1、4 4 状态空间模型状态空间模型教学要求教学要求u了解研究动态系统的一般方法了解研究动态系统的一般方法u理解状态、状态空间的概念理解状态、状态空间的概念u掌握微分方程与连续变量的状态空间表达式，会掌握微分方程与连续变量的状态空间表达式，会根据给定的微分方程和系统机理模型，建立系统根据给定的微分方程和系统机理模型，建立系统状态空间模型状态空间模型动态系统与静态系统动态系统与静态系统u动态系统：系统状态随时间而变化的系统或者按动态系统：系统状态随时间而变化的系统或者按确定性规律随时间演化的系统确定性规律随时间演化的系统,称为动态系统。称为动态系统。u所谓动态系统所谓动态系统(又称为动力学系统又称为
2、动力学系统),),抽象来说是指抽象来说是指能储存输入信息能储存输入信息(或能量或能量)的系统。例如的系统。例如,含有电感和电容等储存电能量的元件的电网络系统含有电感和电容等储存电能量的元件的电网络系统,含有弹簧和质量体等通过位移运动来储存机械能量的含有弹簧和质量体等通过位移运动来储存机械能量的刚体力学系统刚体力学系统,存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统等。存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统等。u静态系统静态系统u区别在于区别在于:静态系统的输出取决于当前系统的瞬时输入静态系统的输出取决于当前系统的瞬时输入,而动态系而动态系统的输出取决于系统当前及过去的输入信息的影响的统的输出取
3、决于系统当前及过去的输入信息的影响的叠加。叠加。如如,电阻的电流直接等于当前的电压输入与电阻值之比电阻的电流直接等于当前的电压输入与电阻值之比,而电容两端的电压则是通过电容的当前及过去的电流而电容两端的电压则是通过电容的当前及过去的电流的积分值与电容值之比。的积分值与电容值之比。u在进行动态系统的分析和综合时在进行动态系统的分析和综合时,首先应建立该系首先应建立该系统的数学模型统的数学模型,它是我们进行系统分析、预报、优它是我们进行系统分析、预报、优化及控制系统设计的基础。化及控制系统设计的基础。有两种研究动态系统的方法有两种研究动态系统的方法输入输入-输出法（端部法、黑箱法）：输出法（端部法
4、、黑箱法）：只研究系统只研究系统的端部特性，而不研究系统的内部结构。系统特的端部特性，而不研究系统的内部结构。系统特性用传递函数来表示。性用传递函数来表示。状态变量法：状态变量法：以系统的状态变量来描述系统的数以系统的状态变量来描述系统的数学模型称为状态空间模型（学模型称为状态空间模型（State Space Model）。它是研究动态系统和多变量复杂系统的特性所。它是研究动态系统和多变量复杂系统的特性所采用的数学模型。（它仍然是处理系统的输入和采用的数学模型。（它仍然是处理系统的输入和输出间的关系的，只是在这些关系中附加了状态输出间的关系的，只是在这些关系中附加了状态变量）变量）6u传递函数
5、是经典控制理论中描述系统动态特性的传递函数是经典控制理论中描述系统动态特性的主要数学模型主要数学模型,它适用于它适用于SISOSISO线性定常系统线性定常系统,能便能便利地处理这一类系统的瞬态响应分析或频率法的利地处理这一类系统的瞬态响应分析或频率法的分析和设计。分析和设计。但是但是,对于对于MIMOMIMO系统、时变系统和非线性系统系统、时变系统和非线性系统,这种这种数学模型就无能为力。数学模型就无能为力。传递函数仅能反映系统输入与输出之间传递的线性传递函数仅能反映系统输入与输出之间传递的线性动态特性动态特性,不能反映系统内部的动态变化特性。不能反映系统内部的动态变化特性。因而是一种对系统的
6、外部动态特性的描述因而是一种对系统的外部动态特性的描述,这就使得这就使得它在实际应用中受到很大的限制。它在实际应用中受到很大的限制。u现代控制理论是在引入状态和状态空间概念的基现代控制理论是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。础上发展起来的。在用状态空间法分析系统时在用状态空间法分析系统时,系统的动态特性是用由系统的动态特性是用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。它能反映系统的全部独立变量的变化它能反映系统的全部独立变量的变化,从而能同时确从而能同时确定系统的内部运动状态定系统的内部运动状态,而且还可以方便地处理初始而且还可以方便地处理初始条件
