相容的、完备的、可判
27、定的形式系统，系统中的定理对应于与直觉上为真的数学命题集，而且，关的定理对应于与直觉上为真的数学命题集，而且，关于相容的、完备的、可判定等性质的证明又可以仅仅于相容的、完备的、可判定等性质的证明又可以仅仅借助有限的方法得以实现借助有限的方法得以实现。即。即用有限的方法证明由古用有限的方法证明由古典数学抽象而出的形式系统（首先是形式算术系统）典数学抽象而出的形式系统（首先是形式算术系统）是相容的性，而是相容的性，而“有限的方法有限的方法”一般认为总可以一般认为总可以在算在算术系统内得到表述。术系统内得到表述。希尔伯特规划的提出，体现了一种新的数学思想，也就是希尔伯特规划的提出，体现了一种新的数学
28、思想，也就是所谓的所谓的形式主义数学观：数学只是一组相容的、独形式主义数学观：数学只是一组相容的、独立的、完备的公理系，按照一定方式推理出来的一立的、完备的公理系，按照一定方式推理出来的一堆堆“形式形式”，与它表示的内容无关。，与它表示的内容无关。一切数学对一切数学对象都只是无意义的符号，数学命题则是按照指定的象都只是无意义的符号，数学命题则是按照指定的法则组成的符号序列，在数学中，我们要做的工作法则组成的符号序列，在数学中，我们要做的工作就是按照指定的法则对于无意义的符号序列去进行就是按照指定的法则对于无意义的符号序列去进行纯形式的变形。纯形式的变形。逻辑学家逻辑学家哥德尔证明了这一目标是不
29、可能实现的！哥德尔证明了这一目标是不可能实现的！哥德尔不完备性定理哥德尔不完备性定理：所有以形式算术系统为子系统的形：所有以形式算术系统为子系统的形式系统，如果是相容的，那它就一定是不完备的。式系统，如果是相容的，那它就一定是不完备的。也就是说，对于任何相容的形式系统来说，如果其中足以也就是说，对于任何相容的形式系统来说，如果其中足以开展出适量的算术理论的话，那么，在这一系统中开展出适量的算术理论的话，那么，在这一系统中一定存在有这样的命题，其自身及其否命题都不可一定存在有这样的命题，其自身及其否命题都不可能在这一系统中得到证明。能在这一系统中得到证明。这样，其目标是把古典数学组织成相容的、完
30、备的形式系这样，其目标是把古典数学组织成相容的、完备的形式系统的希尔伯特规划，也就被证明是不可能实现的了。统的希尔伯特规划，也就被证明是不可能实现的了。希尔伯特希尔伯特的数学思想中有合理因素，但是，又有片面的数学思想中有合理因素，但是，又有片面性性:片面夸大有限和无限的对立性，完全否认了包含片面夸大有限和无限的对立性，完全否认了包含有无限性成份的古典数学的客观意义。有无限性成份的古典数学的客观意义。关于有限的数学是绝对可靠的（从而可以成为全部关于有限的数学是绝对可靠的（从而可以成为全部数学的可靠基础）这一点是错误的。因为任何一种数学的可靠基础）这一点是错误的。因为任何一种数学理论都只是一种相对
31、真理，都有特定的适用范数学理论都只是一种相对真理，都有特定的适用范围，所以认为有限性数学是绝对可靠是错误的。围，所以认为有限性数学是绝对可靠是错误的。完全强调形式的研究，而忽视了内容的分析是错完全强调形式的研究，而忽视了内容的分析是错误的。虽然形式相对独立于内容，在一定的条件下，误的。虽然形式相对独立于内容，在一定的条件下，我们可以撇开具体的内容去进行纯形式的研究，但我们可以撇开具体的内容去进行纯形式的研究，但是两者又不能截然分开，因为形式最终又是由内容是两者又不能截然分开，因为形式最终又是由内容所决定的。所决定的。直觉主义者提出直觉主义者提出“存在必须等于被构造存在必须等于被构造”代表人物代
32、表人物:荷兰数学家，布劳维尔荷兰数学家，布劳维尔 直觉主义者认为，直觉主义者认为，数学主要是指人类的一种特殊的思维数学主要是指人类的一种特殊的思维活动，活动，而不是指经由这种思维活动发展起来的数学而不是指经由这种思维活动发展起来的数学理论理论，这种思维活动这种思维活动的主要特性在于它的的主要特性在于它的“纯主观纯主观性性”，即，即是是建立在所谓的建立在所谓的“纯直觉纯直觉”之上之上的的，而且，而且，这种纯直觉又是这种纯直觉又是完完全不依赖语言（和逻辑的）。全不依赖语言（和逻辑的）。我我们不能希望通过局部的修改或限制来解决数学的可们不能希望通过局部的修改或限制来解决数学的可靠性问题，而必须从根本
