1、利用解直角三角形解决实际问题利用解直角三角形解决实际问题解直角三角形解直角三角形在直角三角形中在直角三角形中,除直角外除直角外,由已知由已知两两元素元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形解直角三角形(1)三边之间的关系三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；2.解直角三角形的依据解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系两锐角之间的关系:A B 90；(3)边角之间的关系边角之间的关系:abctanAabsinAaccosAbc(必有一边必有一边)温故而知新温故而知新ABC如图，如图，RtABC中，中，C=90，（1）若）若A
2、=30，BC=3，则，则AC=（2）若）若B=60，AC=3，则，则BC=（3）若）若A=，AC=3，则，则BC=（4）若）若A=，BC=m，则，则AC=3 333tantanm仰角和俯角仰角和俯角铅铅直直线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角在进行测量时，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角.【例例1 1】如图，直升飞机在跨江大桥如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方的上方P点处，此时飞机离地面的高度点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且米，且A、B
3、、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为分别为=30，=45，求大桥的长，求大桥的长AB.450米米 合作与探究合作与探究解：解：由题意得，在由题意得，在RtPAO与与RtPBO中中30,45PAOPBO tan30,tan 45POPOOAOB450450 3,tan30OA450450tan45OB(450 3450)()ABOAOBm(450 3450).m答：大桥的长答：大桥的长AB为为 PABO答案答案:米米)2003200(合作与探究合作与探究变题变题1 1：如图，直升飞机在长如图，直升飞机在长400米的跨江大桥米的跨江大桥AB的上方的上方
4、P点处，且点处，且A、B、O三点在一条直线三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO.ABO3045400米米P4530OBA200米米 合作与探究合作与探究例例2 2：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上上方方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为角为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO.LUD答案答案:米米)3003100(P 合作与探究合作与探究例例2 2：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB
5、上上方方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为角为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO.4530POBA200米米C 合作与探究合作与探究4530POBA200米米C例例2 2：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上上方方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为角为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO.合作与探究合作与探究例例2 2：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上上方方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰点处，从大楼的顶部和底部测得
6、飞机的仰角为角为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO.4530POBA200米米C200米米POBA4530D答案答案:米米)3100300(合作与探究合作与探究变题变题2 2：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB左侧左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为点处，测得大楼的顶部仰角为45,测得测得大楼底部俯角为大楼底部俯角为30，求飞机与大楼之间的水，求飞机与大楼之间的水平距离平距离.4530200米米POBD 归纳与提高归纳与提高4530PA200米米CBO453045060452002004530ABOPABOP3045450例例2:热气球的探测器热气球的探测
7、器显示显示,从热气球看一栋从热气球看一栋高楼顶部的仰角为高楼顶部的仰角为30,看这栋高楼底部看这栋高楼底部的俯角为的俯角为60,热气球热气球与高楼的水平距离为与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多这栋高楼有多高高?=30=60120ABCD建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB,由距由距BC 40m的的D处观处观察旗杆顶部察旗杆顶部A的仰角为的仰角为50,观察底部观察底部B的仰角的仰角为为45,求旗杆的高度求旗杆的高度(精确到精确到0.1m)BACD401 1数形结合思想数形结合思想.方法：方法：把数学问题把数学问题转化成解直角三角形转化成解直角三角形问题，问题，如果示意图不是直角三角形，
8、可添加适当的辅如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，助线，构造出直角三角形构造出直角三角形.思想与方法思想与方法2 2方程思想方程思想.3 3转化（化归）思想转化（化归）思想.当堂反馈当堂反馈2.如图如图2，在离铁塔，在离铁塔BE 120m的的A处，处，用测角仪测量塔顶的仰角为用测角仪测量塔顶的仰角为30，已知测角仪高已知测角仪高AD=1.5m，则塔高，则塔高BE=_ （根号保留）（根号保留）图图1图图2(40 31.5)m1.如图如图1，已知楼房，已知楼房AB高为高为50m，铁塔塔基距楼房地基，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离间的水平距离BD为为100m，塔高，塔高CD为为 m，则下面
