1、（习题讲解）（习题讲解）习题习题4-1试导出位移分量的坐标变换式试导出位移分量的坐标变换式sincosvuurcossinvuusincosuuurcossinuuvrrASuvruuxyo习题习题4-2设有内径为设有内径为 a 而外径为而外径为 b 的圆筒受内压力的圆筒受内压力 q，试求内半径，试求内半径及外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。及外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。解：解：轴对称问题的径向位移公式（轴对称问题的径向位移公式（平面应变平面应变）：）：sincos)21(2KICrBrrBrrAEur)41()1(ln)21(21对于圆筒轴对称问题，有对于圆筒轴对称问题，有 ur 不随
2、不随 变化，即变化，即0 KICrrAEur)21(21又由又由位移单值条件位移单值条件，有，有0B常数常数A、B由应力边界条件确定。由应力边界条件确定。应力分量：应力分量：CrAr22边界条件：边界条件：qarr0brrqCaA22022 CbAqabbaA2222qabaC2222CrrAEur)21(21qabbaA2222qabaC2222rrbqabEaur)21()(122221)(122222ababqEauarr)(21222ababEaqubrr112ababqEauuarrbrr习题习题4-3 设有刚体，具有半径为设有刚体，具有半径为 b 的圆柱形孔道，孔道内放置一外的圆柱
3、形孔道，孔道内放置一外半径为半径为 b而内半径为而内半径为 a的圆筒，受内压力的圆筒，受内压力 q，试求圆筒壁，试求圆筒壁的应力。的应力。解：解：刚体边界条件：边界条件：qarr0arr0brruCrrAEur)21(21CrAr22代入边界条件，有代入边界条件，有qCaA220)21(2CbbAqabbaA2222)21()21(qabaC222)21(2CrA220r将常数将常数A、C 代入，有代入，有将常数将常数A、C 代入，有代入，有)211()21(222222rbqabba)211()21(222222rbqabbar刚体CrAr22CrA220rqabbaA2222)21()21
4、(qabaC222)21(2)211()21(222222abqabba)211()21(222222abqabbarar q习题习题4-4矩形薄板受纯剪，剪力集度为矩形薄板受纯剪，剪力集度为q，如图所示。如果离板边较远，如图所示。如果离板边较远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。qqqqqqqq 45解：解：xyrqqxyr(a)由图（由图（a）给出的孔）给出的孔边应力结果：边应力结果：)2cos21(q得：得：)45(2cos21q)45(2cos21q2sin21 q2sin21q2sin4qq4maxq4min习题习题4-5楔形体在两侧受
5、有均布剪应力楔形体在两侧受有均布剪应力q，如图所示。试求其应力分量。，如图所示。试求其应力分量。xyOqq22解：解：（1）应力函数）应力函数 的确定的确定),(r由因次分析法，可知由因次分析法，可知)(2fr代入相容方程：代入相容方程：011222222rrrr得到：得到：0)(4)(122442dfddfdr0)(4)(2244dfddfdDCBAf2sin2cos)()(2fr)2sin2cos(2DCBAr（2）应力分量的确定）应力分量的确定)(2fr)2sin2cos(2DCBArxyOqq2222211rrrr22rrrr1（2）应力分量的确定）应力分量的确定DCBAr222sin
6、22cos2DCBA222sin22cos2CBAr2cos22sin2)(2fr)2sin2cos(2DCBArxyOqq22由由对称性对称性，,r应为应为 的偶函数的偶函数；r应为应为 的奇函数的奇函数，因而有，因而有，0CB（3）由边界条件确定常数）由边界条件确定常数边界条件：边界条件：DAr22cos2DA22cos22sin2Ar02qr2代入，有：代入，有：02cos2 DAqAsin2sin2qA cot2qD代入应力分量式，有代入应力分量式，有DAr22cos2DA22cos22sin2ArxyOqq22代入应力分量式，有代入应力分量式，有sin2qA cot2qDcotsin