33、上去重新考虑数学的性质靠性问题，而必须从根本上去重新考虑数学的性质等基本问题等基本问题。“直觉是数学的最终依据直觉是数学的最终依据”.“存在必存在必须等于被构造须等于被构造。”否定排中律，双重否定律否定排中律，双重否定律逻辑是数学的一部分逻辑是数学的一部分对所有辑概念都予以对所有辑概念都予以“构造性构造性”的解释，所有逻辑命题都的解释，所有逻辑命题都具有具有“我已经实现了具有如下性质的一个构造我已经实现了具有如下性质的一个构造”的的形式。形式。承认承认pp，而不承认，而不承认pp 直觉主义者对于数学和逻辑研究是有一定的贡献的：直觉主义者对于数学和逻辑研究是有一定的贡献的：对数对数学中的定义和证
34、明提出了一种更为严格的要求，为数学中的定义和证明提出了一种更为严格的要求，为数学研究开拓了一个新的方向，对电子计算机的设计与学研究开拓了一个新的方向，对电子计算机的设计与改进起着积极作用，肯定创造性思维的作用及数学的改进起着积极作用，肯定创造性思维的作用及数学的发展性，提出了构造性与非构造性数学的区分，揭示发展性，提出了构造性与非构造性数学的区分，揭示了古典数学与古典逻辑的相对性，等。了古典数学与古典逻辑的相对性，等。直觉主义失败分析：直觉主义失败分析：片面强调创造性思维在数学发展中的作用，把数学只归片面强调创造性思维在数学发展中的作用，把数学只归结为对于人类思想的某种功能的研究，而且完全否认
35、了结为对于人类思想的某种功能的研究，而且完全否认了数学的客观意义，从而就走上了唯心主义的错误道路。数学的客观意义，从而就走上了唯心主义的错误道路。片面地强调对于数学的动态的研究，数学思想与语言形片面地强调对于数学的动态的研究，数学思想与语言形式被绝对地对立了起来，最终不可避免地导致了式被绝对地对立了起来，最终不可避免地导致了“数学数学神秘主义神秘主义”。将直觉作为数学唯一可靠的基础，提出将直觉作为数学唯一可靠的基础，提出“存在必须等于存在必须等于被构造被构造”的原则，否定非构造性数学即古典数学并对构的原则，否定非构造性数学即古典数学并对构造性数学采取绝对肯定的态度，这是错误的。造性数学采取绝对
36、肯定的态度，这是错误的。绝对否定古典逻辑和绝对肯定直觉主义逻辑，这是错误绝对否定古典逻辑和绝对肯定直觉主义逻辑，这是错误的。的。直觉主义并没有真正实现按照构造性的要求来重建古典直觉主义并没有真正实现按照构造性的要求来重建古典数学（至少是其大部分）的目标。数学（至少是其大部分）的目标。与古典数学相比，直觉主义数学在很多场合下并没有显得与古典数学相比，直觉主义数学在很多场合下并没有显得更为更为“直接直接”或更为或更为“明显明显”，恰恰相反，某些部，恰恰相反，某些部分反而表现出了更大的抽象性与复杂性。因此，在分反而表现出了更大的抽象性与复杂性。因此，在这样的意义上，直觉主义数学也就并不比古典数学这样
37、的意义上，直觉主义数学也就并不比古典数学更为可靠。更为可靠。l数学基础研究三大思潮的出现，是当数学基础研究三大思潮的出现，是当时数学发展造成的，随着数学基础研时数学发展造成的，随着数学基础研究的逐步开展，与基础问题有关的哲究的逐步开展，与基础问题有关的哲学思考就逐渐成为现代数学哲学研究学思考就逐渐成为现代数学哲学研究的主要内容。他们虽然失败了，但他的主要内容。他们虽然失败了，但他们的工作大大地促进了数学基础研究们的工作大大地促进了数学基础研究的发展。的发展。现代现代Mathematics:powerful patterns in nature and society.数数学：描绘自然与社会的有
38、力模式学：描绘自然与社会的有力模式（哈里（哈里亨德森亨德森（作家、编辑，撰写科技、计算机技术、数学、传（作家、编辑，撰写科技、计算机技术、数学、传记、历史图书）记、历史图书）：）：斐波那契数列斐波那契数列 统计学统计学 博弈博弈论论 数字计算机数字计算机 分形分形 奇点理论奇点理论 扭曲扭曲 彭罗斯彭罗斯铺砌铺砌 兰顿环兰顿环 通用计算机通用计算机 l绝对主义数学观绝对主义数学观l可误主义数学观可误主义数学观l社会建构主义数学观社会建构主义数学观l由于观察与思考的角度不同，有各种不同的由于观察与思考的角度不同，有各种不同的描述描述恩格斯：恩格斯：数学是关于数学是关于现实世界现实世界的的空间形式
