1、8 平面解析几何平面解析几何8.1 内容概述内容概述解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。与课程改革前相比，中学解析几何变化不大，主体内容仍然是：直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程。只是前两者作为必修模块，统称为平面解析几何初步，第三者则放到选修1-1和选修2-1中。另外，还在平面解析几何初步中增加了一点空间直角坐标系的简单知识。在“圆锥曲线与方程”模块中，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例，
2、了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。在“平面解析几何初步”模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。在“坐标系与参数方程”专题中，学生将了解曲线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。还有一点值得注意的是，坐标系与参数方程在多年退出后又作为选修专题4-4重新进入了中学数学。该专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等知识的综合应用和进一步深化。其
3、中，极坐标系和参数方程是重点内容，而对于柱坐标系、球坐标系等则只要求学生作简单了解。在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。解析几何的教学要重视使学生经历“几何问题代数化处理代数问题分析代数结果的几何意义解决几何问题”的过程，不断体会数形结合的思想。直线和圆是最简单的几何图形。圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型，有很多非常好的几何性质。这些重要的几何性
4、质在日常生活、社会生产及其他科学中都有着重要而广泛的应用。在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面），使学生了解圆锥曲线的背景与应用。教师可以向学生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅球的运行轨迹、卫星的运行轨迹。8.2 问题研究问题研究1、如何理解解析几何的基本思想？解析几何的基本思想当然是数形结合。但是，数形结合思想是以两个重要的思想观念为基础的：一是坐标观念，一是运动变化的思想。坐标观念通过位置量化，解决了点的代数化问题，而运动变化思想则通过引入点动成线观念，实现了曲线的代数化。笛卡尔的重要贡献在于他把运动与变化的思想引入数学，从动态的角度解决几
5、何问题，把曲线看作是运动的轨迹。具体而言，运用坐标表示，使得几何的“点”和代数的“数”之间构成对应关系，进而根据点动成线，把曲线上的“几何点集”，和满足方程的“坐标数集”对应起来，并且能够相互转换。通过坐标把曲线的性质译成了代数的语言，使许多曲线有了一般的表示法和统一的研究手段。总之，解析几何的基本手段是用坐标表示数，用方程表示曲线，用代数方法来研究几何图形。这种数和形之间的转换能力，是“数学双基”的一部分，是数学思想的华彩乐章。中学数学教学比较重视建立坐标观念，而较忽视解析几何中运动变化思想。无论是理解解析几何思想本质(没有点动成线，何谈曲线方程)还是理解数学学科发展，这都是不利的。如所知，
6、数学进步的一次重要飞跃是从常量数学到变量数学。而变量数学的创立有两个主要标志：解析几何和微积分。解析几何之所以列入，很重要的在于它奠定了从动态角度解决一系列复杂代数和几何问题的理论基础。以运动为基础，方程与曲线统一起来，代数学与几何学统一起来，运动也由此顺理成章地进入了代数学，产生了函数。从某种程度上讲，解析几何对变量数学的意义较之微积分更为基本，它奠定了微积分研究的基础。解析几何的历史贡献就在于它将坐标观念与运动变化思想结合到一起。在解析几何创立之前，方程是静态的，人们只关注如何求出方程的根。几何研究虽然把曲线看作动点运动的轨迹，但是曲线不能计算。只当解析几何把动点形成的曲线看作是“坐标(数
7、)”变化的结果，变数才破土而出。牛顿在这基础上，将曲线看作是动点的路径，把物体运动的轨迹表示为参数方程x=x(t),y=y(t).然后研究流数x(t)和y(t)；莱布尼茨则从曲线的切线入手研究曲线性质，在坐标系上观察曲线在一点的切线斜率的变化。由此，诞生了微积分.而追溯函数的来源，它正是对各种特殊的曲线的概括，从而最终成为描述运动的工具.“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学.有了变数，辩证法进入了数学.有了变数，微分和积分立刻成为必要的了.”（恩格斯自然辩证法）2、曲线的方程为什么要满足纯粹性与完备性？曲线的方程和方程的曲线是解析几何的基本概念和理论基石，它反映了曲线和方程