7、。条件。因而因而,状态空间模型反映了系统动态行为的信息状态空间模型反映了系统动态行为的信息,是对是对系统行为的一种完全描述。系统行为的一种完全描述。u状态空间分析法不仅适用于状态空间分析法不仅适用于SISOSISO线性定常系统线性定常系统,也适用于非线性系统、时变系统、也适用于非线性系统、时变系统、MIMOMIMO系统系统以及随机系统等。以及随机系统等。因而因而,状态空间分析法适用范围广状态空间分析法适用范围广,对各种不同的系统对各种不同的系统,其数学表达形式简单而且统一。其数学表达形式简单而且统一。更突出的优点是更突出的优点是,它能够方便地利用数字计算机进行它能够方便地利用数字计算机进行运算
8、和求解运算和求解,甚至直接用计算机进行实时控制甚至直接用计算机进行实时控制,从而显从而显示了它的极大优越性。示了它的极大优越性。1 1、系统的状态和状态变量、系统的状态和状态变量 “完全完全”：若给定了若给定了t=t0时刻这组变量的值和时刻这组变量的值和tt0时输入的时输入的时间函数，那么系统在时间函数，那么系统在t t0的任何瞬时的行为就完全确的任何瞬时的行为就完全确定了。定了。“最小最小”：指这个变量组中的每个变量都是独立的指这个变量组中的每个变量都是独立的10 所谓所谓状态状态，是指系统过去、现在和将来的状况。，是指系统过去、现在和将来的状况。是表示系统运行的特征属性的量，它是随时间而变
9、是表示系统运行的特征属性的量，它是随时间而变化的。化的。系统状态系统状态是指表示系统的一组变量，若已知这组是指表示系统的一组变量，若已知这组变量、输入和描述系统动态特性的方程，就可以完变量、输入和描述系统动态特性的方程，就可以完全确定系统未来的状态和输出响应。全确定系统未来的状态和输出响应。状态变量：状态变量：最小变量集合中的每一个变量。最小变量集合中的每一个变量。11u若要完全描述若要完全描述n n阶系统阶系统,则其最小变量组必须由则其最小变量组必须由n n个变量个变量(即状态变量即状态变量)所组成所组成,一般记这一般记这n n个状态变个状态变量为量为x x1 1(t t),),x x2 2
10、(t t),),x xn n(t t).若以这若以这n n个状态变量为分量个状态变量为分量,构成一个构成一个n n维变量向量维变量向量,则则称这个向量为状态变量向量称这个向量为状态变量向量,简称为状态向量简称为状态向量,并可表并可表示如下示如下:1212.nnxxx xxxx 系统内部状态 x1,x2,xn u1 u2 ur y1 y2 ym 图2-1 多输入多输出系统示意图u状态变量是描述系统内部动态特性行为的变量。状态变量是描述系统内部动态特性行为的变量。它可以是能直接测量或观测的量它可以是能直接测量或观测的量,也可以是不能直接也可以是不能直接测量或观测的量；测量或观测的量；可以是物理的可
11、以是物理的,甚至可以是非物理的甚至可以是非物理的,没有实际物理没有实际物理量与之直接相对应的抽象的数学变量。量与之直接相对应的抽象的数学变量。状态空间u状态变量与输出变量的关系状态变量与输出变量的关系 状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行为的变量。状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行为的变量。而输出变量是仅仅描述在系统分析和综合而输出变量是仅仅描述在系统分析和综合(滤波、优化滤波、优化与控制等与控制等)时所关心的系统外在表现的动态特性时所关心的系统外在表现的动态特性,并非系并非系统的全部动态特性。统的全部动态特性。因此因此,状态变量比输出变量更能全面反映系统的内在变状态变量比输出变量更
