1、28.2 28.2 解直角三角形解直角三角形（2）九年级数学备课组在直角三角形中在直角三角形中,除直角外除直角外,由已知由已知两两元素元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形解直角三角形(1)三边之间的关系三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；2.解直角三角形的依据解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系两锐角之间的关系:A B 90；(3)边角之间的关系边角之间的关系:abctanAabsinAaccosAbc(必有一边必有一边)温故而知新温故而知新ABC如图，如图，RtABC中，中，C=90，（1）若）若A=30，BC=
2、3，则，则AC=（2）若）若B=60，AC=3，则，则BC=（3）若）若A=，AC=3，则，则BC=（4）若）若A=，BC=m，则，则AC=3 333tantanm例例4：2008年年10月月15日日“神舟神舟”7号载人航天飞船发射成功当飞船完成变号载人航天飞船发射成功当飞船完成变轨后，就在离地球表面轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行如图，当飞船运行到地球的圆形轨道上运行如图，当飞船运行到地球表面上表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为点
3、的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到，结果精确到0.1km）分析分析：从飞船上能最远直接从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点线与地球相切时的切点OQFP 如图，如图，O O表示地球，点表示地球，点F F是飞船是飞船的位置，的位置，FQFQ是是O O的切线，切点的切线，切点Q Q是是从飞船观测地球时的最远从飞船观测地球时的最远点点 的长就是地面上的长就是地面上P P、Q Q两点间的距离，为计算两点间的距离，为计算 的长需的长需先求出先求出POQPOQ（即（即a a）PQPQPQ例题例题 解：在图中，解：在图中，FQ是是 O的切线
4、，的切线，FOQ是直角三角形是直角三角形9481.035064006400cosOFOQa54.18a PQ的长为的长为.2071640018054.18 当飞船在当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约点约2009.6kmOQFP1.如图，沿如图，沿AC方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从时施工，从AC上的一点上的一点B取取ABD=140，BD=520m，D=50，那，那么开挖点么开挖点E离离D多远正好能使多远正好能使A，C，E成一直线（精确到成一直线（精确到0.1m
5、）50140520mABCEDBED=ABDD=90cosDEBDEBDcosDEBDE BDcos505200.64 520332.8答：开挖点答：开挖点E离离点点D 332.8m正好能使正好能使A，C，E成一直线成一直线.解：要使解：要使A、C、E在同一直线上，在同一直线上，则则 ABD是是 BDE 的一个外角的一个外角 2.如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面地面10米处折断倒下，树顶落在离树根米处折断倒下，树顶落在离树根24米处米处.大树在大树在折断之前高多少？折断之前高多少？解解利用勾股定理可以求利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为
6、出折断倒下部分的长度为:262610103636（米）（米）.答答:大树在折断之前高为大树在折断之前高为3636米米.22102426+=3.如图如图,太阳光与地面成太阳光与地面成60度角度角,一棵倾斜的大树一棵倾斜的大树AB与地面成与地面成30度角度角,这时测得大树在地面上的影长这时测得大树在地面上的影长为为10m,请你求出大树的高请你求出大树的高.ABC30地面地面太阳光线太阳光线6010AB的长的长D铅铅垂垂线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角在进行观察或测量时，在进行观察或测量时，仰角和俯角仰角和俯角从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯
7、角.从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；【例例1 1】如图，直升飞机在彩虹桥如图，直升飞机在彩虹桥AB的上方的上方P点点处，此时飞机离地面的高度处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为为=30，=45，求大桥的长，求大桥的长AB.450米米 合作与探究合作与探究解：解：由题意得，在由题意得，在RtPAO与与RtPBO中中30,45PAOPBO tan30,tan 45POPOOAOB450450 3,tan30OA450450tan45OB(450 34
8、50)()ABOAOBm(450 3450).m答：大桥的长答：大桥的长AB为为 PABO答案答案:米米)2003200(合作与探究合作与探究变题变题1 1：如图，直升飞机在长如图，直升飞机在长400米的跨江大桥米的跨江大桥AB的上方的上方P点处，且点处，且A、B、O三点在一条直线三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO.ABO3045400米米P4530OBA200米米 合作与探究合作与探究例例2 2：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上上方方P点处，从大楼的顶部和底部测
9、得飞机的仰点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为角为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO.LUD答案答案:米米)3003100(P 合作与探究合作与探究例例2 2：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上上方方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为角为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO.4530POBA200米米C 合作与探究合作与探究4530POBA200米米C例例2 2：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上上方方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰点处，从大楼的顶部和底