7、2cosqrsin2sinqrcotsin2cosqr习题习题4-6三角形悬臂梁在自由端受集中荷载三角形悬臂梁在自由端受集中荷载 P，如图所示。试用公式，如图所示。试用公式（4-21）求任一铅直截面上的正应力和剪应力，并与材料力学）求任一铅直截面上的正应力和剪应力，并与材料力学中的结果对比。中的结果对比。xyO22P解：解：由密切尔（由密切尔（J.H.Michell）解答，得）解答，得00rr)sinsinsinsincoscos(2rPr 密切尔（密切尔（J.H.Michell）解答）解答习题习题4-6三角形悬臂梁在自由端受集中荷载三角形悬臂梁在自由端受集中荷载 P，如图所示。试用公式，如图
8、所示。试用公式（4-21）求任一铅直截面上的正应力和剪应力，并与材料力学）求任一铅直截面上的正应力和剪应力，并与材料力学中的结果对比。中的结果对比。xyO22P)sinsin(2rPr解：解：由密切尔（由密切尔（J.H.Michell）解答，得）解答，得0,0r2sin2cos22rrrx2sin2cos22rrry2cos2sin2rrxy由应力分量的坐标变换式：由应力分量的坐标变换式：2cos22rrx)2cos1)(sinsin(rP2cos22rry)2cos1)(sinsin(rP2sin2cos22rrrx2sin2cos22rrry2cos2sin2rrxy2cos22rrx)2
9、cos1)(sinsin(rP2cos22rry)2cos1)(sinsin(rP2cos22rrx)2cos1)(sinsin(rP2cos22rry)2cos1)(sinsin(rP2sin2rxy2sin)sinsin(rP由坐标变换式：由坐标变换式：22yxrsin,cosryrx,)(sin22222yxyxPx,)(sin22223yxyPy,)(sin22222yxxyPxy,)(sin22222yxyxPx,)(sin22222yxxyPxyx2tanxh 材料力学结果：材料力学结果：截面弯矩截面弯矩xyO22PPxM截面惯性矩截面惯性矩1223hI截面正应力截面正应力IMyx
10、2tan3233x2tan2332xPy,)(sin22222yxyxPx 弹性力学结果弹性力学结果两者结果相差较大。两者结果相差较大。习题习题4-7曲梁在两端受相反的两个力曲梁在两端受相反的两个力 P 作用，如图所示。试求其应力分作用，如图所示。试求其应力分量。量。xyrabOPP解：解：（1）应力函数的确定）应力函数的确定分析：分析：任取一截面任取一截面 ，截面弯矩为，截面弯矩为PyM sinrP)()(1rfMsin)(1rf22rsin)(rf将其代入相容方程：将其代入相容方程：011222222rrrr0sin)(3)(3)(3)(2)(432223344rfrdrrdfrdrrfd
11、rdrrfdrdrrfd0)(3)(3)(3)(2)(432223344rfrdrrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd（a）0)(3)(3)(3)(2)(432223344rfrdrrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd上述欧拉方程的解：上述欧拉方程的解：rDrCrrBArrfln1)(3（b）代入应力函数为代入应力函数为sinln13rDrCrrBAr（c）（2）应力分量的确定）应力分量的确定22211rrrr22rrrr1sin)22(3rDrBArsin)26(3rDrBArcos)22(3rDrBAr（d）边界条件：边界条件：0arr,0arr0brr,0brr代入应力分量得
12、：代入应力分量得：xyrabOPP22211rrrr22rrrr1sin)22(3rDrBArsin)26(3rDrBArcos)22(3rDrBAr（d）边界条件：边界条件：0arr,0arr0brr,0brr代入应力分量得：代入应力分量得：0223aDaBAa0223bDbBAb端部条件（右端）：端部条件（右端）：Pdrbar0代入剪应力分量得：代入剪应力分量得：PrDrBArbaln122PabDbaabBabAln)(222222（f）联立求解式（联立求解式（e）、（）、（f），得：），得：xyrabOPP（e）00drba00rdrba自然满足自然满足,2NPA,222NbPaB)(
13、22baNPD其中，其中，abbabaNln)()(2222代入应力分量式（代入应力分量式（d），有：），有：sin)(32222rbarbarNPrsin)3(32222rbarbarNPcos)(32222rbarbarNPr（f）xyrabOPP习题习题4-8设有无限大的薄板，在板内的小孔中受有集中力设有无限大的薄板，在板内的小孔中受有集中力P，如图所示。，如图所示。试用如下应力函数求其应力分量。试用如下应力函数求其应力分量。解：解：（1）应力分量）应力分量sincoslnBrrAr提示：须要考虑位移单值条件。提示：须要考虑位移单值条件。22211rrrr22rrrr1cos)2(rBA