9、结论中正确的是（则下面结论中正确的是（）A由楼顶望塔顶仰角为由楼顶望塔顶仰角为60B由楼顶望塔基俯角为由楼顶望塔基俯角为60C由楼顶望塔顶仰角为由楼顶望塔顶仰角为30 D由楼顶望塔基俯角为由楼顶望塔基俯角为30100 3(50)3C 当堂反馈当堂反馈3.如图如图3，从地面上的，从地面上的C，D两点测得树顶两点测得树顶A仰角分别是仰角分别是45和和30，已知，已知CD=200m，点，点C在在BD上，则树高上，则树高AB等于等于 （根号保留）（根号保留）4.如图如图4，将宽为，将宽为1cm的纸条沿的纸条沿BC折叠，使折叠，使CAB=45，则折叠后重叠部分的面积为，则折叠后重叠部分的面积为 （根号保
10、留）（根号保留）100(31)m图图3图图4222cm 更上一层楼更上一层楼选做题：选做题：1.一架直升机从某塔顶一架直升机从某塔顶测得地面测得地面C、D两点的俯两点的俯角分别为角分别为30、45，若，若C、D与塔底与塔底共线，共线，CD200米，求塔高米，求塔高AB？2.有一块三形场地有一块三形场地ABC，测得其中，测得其中AB边长为边长为60米，米，AC边长边长50米，米，ABC=30，试求出这个三角形场，试求出这个三角形场地的面积地的面积3.学生小王帮在测绘局工作的爸爸买了一些仪器后与同学在学生小王帮在测绘局工作的爸爸买了一些仪器后与同学在环西文化广场休息环西文化广场休息，看到濠河对岸的
11、电视塔，他想用手中看到濠河对岸的电视塔，他想用手中的测角仪和卷尺不过河测出电视塔空中塔楼的高度的测角仪和卷尺不过河测出电视塔空中塔楼的高度.现已测现已测出出ADB=40，由于不能过河，因此无法知道，由于不能过河，因此无法知道BD的长度，的长度，于是他向前走于是他向前走50米到达米到达C处测得处测得ACB=55，但他们在计，但他们在计算中碰到了困难，请大家一起想想办法，求出电视塔塔楼算中碰到了困难，请大家一起想想办法，求出电视塔塔楼AB的高的高.更上一层楼更上一层楼217tan40,tan55255 （参考数据：（参考数据：）答案：答案：空中塔楼空中塔楼AB高高约为约为105米米塔楼塔楼濠河濠河
12、 ABCD50m 55401.如图，某飞机于空中如图，某飞机于空中A处探测到目标处探测到目标C，此时，此时飞行高度飞行高度AC=1200米米，从飞机上看地平面控制从飞机上看地平面控制点点B的的俯角俯角=16031，求，求飞机飞机A到控制点到控制点B的距的距离离.(精确到精确到1米）米）A AB BC C2.两座建筑两座建筑AB及及CD，其，其地面地面距离距离AC为为50.4米米，从，从AB的顶点的顶点B测得测得CD的顶的顶部部D的的仰角仰角250,测得测得其底部其底部C的的俯角俯角a500,求两座建筑物求两座建筑物AB及及CD的的高高.（精确到（精确到0.1米）米）（第 2 题）课本课本P92
13、 例例43.3.国外船只，除特许外，不得进入我国国外船只，除特许外，不得进入我国海洋海洋100100海里海里以内的区域，如图，设以内的区域，如图，设A A、B B是我们的观察站，是我们的观察站，A A和和B B 之间的之间的距离为距离为157.73157.73海里海里，海岸线是过，海岸线是过A A、B B的一条的一条直线，一外国船只在直线，一外国船只在P P点，点，在在A A点测得点测得BAP=45BAP=450 0，同，同时在时在B B点测得点测得ABP=60ABP=600 0，问此时是否要向外国船只，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域发出警告，令其退出我国海域.PAB4、如图
14、，为了测量高速公路的保护石堡坎与地面、如图，为了测量高速公路的保护石堡坎与地面的倾斜角的倾斜角BDC是否符合建筑标准，用一根长为是否符合建筑标准，用一根长为10m的铁管的铁管AB斜靠在石堡坎斜靠在石堡坎B处，在铁管处，在铁管AB上量上量得得AF长为长为1.5m，F点离地面的距离为点离地面的距离为0.9m，又量，又量出石堡坎顶部出石堡坎顶部B到底部到底部D的距离为的距离为 m ，这样能计，这样能计算出算出BDC吗？若能，请计算出吗？若能，请计算出BDC的度数，若的度数，若不能，请说明理由。不能，请说明理由。m34ABCDFE1.5m0.9m10m 1.在解直角三角形及应用时经常接触到在解直角三角
15、形及应用时经常接触到的一些概念的一些概念(仰角仰角,俯角俯角)2.实际问题向数学模型的转化实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形解直角三角形)铅铅垂垂线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角在进行观察或测量时，在进行观察或测量时，仰角和俯角仰角和俯角从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角.从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；1.如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东65方向，距离方向，距离灯塔灯塔80海里的海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到处，它沿正南方向航行一段时间后，到
16、达位于灯塔达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向上的方向上的B处，这时，海轮处，这时，海轮所在的所在的B处距离灯塔处距离灯塔P有多远？有多远？（精确到（精确到0.01海里）海里）6534PBCA 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角的角,叫做方位角叫做方位角.如图：点如图：点A在在O的北偏东的北偏东30 点点B在点在点O的南偏西的南偏西45（西南方向）（西南方向）3045BOA东东西西北北南南方位角方位角例例1 如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东65方向，距离灯塔方向，距离灯塔80海里海里的的A处，它沿正南方向航行一段
