1、上页下页返回首页结束五、小结五、小结一、问题的提出一、问题的提出三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)定理定理四、简单的应用四、简单的应用泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)公式公式一、问题的提出一、问题的提出1 1.设设)(xf在在0 x处处连连续续,则则有有2 2.设设)(xf在在0 x处处可可导导,则则有有例例如如,当当x很很小小时时,xex 1 ,xx )1ln()()(0 xfxf)()()()(0000 xxoxxxfxfxf （如下图）（如下图）)()(0 xfxf)()()(000 xxxfxfxf 上页返回下页xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 上
2、页返回下页不足不足:问题问题:寻找函数寻找函数)(xP,使得使得)()(xPxf 误误差差 )()()(xPxfxR 可可估估计计1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计。、误差不能估计。设设函函数数)(xf在在含含有有0 x的的开开区区间间),(ba内内具具有有直直到到)1(n阶阶导导数数,)(xP为为多多项项式式函函数数nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 误误差差 )()()(xPxfxRnn 上页返回下页二二、nP和和nR的的确确定定0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的
3、切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交0 x)()(xfxPn与与上页返回下页假假设设 nkxfxPkkn,2,1,0)()(0)(0)(),(00 xfa 代代入入)(xPn中中得得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 得得 ),2,1,0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(!202xfa ,)(!0)(xfannn nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 上页返回下页三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)定理定
4、理)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其其中中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(在 0 x与与 x之之间间).上页返回下页证明证明:由由假假设设,)(xRn在在),(ba内内具具有有直直到到)1(n阶阶导导数数,且且两两函函数数)(xRn及及10)(nxx在在以以 0 x及及 x为为端端点点的的区区间间上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条件件,得得 )()(1()(01011之间之间与与在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000
5、xRxRxRxRnnnnn上页返回下页如如此此下下去去,经经过过)1(n次次后后,得得 两函数两函数)(xRn 及及nxxn)(1(0 在以在以0 x及及 1 为端点为端点的区间上满足柯西中值定理的条件的区间上满足柯西中值定理的条件,得得 0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR )()(1()(1021022之之间间与与在在 xxnnRnn 上页返回下页 nkkknxxkxfxP000)()(!)()(称称为为)(xf按按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 次次泰泰勒勒多多项项式式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(称称为为)(x
6、f按按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 阶阶泰泰勒勒公公式式 )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 则由上式得则由上式得,0)()1(xPnn)()()1()1(xfxRnnn 上页返回下页拉格朗日型余项拉格朗日型余项 1010)1()(!1)(!1)()(nnnnxxnMxxnfxR)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 皮亚诺型余项皮亚诺型余项0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即)()1(有有界界若若xfn 上页返回
7、下页注注:1 1.当当0 n时时,泰泰勒勒公公式式变变成成拉拉氏氏中中值值公公式式 )()()()(000之间之间与与在在xxxxfxfxf 3.3.带带皮亚诺型余项皮亚诺型余项的泰勒定理条件比带的泰勒定理条件比带拉格朗拉格朗日型余项日型余项的的弱弱，前者只需，前者只需n n阶导数存在阶导数存在.4.Peano4.Peano型余项是定性的，型余项是定性的，LagrangeLagrange型余项是定量的型余项是定量的，两者本质相同但作用有别两者本质相同但作用有别.一般说来，当不需要定量一般说来，当不需要定量地讨论余项时，可用地讨论余项时，可用PeanoPeano型，如计算极限；当需要定型，如计算
8、极限；当需要定量讨论余项时，则用量讨论余项时，则用LagrangeLagrange型余项，如误差估计型余项，如误差估计.上页返回下页)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf )10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式上页返回下页四、简单的应用四、简单的应用例例 1 1 求求xexf)(的的n阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式.解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()(nffffxnexf )()1(注注意意
9、到到代入公式代入公式,得得).10()!1(!2112 nxnxxnenxxxe上页返回下页由公式可知由公式可知!212nxxxenx 估计误差估计误差)0(x设设!1!2111,1nex 取取.)!1(3 n其误差其误差)!1(neRn).10()!1()!1()(1 nxxnxnenexR上页返回下页 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin121253 nnnxonxxxxx )()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx )(1112nnxoxxxx )(!)1()
10、1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 上页返回下页例例 2 2 计计算算 403cos2lim2xxexx .解解)(!2114422xoxxex )(!4!21cos442xoxxx )()!412!21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原原式式上页返回下页例例3 3.)1(51lim520 xxxx 求极限求极限解解.2的次数为的次数为分子关于分子关于 x515)51(51xx )()5()151(51!21)5(51122xoxx )(2122xoxx )1()(21lim2220 xxoxxxx 原原式式.21 上页返回下页
11、例例4 4)1,0(21)(:,1)(),1()0(,1,0)(xxfxfffxf证明证明且且上二阶可微上二阶可微在在若函数若函数证证,1,00 x设设有有展展成成一一阶阶泰泰勒勒公公式式处处把把在在,)(0 xfx20000)(21)()()(xxfxxxfxfxf 则则有有令令,1,0 xx201000)(21)()()0(xfxxfxff 202000)1)(21)1)()()1(xfxxfxff (1)(2)上页返回下页2022010)1)(21)(21)(xfxfxf (1)(2),),1()0(ff 注意到注意到则有则有,1)(xf20200)1(2121)(xxxf 41)21(
12、20 x,1,00知知又又由由 x,21210 x21)(0 xf于于是是有有.,0可可知知命命题题成成立立的的任任意意性性由由 x上页返回下页xy xysin 播放播放1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;五、小结五、小结上页返回下页播放播放2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.上页返回下页思考题思考题利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限30)1(sinlimxxxxexx 上页返回下页思思考考题题解解答答)(!3!21332xoxxxex )(!3sin33xoxxx 30)1(sinlim
13、xxxxexx3333320)1()(!3)(!3!21limxxxxoxxxoxxxx 33330)(!3!2limxxoxxx 31 上页返回下页一、一、当当10 x时，求函数时，求函数xxf1)(的的n阶泰勒公式阶泰勒公式 .二、二、求函数求函数xxexf)(的的n阶麦格劳林公式阶麦格劳林公式.三、三、验证验证210 x时，按公式时，按公式62132xxxex 计算计算xe的近似值，可产生的误差小于的近似值，可产生的误差小于 0.010.01，并求，并求e的的近似值，使误差小于近似值，使误差小于 0.010.01.四、四、应用三阶泰勒公式求应用三阶泰勒公式求330的近似值，并估计误差的近
14、似值，并估计误差.五、五、利用泰勒公式求极限：利用泰勒公式求极限：1 1、xexxx420sincoslim2 ；2 2、)11ln(lim2xxxx .练练 习习 题题上页返回下页一、一、)1()1()1(112nxxxx )1,0()1(1)1()1(211 nnnxx.二、二、)!1(!232 nxxxxxenx )10(,)1()!1(11 nxxexnn.三、三、645.1 e.四、四、5331088.1,10724.330 R.五、五、1 1、121.2.2、21.练习题答案练习题答案上页返回下页xy xysin 五、小结1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近
15、近似似计计算算中中的的应应用用;xy xysin!33xxy o五、小结1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;xy xysin!33xxy o!5!353xxxy 五、小结1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;xy xysin!33xxy !5!353xxxy !7!5!3753xxxxy o五、小结1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;xysin!11!9!7!5!3119753xxxxxxy o五、小结1 1.T Ta ay yl
16、 lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylo
17、r 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.