14、cosrAsinrA（2）确定常数）确定常数rrr取一半径为取一半径为 r 的圆板为隔离体，的圆板为隔离体，其上受力如图。其上受力如图。由圆板的平衡，得由圆板的平衡，得,0 xF0sincos20Prdrr代入应力分量，有代入应力分量，有rrr0sincos22022PrdrArBA0cos2sincos20222PdBA02 PB代入应力分量，有代入应力分量，有2PB,0yF,0OM0cossin20rdrr020rdrcos)2(rBArsinrAr0cossin220dBA0sin20dA恒等式恒等式（3）由位移单值条件确定常数）由位移单值条件确定常数 A由物理方程与几何方程：由物理方程
15、与几何方程：rrrcos)2(rBArcosrAsinrAr2PB其中：其中：应力分量：应力分量：)(1rrrEru)(11rrEurrurE12ruruurrr1由物理方程与几何方程：由物理方程与几何方程：rrrcos)2(rBArcosrAsinrAr2PB其中：其中：应力分量：应力分量：)(1rrrErucos)2(1ABArE积分得：积分得：)(cos)2(lnfABAErur代入：代入：)(11rrEurrucos)2(1BAArEruucos)2(1BAAE将将 ur 代入积分得：代入积分得：)2(ln)2(sinABArBAAEu)()(rgdfrE12ruruurrr1将将 u
16、r u 代入代入r ,rAEsin12 dfBBAEddf)(sin)2(2)(0)()(rgdrrdgr要使上式对任意的要使上式对任意的 r、成立，有成立，有LdfBBAEddf)(sin)2(2)(Lrgdrrdgr)()(LJrrg)(其中：其中：L为常数。为常数。（a）（b）求解式（求解式（a），），有有（c）将式（将式（b）变为：）变为：0)(cos)2(2)(22fBBAEdfd（d）0)(cos)2(2)(22fBBAEdfd（d）求解式（求解式（b），），有有sin2sincos)(EBBAKIf（e）cossin)(KIdf（f）LEBBAcossin2)2(ln)2(sin
17、ABArBAAEucossinKIJrEBBAcossin2将将 代入代入 u ,有有 )(,)(),(rgdff由位移单值条件，由位移单值条件，有有02BBABA21P41PA412PBcos)2(rBArcosrAsinrAr代入应力分量：代入应力分量：rrr得到：得到：cos4)3(rPrcos4)1(rPsin4)1(rPr习题习题4-9半平面在其一段边界上受法向分布载荷作用半平面在其一段边界上受法向分布载荷作用 q,如图所示。试如图所示。试证半平面体中直角坐标应力分量为：证半平面体中直角坐标应力分量为：)2sin2(sin)(2212120qx（叠加法）（叠加法）)2sin2(sin
18、)(2212120qy)2cos2(cos2120qxyqxyOP12证法证法1:aaqxyOP12aaxyOaaqPxyOaaqP（叠加法）（叠加法）证法证法1:分析思路：分析思路：xyOqPrqxyPrqqr)(tan2)2sin2()2cos1(tanqq)(tan2)2sin2()2cos1(tanqr)(tan2)2sintan)2cos1(2sin)2(2qr2sin)2(2q)2cos1(2qr求解步骤：求解步骤：由楔形体在一面受均布压力问题的结果：由楔形体在一面受均布压力问题的结果：（4-25）)(xyOqPr2sin)2(2qr2sin)2(2q)2cos1(2qr222)a
19、rctan2(2yxxyxyqx222)arctan2(2yxxyxyqy22222yxxqxy（由应力分量的坐标变换）（由应力分量的坐标变换）应力分量的直角坐标形式应力分量的直角坐标形式xyOaaqP22)()(2)arctan2(2ayxayxxayqx22)()(2)arctan2(2ayxayxxayqy222)(22ayxxqxyy y+axyOqPr222)arctan2(2yxxyxyqx222)arctan2(2yxxyxyqy22222yxxqxy22)()(2)arctan2(2ayxayxxayqx22)()(2)arctan2(2ayxayxxayqy222)(22ay
20、xxqxyxyOaaqP2222sin)2(2qx222sin)2(2qy)2cos1(22qxy2arctanxay222cos)(ayxay222sin)(ayxx2222cos1sin2xyOaaq0P22)()(2)arctan2(2ayxayxxayqx22)()(2)arctan2(2ayxayxxayqy222)(22ayxxqxyxyOqPr222)arctan2(2yxxyxyqx222)arctan2(2yxxyxyqy22222yxxqxyy ya1112sin)2(2qx112sin)2(2qy)2cos1(21qxyxyOaaq0P22)()(2)arctan2(2a