39、空间形式和和数量关系数量关系的的科学科学。弗赖登塔尔：弗赖登塔尔：数学在现实世界中有它的现象学基础数学在现实世界中有它的现象学基础。数学实质上是人们数学实质上是人们常识的系统化常识的系统化。数学的概念、结构与。数学的概念、结构与思想都是物理世界、社会存在与思维世界各种具体现象思想都是物理世界、社会存在与思维世界各种具体现象的的反映反映，也是，也是组织组织这些现象的这些现象的工具工具。数学。数学来源于现实来源于现实，存在于现实存在于现实，并且，并且应用于现实应用于现实。柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫：数学的研究对象数学的研究对象产生于现实产生于现实，但数学，但数学又必须又必须离开现实离开现实（抽象）。
40、由于数学内容不断丰富，应（抽象）。由于数学内容不断丰富，应用范围无限扩大，因而用范围无限扩大，因而并非完全脱离现实并非完全脱离现实。所有数学的。所有数学的基础基础是是纯集合论纯集合论，数学的各专门分支研究各种各样的，数学的各专门分支研究各种各样的结结构构，每一种结构由相应的，每一种结构由相应的公理体系所确定公理体系所确定。l从数学的研究方法来分析，有更大的分歧从数学的研究方法来分析，有更大的分歧有人认为，数学全然不涉及观察、归纳、因果等方有人认为，数学全然不涉及观察、归纳、因果等方法；对人进行的训练，全都是利用演绎方法；数学法；对人进行的训练，全都是利用演绎方法；数学家工作的起点，只需少数公理
41、，一见就懂，无需证家工作的起点，只需少数公理，一见就懂，无需证明，而其余的工作则都可由此推演出来。明，而其余的工作则都可由此推演出来。与此相反地，解决数学问题常常必须借助于新定理、与此相反地，解决数学问题常常必须借助于新定理、新见解、新方法；在具体解决问题和从事研究的过新见解、新方法；在具体解决问题和从事研究的过程中，常常要进行观察和比较。在这其中，归纳法程中，常常要进行观察和比较。在这其中，归纳法是十分常用的，而且需要依赖实际经验；数学家的是十分常用的，而且需要依赖实际经验；数学家的工作，都离不开观察、推测、归纳、实验、经验、工作，都离不开观察、推测、归纳、实验、经验、因果等方法。甚至，数学
42、家还需要有高度的直觉和因果等方法。甚至，数学家还需要有高度的直觉和想象力。想象力。更有人声称，数学是证明与反驳的交互过程，数学更有人声称，数学是证明与反驳的交互过程，数学从来不是严谨的。从来不是严谨的。l由于由于个体个体不同的知识背景，对数学的理不同的知识背景，对数学的理解角度不同，就会有不同的回答。解角度不同，就会有不同的回答。数学是一种语言数学是一种语言数学是人类的一种活动数学是人类的一种活动数学是科学，数学也是一门技术数学是科学，数学也是一门技术数学是组织现实世界的工具数学是组织现实世界的工具数学是科学，数学更是一门创造性的艺术数学是科学，数学更是一门创造性的艺术数学是模式的科学数学是模
43、式的科学数学是一种文化数学是一种文化l数学是一个多元的综合体数学是一个多元的综合体数学是一个多元的综合产物，不能简单地将数学等同数学是一个多元的综合产物，不能简单地将数学等同于命题和公式汇集成的逻辑体系。数学通过模式于命题和公式汇集成的逻辑体系。数学通过模式的构建与现实世界密切联系，但又借助抽象的方的构建与现实世界密切联系，但又借助抽象的方法，强调思维形式的探讨；现代技术渗透于数学法，强调思维形式的探讨；现代技术渗透于数学之中，成为数学的实质性内涵，但抽象的数学思之中，成为数学的实质性内涵，但抽象的数学思维仍然是一种创造性的活动；数学是一种特殊的维仍然是一种创造性的活动；数学是一种特殊的语言，
44、由此形成的思维方式，不仅决定了人类对语言，由此形成的思维方式，不仅决定了人类对物质世界的认识方式，还对人类理性精神的发展物质世界的认识方式，还对人类理性精神的发展具有重要的影响，因而必然成为人类文化的一个具有重要的影响，因而必然成为人类文化的一个重要组成部分。重要组成部分。数学发展史上的四个高峰数学发展史上的四个高峰（20002000年年8 8月，日本东京月，日本东京ICME-9ICME-9，藤田宏主席，藤田宏主席，P18）：）：（1 1）以）以几何原本几何原本为代表的古希腊的公理化数学为代表的古希腊的公理化数学（前（前700700300300）（2 2）以牛顿发明微积分为代表的无穷小算法数学