17、时间后，到达位于灯塔处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向上的方向上的B处，这时，海轮所在的处，这时，海轮所在的B处距离灯塔处距离灯塔P有多远（精确有多远（精确到到0.01海里）？海里）？解：如图解：如图，在，在RtAPC中，中，PCPAcos（9065）80cos25800.91=72.8在在RtBPC中，中，B34PBPCB sin23.130559.08.7234sin8.72sinBPCPB当海轮到达位于灯塔当海轮到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向时，它距离灯塔方向时，它距离灯塔P大约大约130.23海里海里6534PBCA 气象台发布的卫星云图显示
18、，代号为气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为的台风在某海岛（设为点点O）的南偏东）的南偏东45方向的方向的B点生成，测得点生成，测得 台台风中心从点风中心从点B以以40km/h的速度向正北方向移动，经的速度向正北方向移动，经5h后到达海后到达海面上的点面上的点C处因受气旋影响，台风中心从点处因受气旋影响，台风中心从点C开始以开始以30km/h的的速度向北偏西速度向北偏西60方向继续移动以方向继续移动以O为原点建立如图为原点建立如图12所示的所示的直角坐标系直角坐标系（1）台风中心生成点）台风中心生成点B的坐标为的坐标为 ，台风中心转折点，台风中心转折点C的的坐标为坐标为 ；（
19、结果保留根号）；（结果保留根号）（2）已知距台风中心）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭如的范围内均会受到台风的侵袭如果某城市（设为果某城市（设为A点）位于点点）位于点O的正北方向且处于台风中心的移的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？100 6kmOBx/kmy/km北东AOBC图12解：（1）(100 3 100 3)B，(100 3 200 100 3)C，（2）过点）过点C作作 于点于点D，如图，如图2，则，则 CDOA100 3CD在在 中中 RtACD30ACD1003C
20、D 3cos302CDCA2 0 0C A200206305611台风从生成到最初侵袭该城要经过台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时小时60 x/kmy/kmAOBC图图2D例例4.海中有一个小岛海中有一个小岛A，它的周围，它的周围8海里范围内有暗礁，海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛点测得小岛A在北偏在北偏东东60方向上，航行方向上，航行12海里到达海里到达D点，这时测得小岛点，这时测得小岛A在北偏东在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续向东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？航行，有没有触礁的危险？BA ADF
21、601230BADF解：由点解：由点A作作BD的垂线的垂线交交BD的延长线于点的延长线于点F，垂足为，垂足为F，AFD=90由题意图示可知由题意图示可知DAF=30设设DF=x,AD=2x则在则在RtADF中，根据勾股定理中，根据勾股定理222223AFADDFxxx在在RtABF中，中，tanAFABFBF3tan3012xx解得解得x=666 310.4AFx10.4 8没有触礁危险没有触礁危险3060 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度相关知识，例如，当我们
22、要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰时，只要测出仰角角a和大坝的坡面长度和大坝的坡面长度l，就能算出，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所，但是，当我们要测量如图所示的山高示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度和山坡长度l化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直直”的，而山坡是的，而山坡是“曲曲”的，怎样解决这样的问题呢？的，怎样解决这样的问题呢
23、？hhll 我们设法我们设法“化曲为直，以直代曲化曲为直，以直代曲”我们可以把山坡我们可以把山坡“化整化整为零为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是时，注意使每一小段上的山坡近似是“直直”的，可以量出这段的，可以量出这段坡长坡长l1，测出相应的仰角，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1.在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度出各段山坡的高度h1,h2
24、,hn,然后我们再然后我们再“积零为整积零为整”，把，把h1,h2,hn相加，于是得到山高相加，于是得到山高h.hl 以上解决问题中所用的以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整化整为零，积零为整”“”“化曲为直，以直代曲化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容 例例5.如图，拦水坝的横断面为梯形如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中（图中i=1:3是指坡面的铅直是指坡面的铅直高度高度DE与水平宽度与水平宽
25、度CE的比），根据图中数据求：的比），根据图中数据求：（1）坡角）坡角a和和;（2）坝顶宽）坝顶宽AD和斜坡和斜坡AB的长（精确到的长（精确到0.1m）BADFEC6mi=1:3i=1:1.5解解：（：（1）在）在RtAFB中，中，AFB=90tan11.5AFiBF ：33.7 在在RtCDE中，中，CED=90tan1:3DEiCE 18.4利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；形；（3）得到数学问题的答案；）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案）得到实际问题的答案