21、yxayxxayqx22)()(2)arctan2(2ayxayxxayqy222)(22ayxxqxy1arctanxay122cos)(ayxay122sin)(ayxx1212cos1sin2q0 xyOP12aa222sin)2(2qx222sin)2(2qy)2cos1(22qxy112sin)2(2qx112sin)2(2qy)2cos1(21qxy)2sin2(sin)(2212120qx)2sin2(sin)(2212120qy)2cos2(cos2120qxy（积分法）（积分法）证法证法2:qxyOP12qdyx2223)(2yxxqddx2222)()(2yxyxqddy2
22、222)()(2yxyxqddxy 利用半限平面边界上作用利用半限平面边界上作用法向集中力法向集中力 P 的结果，有：的结果，有：由图中的几何关系，有：由图中的几何关系，有：cos)(22 yxxsin)(22yxytanxy 2cosdxd222coscos)(dyxcos)(22dyx（1）将以上关系式代入式（将以上关系式代入式（1），有），有qxyOP12qdyxdqdx2cos2（2）dqdy2sin2dqdxycossin22223)(2yxxqddx2222)()(2yxyxqddy2222)()(2yxyxqddxy（1）122cos2dqx122sin2dqy12cossin2
23、dqxy（3）qxyOP12qdyx122cos2dqx122sin2dqy12cossin2dqxy（3）积分上式，有：积分上式，有：)2sin2(sin)(2212120qx)2sin2(sin)(2212120qy)2cos2(cos2120qxybadr000bardrbardr00arr0arr0brr0brrbardr000badr00bardr0arr0arr0brr0brrPPM(a)(b)090bardrbadr90bardr90PPMMPPbaM2MPba2Pba2MPbaM2badr0bardr0bardr00MPba2P(c)rra0000r01800180r0coss
24、incos0Padarrarr0sincossin0Padarrarr00adaarr0 xF0yF0OM补充题补充题xyO22MP列写图示问题的边界条件列写图示问题的边界条件qr000r00r0qrr0qrrxyO22MP00r00rrrr0yF0cossincos22Prdrr0sincossin22Prdrr0 xF0OM0222Mdrrr试证明：试证明：补充题补充题 1 1122222rrrrrrrr满足极坐标下平衡微分方程（满足极坐标下平衡微分方程（4-1）补充题补充题证明极坐标系下应变协调方程可表示为证明极坐标系下应变协调方程可表示为:rrrrrrrrrr222222211112轴
25、对称情况下：轴对称情况下：0rdrdr补充题补充题2rkrkrrrk 0r设弹性体受径向和环向常体力：设弹性体受径向和环向常体力：作用，试证明下列应力分作用，试证明下列应力分量可作为极坐标下平衡微分方程（量可作为极坐标下平衡微分方程（4-1）的一个特解）的一个特解：kkr,证明证明:rr1rrrr0rk021krrrrr（41）代入极坐标下的平衡微分方程代入极坐标下的平衡微分方程:2kkr02kkrrk0显然，有显然，有:k00k0（1）表明式（表明式（1）为方程（）为方程（4-1）的一个特解。的一个特解。在弹性体受径向和环向常体力：在弹性体受径向和环向常体力：作用下，下列应力分量可作用下，下
26、列应力分量可否为某个问题的可能解？否为某个问题的可能解？kkr,思考题：思考题：211222rkrkrrrrrrkr22（2）rrr1答案：答案：不能成为某个问题的解。不能成为某个问题的解。为什么？为什么？有一薄壁圆筒的平均半径为有一薄壁圆筒的平均半径为 R，壁厚为，壁厚为 t，两端受相等相反的扭矩，两端受相等相反的扭矩 M 作用。现在圆筒上发现半径为作用。现在圆筒上发现半径为 a 的小圆孔，如图所示，则孔边的的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？最大应力如何？最大应力发生在何处？p2a有一薄壁压力容器，受内压有一薄壁压力容器，受内压 p 作用，其平均半径为作用，其平均半径为 R，壁厚为，壁厚为 t。现在容器壁上发现一半径为现在容器壁上发现一半径为 a 的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？力如何？最大应力发生在何处？补充题补充题1.补充题补充题2.
