1、弹性力学主讲：童中华弹性力学简明教程第三版徐芝纶4+4+上一讲回顾上一讲回顾可类比于直角坐标系，附加力可类比于直角坐标系，附加力：(1)两径向面不平行；两径向面不平行；(2)两两环向面面积不相等环向面面积不相等。可类比于直角坐标系，附加应变可类比于直角坐标系，附加应变：(1)半径增加导致周长增半径增加导致周长增加；加；(2)环向转动导致方向变化。物理方程不变化。环向转动导致方向变化。物理方程不变化。坐标变换关系式，应力分量的极坐标表示，坐标变换关系式，应力分量的极坐标表示，Laplace算子，算子，极坐标中按应力求解平面问题。极坐标中按应力求解平面问题。第四章 平面问题的极坐标解答4-4 应力
2、分量的坐标变换式4-5 轴对称应力和相应的位移4-6 圆环或圆筒受均布压力4-7 压力隧洞4+小结4 4-4-4应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式u一定应力状态下，由一种坐标系中的应力分量求另一坐标系的应力分量，需建立。u应力分量不仅具有方向性，还与其作用面有关。取出一个包含x y面(含sx,sy,txy)和r(或f)面（含sf,sr,trf）的三角形微分体，厚度为1，考虑其平衡条件。直角坐标极坐标0rF0cossinsincossinsincoscosttsssrdsdsdsdsdsyxxyyx)(sincos2sincos22axyyxtsssr0F)()sin(cossincos)
3、(22bxyxytsstrsin,cos,dsacdsabdsbc则设取包括取包括x、y面和面和面的面的三角形微分三角形微分体体ys4 4-4-4应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式0F)(sincos2cossin22cxyyxtsss0rF)sin(cossincos)(22tssttrryxxy取包括取包括x、y面和面和f f面的面的三角形微分三角形微分体体4 4-4-4应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式)(sincos2sincos22axyyxtsssr应力分量由直角坐标应力分量由直角坐标向极坐标的变换式：向极坐标的变换式：4 4-4-4应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变
4、换式)sin(coscossin)(sincos2cossinsincos2sincos222222tssttssstsssrrxyxyxyyxxyyx由由可反求出可反求出)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222tssttssstsssrrrrrrxyyx思考：如何由思考：如何由2-3中公式直接导出极坐标变换式？中公式直接导出极坐标变换式？在极坐标平面内的应力分量仅仅是径向坐标 r 的函数，不随角坐标 f 变化，应力函数为【旋转对称旋转对称】物体的形状或某物理量绕中心轴旋转任意角度后不变。4 4-5-5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和
5、相应的位移rrrtrsrrrsrr22222221111)94(0122rrtrsrrsLaplace算子成为4 4-5-5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移)dd(dd111222222221ddddrrrrrrr相容方程成为0)dd(ddddd)dd(dd241111积分四次得应力函数通解)104(lnln22DCBA02)ln23(2)ln21(22rrtrrsrrsCBACBADCBA22lnlnrrrrrtssssEEE)1(2)(1)(1012ln1231112ln12311122rrrrrrCBBAECBBAE应变与角坐标无关，也为旋转对称。0,dd,dd22rt14
6、 4-5-5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移4 4-5-5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移01,1,rrrrrrrrrrruuuuuu)(12)1(ln123111fCBBAEuuu)(4rfEB)()(41rrfdfEBu 0d14dd4dd1ffEBfEBf11rr4 4-5-5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移 ffff11dddddF Fff11dd FHf1 Fffddd sincosKIf 0dd22ff cossindKIFf4 4-5-5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移12)-(4 cossin4sincos)1(2)31(