12、能全面反映系统的内在变化规律。化规律。可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现,是状态变量的输出空间的投影,一个子集。输出空间空间映射xy2.2.系统的状态空间系统的状态空间u若以若以n n个状态变量个状态变量x x1 1(t t),),x x2 2(t t),),x xn n(t t)为坐标轴为坐标轴,就就可构成一个可构成一个n n维欧氏空间维欧氏空间,并称为并称为n n维状态空间维状态空间,记记为为Rn n.u状态向量的端点在状态空间中的位置状态向量的端点在状态空间中的位置,代表系统代表系统在某一时刻的运动状态。在某一时刻的运动状态。x1 x2 x(t0)x(t1)x(t2)x(t)随着时间
13、的推移,状态不断地变化,tt0各瞬时的状态在状态空间构成一条轨迹,它称为状态轨线。状态轨线如图所示。图 二维空间的状态轨线 机理分析建模机理分析建模按照系统的实际结构,工作原理,并通过某些决定系统动态行为的物理定律、化学反应定律、社会和经济发展规律,以及各种物料和能量的平衡关系等来建立系统模型。实验建模实验建模(系统辨识系统辨识)通过对系统的实验或实际运行过程中取得能反映系统的动态行为的信息与数据,用数学归纳处理的方法来建立系统模型。系统状态空间建模方法系统状态空间建模方法17182 2、微分方程与连续变量的状态空间表达式、微分方程与连续变量的状态空间表达式 连续动态系统的数学模型是微分方程。
14、连续动态系统的数学模型是微分方程。将反映系统动态过程的将反映系统动态过程的n阶微分方程，转换成一阶微分方程，转换成一阶微分方程组的形式，并利用矩阵和向量的数学工阶微分方程组的形式，并利用矩阵和向量的数学工具，将一阶微分方程组用一个式子来表示，这就是具，将一阶微分方程组用一个式子来表示，这就是状态方程。将状态方程与描述系统状态变量与系统状态方程。将状态方程与描述系统状态变量与系统输出变量之间的关系的输出方程一起就构成了状态输出变量之间的关系的输出方程一起就构成了状态空间表达式。空间表达式。1920由微分方程理论知由微分方程理论知,若初始时刻若初始时刻t0的初值的初值y(t0),y(t0),y(n
15、-1)(t0)已知，则对给定的输入已知，则对给定的输入u(t),上述微分方程有唯一解，也即系统在上述微分方程有唯一解，也即系统在t t0的任何瞬的任何瞬时的动态都被唯一确定。因此，选择状态变量为如时的动态都被唯一确定。因此，选择状态变量为如下变量下变量 x1(t)=y(t),x2(t)=y(t),xn(t)=y(n-1)(t)可完全刻划系统的动态特性。而且取输出可完全刻划系统的动态特性。而且取输出y和和y的各的各阶导数为状态变量。阶导数为状态变量。21将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下状态方程有如下状态方程和输出方程和输出方程 22
16、将上式写成向量和矩阵的形式，可得将上式写成向量和矩阵的形式，可得2324u对前面引入的状态空间模型的意义对前面引入的状态空间模型的意义,有如下讨论有如下讨论:状态方程状态方程描述的是系统动态特性描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动态变化。其决定系统状态变量的动态变化。输出方程输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。状态转移矩阵状态转移矩阵A A表示系统内部各状态变量之间的关联情况表示系统内部各状态变量之间的关联情况,它主要决定系统的动态特性。它主要决定系统的动态特性。输入分配矩阵输入分配矩阵B B又称为控制矩阵又称为控制矩阵,它表示输入对状态变量变化的影响。它表示输入对状态变量变化的影响。输出系数矩阵输出系数矩阵C C反映状态变量与输出间的作用关系。反映状态变量与输出间的作用关系。输入输出矩阵输入输出矩阵D D则表示了输入对输出的直接影响则表示了输入对输出的直接影响,许多系许多系统不存在这种直联关系统不存在这种直联关系,即直联矩阵即直联矩阵D D=0=0。例例 26即为所求系统的状态空间表达式。即为所求系统的状态空间表达式。27例例2 2Thank You!Thank You!