45、）以牛顿发明微积分为代表的无穷小算法数学（171718c18c）（3 3）以希尔伯特为代表的现代公理化数学（）以希尔伯特为代表的现代公理化数学（191920c20c中叶）中叶）（4 4）以现代计算机技术为代表的信息时代数学（）以现代计算机技术为代表的信息时代数学（20c20c中叶中叶今）今）核心数学发展的特点（核心数学发展的特点（P20-21）：线性线性非线性（混沌、分形、动力系统等研究迅非线性（混沌、分形、动力系统等研究迅速发展）速发展）交换交换非交换（矩阵、算子的乘法都是不可交换非交换（矩阵、算子的乘法都是不可交换的）的）一维一维高维（特别是高维（特别是4 4维和无穷维）维和无穷维）随机数
46、学和确定性数学、离散和连续、局部性质随机数学和确定性数学、离散和连续、局部性质和整体性质间的对立与整合和整体性质间的对立与整合l当今数学科学的发展出现了三种新趋向当今数学科学的发展出现了三种新趋向l内部各分支相互渗透及与其他科学交叉融会内部各分支相互渗透及与其他科学交叉融会l计算机使得数学成立形式科学与实验科学两种不同的计算机使得数学成立形式科学与实验科学两种不同的知识类型的结合在思维形式与研究方法等各方面都需知识类型的结合在思维形式与研究方法等各方面都需在差异中寻求平衡在差异中寻求平衡l数学的应用领域日趋广泛数学的应用领域日趋广泛l20世纪数学观的变化（世纪数学观的变化（P21）（1）公理化
47、方法、形式演绎仍然是数学的特征之一，但）公理化方法、形式演绎仍然是数学的特征之一，但是数学不等于形式，数学正在走出形式主义光环。是数学不等于形式，数学正在走出形式主义光环。（2）在计算机技术的支持下，数学注重应用。）在计算机技术的支持下，数学注重应用。（3）数学不等于逻辑，要做）数学不等于逻辑，要做“好好”数学。数学。不同的数学观，会折射出不同的教学思想和行为，不同的数学观，会折射出不同的教学思想和行为，即决定了我们拥有怎样的数学教学观：即决定了我们拥有怎样的数学教学观：如果把数学理解成一种科学语言如果把数学理解成一种科学语言注重数学语言注重数学语言的形成和师生间的平等对话和交流；的形成和师生
48、间的平等对话和交流；如果认为数学是一种工具如果认为数学是一种工具侧重于对学习的记忆侧重于对学习的记忆和训练，或者将数学应用于解题和生活实际的和训练，或者将数学应用于解题和生活实际的问题中；问题中；如果是一种模型的数学观如果是一种模型的数学观注重数学模型的发生、注重数学模型的发生、抽象过程；抽象过程；如果认为数学是一种文化如果认为数学是一种文化把数学纳入到广阔的把数学纳入到广阔的社会文化中去，让学生理解数学的理性精神、社会文化中去，让学生理解数学的理性精神、创新内涵和思想方法。创新内涵和思想方法。（林夏水（林夏水.数学观对数学及其教育的影响数学观对数学及其教育的影响.数学教数学教育学报育学报20
49、07年第年第04期期）l英国学者英国学者Paul ErnestPaul Ernest根据数学哲学及数学教学的实根据数学哲学及数学教学的实验研究，提出数学教师的三种数学观及其在教学上验研究，提出数学教师的三种数学观及其在教学上的相应表现，认为大致可归结为以下三种类型：的相应表现，认为大致可归结为以下三种类型：1)1)问题解决观点问题解决观点 将数学看成是动态的、以问题为主导和核心的过程.数学是一个不断探索、不断求真、不断扩大发展的过程.数学不是一个已经完成的产品，其最终结果总是开放的，有待继续修正.教学表现：强调数学教学是一种活动，主张“学数学就是做数学”，不仅关注知识的结果，更加注重获得知识的
50、过程，旨在鼓励学生亲身经历并进入数学的生成发展过程.2)柏拉图的观点 将数学看成是静态的、统一的知识实体.数学是水晶般清澈的王国，其中包含有相互联系的各种结构与真理，并由逻辑的与内在涵义形成的纤维，共同将其装订成一整体。数学是如磐石般稳定的永远不变的产品。数学只能被发现而不能被创造。教学表现：强调数学作为严谨的形式体系的整体结构，以概念为主导，注重概念的内涵，尤其重视推理的逻辑，强调关系，突出“为什么”，容许学生自己构造算法，但必须考虑其可行性与相容性，以符合数学的纯粹的形式法则。3)工具主义的观点 将数学看成是一个工具袋，由各种事实、规则与技能累积而成，由于某些外部目标的追求，而由那些熟练的