7、)1(ln)1(2)1(1rrrrrrrrKIHEBuKICBBAEu代入 ，得轴对称应力问题对应的位移通解,uuI，K为x、y向的刚体平移，H 为绕o点的刚体转动角度。4 4-5-5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移【说明说明】(1)轴对称应力条件下，应力函数（4-10）、应力（4-11）位移（4-12）的解为通解，适用于任何轴对称应力问题。(2)实现轴对称应力的条件是，物体形状、体力和面力应为轴对称。(3)轴对称应力及对应的位移的通解已满足相容方程，它们还必须满足边界条件及多连体中的位移单值条件，并由此求出各待定系数A、B及C。圆环(平面应力问题)和圆筒(平面应变问题)受内外均
8、布压力，属于轴对称应力问题，可以引用轴对称应力问题的位移分量的通解。4 4-6-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力12)-(4 cossin4rrrKIHEBuu由多连体中位移单值条件可得 B=0q1q2rR（应力分量）通解。4 4-6-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力)114(02)ln23(2)ln21(22rrrttrrsrrsCBACBA应力边界条件要求：0)(,0)(Rr21)(,)(qqRr满足B=022122,2qCRAqCrARrrrrrssq1q2rR解出4 4-6-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力22221222122221)(rRqRqr
9、CrRqqRrA进而可得出拉梅解答：01111111122222122222222212222qRrrqrRRqRrrqrRRq1q2rR带圆孔的无限大薄板（或圆孔道）（1）只有内压力0,021qq（2）只有外压力122221222211,11qrRRqrRR222222222211,11qRrrqRrr122122,qrqrRrr4 4-6-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力0,021qq（1）多连体中的位移单值条件，实质上就是物体的连续性条件（即位移连续性条件）（2）在连续体中，应力、形变和位移都应为单值按位移求解时：取位移为单值，求形变（几何方程）也为单值，求应力（物理方程）也
10、为单值。按应力求解时：取应力为单值，求形变（物理方程）也为单值，求位移（由几何方程积分），常常会出现多值项。对于单连体，通过校核边界条件等，位移单值条件往往已自然满足；对于多连体，应校核位移单值条件，并使之满足。4 4-6-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力本题是两个圆筒的接触问题，两个均为轴对称问题（平面应变问题）。压力隧洞圆筒（内径r，外径R)埋在无限大弹性体中，受有均布内压力。圆筒和无限大弹性体的弹性常数分别为。和,EE不符合均匀性假定，属复合材料力学所研究的范畴，对不同的材料区域需采用不同的应力函数，应力和位移的函数也不同。圆筒CBA,u,u,Rr,无限大弹性体,CBA,uu
11、,Rrrss4 4-7-7 压力隧洞压力隧洞位移单值条件：4 4-7-7 压力隧洞压力隧洞0,0BB圆筒内应力CACA2,222rsrsr无限大体内应力2,222CACArsrsr4 4-7-7 压力隧洞压力隧洞CACA2,222rsrsr圆筒内应力边界条件2,222CACArsrsrqrrrs)(qCrA22无穷远应力边界条件0),(rrss0C接触面上径向应力连续RRrrrrss)()(2222CRACRA4 4-7-7 压力隧洞压力隧洞RRrrrrss)()(2222CRACRA接触面上位移连续RRuurrrr)()(圆筒内位移rrrsincos)11(2)11(12KICAEu无限大体
12、内位移rrrsincos)11(2)11(12KICAEu接触面上径向应力连续4 4-7-7 压力隧洞压力隧洞位移连续条件在整个接触面上都满足，与坐标 无关，连续方程化简得到0)21(222RARACn其中)1()1(EEn解出A,C,A,C，代回应力表达式，可得全部应力的解答。4 4-7-7 压力隧洞压力隧洞应力分量表达式：)164()1()21(1)1(2)1()21(1)1()21(1)1()21(1)1()21(1 222222222222nrRnRnqnrRnnRnqnrRnnRnqrssrsrsrr当n1时的应力分布图更多精彩尽在更多精彩尽在复合材料力学复合材料力学4+4+小结小结取含环向面和直角坐标面的三角形微分体求径向应力和切应取含环向面和直角坐标面的三角形微分体求径向应力和切应力，取含径向面的微分体求环向应力和切应力，与力，取含径向面的微分体求环向应力和切应力，与2-3中中求斜面应力的法向和切向分量一样。求斜面应力的法向和切向分量一样。在极坐标平面内的应力函数、应力、应变、位移的通解都仅在极坐标平面内的应力函数、应力、应变、位移的通解都仅仅是径向坐标仅是径向坐标 r r 的函数，三个待定系数。的函数，三个待定系数。多连体中的位移单值条件。多连体中的位移单值条件。
