1、第四节第四节 图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析 n灵敏度分析的概念和重要性灵敏度分析的概念和重要性n目标函数中的系数目标函数中的系数c cj j的灵敏度分析的灵敏度分析n约束条件中右边系数约束条件中右边系数b bi i的灵敏度分析的灵敏度分析 一、灵敏度分析的概念一、灵敏度分析的概念 n灵敏度分析：就是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数cj、bi、aij变化时，对最优解产生什么影响。二、灵敏度分析的重要性二、灵敏度分析的重要性n首先，因为这些系数都是估计值和预测值，不一定非常精确；n其次，即使这些系数值在某一时刻是精确值，他们也会随着市场条件的变化而变化，不会一成不变的
2、。例如，原材料的价格，商品的售价、加工能力、劳动力的价格等等都会影响这些系数的变化；n有了灵敏度分析就不必为了应付这些变化而不停地建立新的模型和求其新的最优解，也不会由于系数的估计和预测的精确性而对所求的得最优解存在不必要的怀疑。三、目标函数系数三、目标函数系数cj的的灵敏度分析灵敏度分析n例：0,12241032.46max21212121xxxxxxtsxxF图解122421 xx204621 xxx1x2426351103221 xxOABC04621 xx讨论cj变化对原问题的影响2k2斜率204621 xxx1x242635132k1斜率OABC04621 xx（1）Cj变动不影响可
3、行解域；（2）cj变动将影响目标函数等值线的斜率，从而可能影响与可行解域的交点；（3）当目标函数等值线的斜率在 和 之间变动时，最优解仍在B点；1212讨论cj变化对原问题的影响204621 xx04621 xx2k2斜率x1x2426351OABC（4）当目标函数等值线的斜率0kk1时，最优解交于A点；1232k1斜率讨论cj变化对原问题的影响2k2斜率x1x2426351OABC（5）当目标函数等值线的斜率kk2时，最优解交于C点；1232k1斜率讨论最优解不变时c1变动的范围（c2=4不变）2k2斜率204621 xx04621 xxx1x242635132k1斜率OABC128c38c
4、324c-2-kkkcck1111221的变动范围为：即，时，最优解不变，当目标函数等值线斜率讨论最优解不变时c2变动的范围（c1=6不变）2k2斜率204621 xx04621 xxx1x242635132k1斜率OABC1293c32c6-2-kkkcck2221221c的变动范围为：即，时，最优解不变，当目标函数等值线斜率总结：总结：cj的灵敏度分析的灵敏度分析n目标函数中的系数cj变化不影响可行解域；ncj变化只影响目标函数等值线的斜率；n线性规划问题的最优解若为可行解域的某一顶点，交于该顶点的两条直线的斜率即cj变动范围，cj在两条直线斜率之间变动时，原线性规划问题的最优解不变，最优
5、值变动最优值变动（cj变动）。四、约束条件中右边系数四、约束条件中右边系数bi的的灵敏度分析灵敏度分析n例：0,12241032.46max21212121xxxxxxtsxxF讨论：当b1=10 b1=11时对原问题的影响122421 xx204621 xxx1x2426351103221 xxOABC04621 xx讨论：b1变动对原问题的影响（b1=10 b1=11）122421 xx204621 xx04621 xxx1x2426351103221 xxOABC113221 xxBA5.204621 xx讨论：b1变动对原问题的影响（b1=10 b1=11）x1x2426351OABC
6、BA（1）原可行解域为OABC，现可行解域为0ABC。（2）原最优解为B点，现最优解为B点。总结：约束条件中右边系数总结：约束条件中右边系数bi的的灵敏度分析灵敏度分析 n当约束条件右边系数bi变化时，其线性规划的可行解域将变化；n当某个bi发生变动时，它所在的约束条件直线的斜率不变，相当于将可行解域的一个边界做平行移动。n当约束条件右边系数bi变化时，目标函数等值线斜率不变；n当bi变动时，重新考察最优解的交点是否改变。讨论bi变动带来最优值的变化n例：某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产。生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗以及资源的限制如下表：n工厂每生产一单位甲产品
7、可获利50元，每生产一单位乙产品可获利100元，问工厂应分别生产多少单位产品甲和产品乙才能使得获利最多？甲产品乙产品资源限制设备11300台时原料A21400kg原料B01250kg数学模型：n设甲、乙两种产品的产量分别为x1、x2：0,02504002300.10050max212212121xxxxxxxtsxxFDBC图解法400221 xx2502x01005021xx100200300400100200300400OA可行解域为OABCD最优解为B点（50，250）最优生产方案为：甲生产50，乙生产250；此时，总利润为27500元。30021 xx现提高设备可利用台时数（b1=30
8、0 b1=310)n设甲、乙两种产品的产量分别为x1、x2：0,02504002300.10050max212212121xxxxxxxtsxxF0,02504002310.10050max212212121xxxxxxxtsxxFDBC图解法400221 xx2502x01005021xx100200300400100200300400OA此时，可行解域为OABCD最优解为B点（60，250）最优生产方案为：甲生产60，乙生产250；此时，总利润为28000元。BC30021 xxB1变化前后对比：nb1=300时，n最优解为x1=50,x2=250n最优值为 50*50+100*250=2
9、7500nb1=310时，n最优解为x1=60,x2=250n最优值为 50*60+100*250=28000每增加一个台时的设备就可以多获得每增加一个台时的设备就可以多获得500/10=50元的利润元的利润设备台时数增加10台时总利润增加500元对偶价格n约束条件常数项中增加一个单位而使得目标函数值得到改进的数量称之为这个约束条件的对偶价格。n上例中，设备台时数的对偶价格=50。DBC讨论：原料A（b2）的对偶价格10020030040010020030040001005021xxOA原料A的约束条件原料B的约束条件设备台时的约束条件CD400221 xxb b2 2小变动对原问题小变动对原
10、问题不产生影响不产生影响原料原料A A的的对偶价格对偶价格为为0 0DBC讨论：原料B（b3）的对偶价格10020030040010020040001005021xxOA原料A的约束条件原料B的约束条件设备台时的约束条件BAb b3 3变动变动会对原问题的会对原问题的最优解产生最优解产生影响影响新的新的最优解最优解在在B B点点2502x讨论：b3增加一个单位，最优值的变化量。nb3=250时，n最优解为x1=50,x2=250n最优值为 50*50+100*250=27500nb3=251时，n最优解为x1=49,x2=251n最优值为 50*49+100*251=27550所以，原料所以，原料B B的对偶价格的对偶价格=50=50几种情况n如果对偶价格大于零，则其最优目标函数值得到改进。即求得最大值时，变得更大；求最小值时，变得更小；n如果对偶价格小于零，则其最优目标函数值变坏。即求最大值时，变得更小；求最小值时，变得更大；n如果对偶价格等于零，则其最优目标函数值不变。练习题