10、部测得飞机的仰角为角为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO.合作与探究合作与探究例例2 2：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上上方方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为角为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO.4530POBA200米米C200米米POBA4530D答案答案:米米)3100300(合作与探究合作与探究变题变题2 2：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB左侧左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为点处，测得大楼的顶部仰角为45,测得测得大楼底部俯角为大楼底部俯角为30
11、，求飞机与大楼之间的水，求飞机与大楼之间的水平距离平距离.4530200米米POBD 归纳与提高归纳与提高4530PA200米米CBO453045060452002004530ABOPABOP3045450例例3:热气球的探测器热气球的探测器显示显示,从热气球看阳光从热气球看阳光宾馆顶部的仰角为宾馆顶部的仰角为30,看它的底部的俯看它的底部的俯角为角为60,热气球与阳热气球与阳光宾馆的水平距离为光宾馆的水平距离为120m,阳光宾馆有多阳光宾馆有多高高?=30=60120ABCD24mDACB分析分析:过过D D作作DEBC,DEBC,E问题可化归为解问题可化归为解RtRtABCABC和和RtR
12、tAEDAED.例例4 4、如图，两建筑物的水平距离、如图，两建筑物的水平距离BCBC为为2424米米,从点从点A A测得测得点点D D 的俯角的俯角a a30300 0,测得点测得点C C 的俯角的俯角6060,求求AB AB 和和CD CD 两座建筑物的高两座建筑物的高.（结果保留根号结果保留根号）F已知已知:BC:BC24m,24m,30300 0,60600 0.求求:AB,CD:AB,CD的高的高.解解:过过D D作作DEBC,DEBC,则则DEAB,DEAB,E在在RtRtABCABC中中,ACBACBFACFAC60600 0,ABABBCBCtanACBtanACB在在ADEA
13、DE中中,ADEADEDAFDAF30300 0,DEDEBCBC24,24,AEAEDEtanADEDEtanADE3 324tan3024tan300 08 824tan6024tan600 024243 3CDCDABABAEAE24 24 8 83 33 316 16 3 3答答:两座建筑物的高分别两座建筑物的高分别为为24 m24 m和和16 m.16 m.3 33 3建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB,由距由距BC 40m的的D处观处观察旗杆顶部察旗杆顶部A的仰角为的仰角为50,观察底部观察底部B的仰角的仰角为为45,求旗杆的高度求旗杆的高度(精确到精确到0.1m)BACD4
14、0(课本课本93页页)1.在解直角三角形及应用时经常接触到在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念的一些概念(仰角仰角,俯角俯角)2.实际问题向数学模型的转化实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形解直角三角形)利用利用解直角三角形解直角三角形的知识的知识解决实际问题解决实际问题的的一般过程是一般过程是:1.将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形画出平面图形,转化为解直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案得到数学问题的答案;4.得到实
15、际问题的答案得到实际问题的答案.1 1数形结合思想数形结合思想.方法：方法：把数学问题把数学问题转化成解直角三角形转化成解直角三角形问题，问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，助线，构造出直角三角形构造出直角三角形.思想与方法思想与方法2 2方程思想方程思想.3 3转化（化归）思想转化（化归）思想.当堂反馈当堂反馈2.如图如图2，在离铁塔，在离铁塔BE 120m的的A处，处，用测角仪测量塔顶的仰角为用测角仪测量塔顶的仰角为30，已知测角仪高已知测角仪高AD=1.5m，则塔高，则塔高BE=_ （根号保留）（根号保留）图图1图图2(40 31.
16、5)m1.如图如图1，已知楼房，已知楼房AB高为高为50m，铁塔塔基距楼房地基，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离间的水平距离BD为为100m，塔高，塔高CD为为 m，则下面结论中正确的是（则下面结论中正确的是（）A由楼顶望塔顶仰角为由楼顶望塔顶仰角为60B由楼顶望塔基俯角为由楼顶望塔基俯角为60C由楼顶望塔顶仰角为由楼顶望塔顶仰角为30 D由楼顶望塔基俯角为由楼顶望塔基俯角为30100 3(50)3C 当堂反馈当堂反馈3.如图如图3，从地面上的，从地面上的C，D两点测得树顶两点测得树顶A仰角分别是仰角分别是45和和30，已知，已知CD=200m，点，点C在在BD上，则树高上，则树高AB等于等于
17、（根号保留）（根号保留）4.如图如图4，将宽为，将宽为1cm的纸条沿的纸条沿BC折叠，使折叠，使CAB=45，则折叠后重叠部分的面积为，则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留）（根号保留）100(31)m图图3图图4222cm 更上一层楼更上一层楼必做题：必做题：书本书本P96/4、P97/7题题选做题：选做题：1.一架直升机从某塔顶一架直升机从某塔顶测得地面测得地面C、D两点的俯两点的俯角分别为角分别为30、45，若，若C、D与塔底与塔底共线，共线，CD200米，求塔高米，求塔高AB？2.有一块三形场地有一块三形场地ABC，测得其中，测得其中AB边长为边长为60米，米，AC边长边长50米，米，ABC=30，试求出这个三角形场，试求出这个三角形场地的面积地的面积