8、之间的统一。曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹，曲线的方程则是平面上具有某种几何性质的点的坐标之间关系的反映，这样几何中的形和代数中的数就统一起来，研究曲线的几何问题可以转化为研究方程的代数问题；反过来，代数问题也可以转化为几何问题来研究。中学课本通常这样定义曲线的方程：在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。通常称条件(1)为方程的完备性(或曲线的纯粹性)，称条
9、件(2)为方程的纯粹性(或曲线的完备性)。但曲线方程为什么要满足纯粹性与完备性？对这个问题的解释一般是这样的：如果缺少方程的完备性这个条件，就会使曲线上有些点的坐标不满足方程，存在漏网之鱼；如果缺少方程的纯粹性这个条件，就会使坐标满足方程的有些点不在曲线上，造成鱼目混珠现在问题是：漏网之鱼或鱼目混珠有何不好？或者说，不满足纯粹性与完备性就不行吗？其实，如果联系解析几何的思想，这两个要求是非常自然的。解析几何的基本想法是用代数法研究几何问题。能这样做的一个基本前提就是要给出几何对象的代数表示。解析几何给出的方案是用坐标表示点，用坐标集或方程表示曲线。代数表示的一个基本要求是应不多不少地表示相应几
10、何对象。多了少了都不是这个几何对象，而只能是其他几何对象。问题：解析法如何求两线交点？由此思考要求曲线方程具有纯粹性与完备性的必要性。3、何谓标准方程？解析几何是用代数的方法研究几何。具体地说，是通过方程研究曲线。同样的曲线，对应的方程可以不止一个。为了便于研究，我们当然应该优先选择形式简单一些或者几何特征明显一些的方程，这样的方程常称作标准方程。以二次曲线为例。二次曲线的方程之所以复杂，是由于坐标系的任意选取所产生的。如果选取适当的坐标系，那么曲线方程就可以大为简化，这也就是通常所说的标准方程。我们就是通过标准方程来研究相应曲线的性质的。4、如何理解圆锥曲线的统一性圆锥曲线是解析几何的核心内
11、容，是解析几何基本思想和基本方法的具体运用。高中学习三种圆锥曲线是单独展开的，对它们统一性的揭示不够充分。理解圆锥曲线的统一性至少有三个角度：统一的来源、统一的定义、统一的方程。统一的来源(圆锥截线的观点)设圆锥面母线、截平面与轴线的夹角分别为,截面不过圆锥顶点(非退化圆锥曲线)=/2时，曲线是圆；/2时，曲线是椭圆；=时，曲线是抛物线；0时，曲线是双曲线上述曲线离心率均为cos/cos截面过圆锥顶点(退化圆锥曲线)/2时，曲线是一点；=时，曲线是两条重合直线；0时，曲线是两条相交直线统一的定义(轨迹的观点)平面上一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比是一个常数e，动点的轨迹叫做圆锥曲线这个
12、定点叫做焦点，定直线叫做准线常数e叫做离心率当e1时是双曲线；当e=1时是抛物线统一的方程极坐标方程以焦点为极点，过焦点作准线的垂线，取焦点与垂足连线的反向延长线为极轴，建立极坐标系1cosepe直角坐标方程圆锥曲线的直角坐标方程都是二次方程，因此，圆锥曲线又称二次曲线。如果以焦点为原点，过焦点作准线的垂线，取焦点与垂足连线的反向延长线为x轴，建立直角坐标系，则圆锥曲线的直角坐标方程为其中p为焦点到准线的距离，e为离心率.下同222222(1)20exye pxe p以上三种统一性都是根本的，它们导致圆锥曲线有很多类似性质，这些类似性质又使得它们能作为一个整体广泛应用于共同领域，尤其是推动了天
13、文学、力学和光学等学科的发展。因此圆锥曲线的统一性还应理解为统一的性质、统一的应用。例如，光学反射定律如果光源放在抛物镜面的焦点上，则其光线经过抛物面反射后，都平行于抛物面的轴射出；反之，亦然。如果光源放在椭圆(双曲)镜面的一个焦点上，则其光线经过镜面反射后，都汇聚于另一个焦点(就像是从另一个焦点射出一样)；反之，亦然。光学反射定律其实反映的就是三种圆锥曲线的一些类似性质。抛物线上一点的焦半径与过该点平行于对称轴的直线之间的夹角被抛物线在该点的法线所平分；椭圆(双曲线)上一点的两条焦半径的夹角被椭圆(双曲线)在该点的法线(切线)所平分.又如，18世纪力学研究得出：凡是万有引力场中运动的物体，其
14、轨迹都是圆锥曲线；由于运动体的初始条件不同，它们取相应不同的圆锥曲线的轨迹。特别地，人造卫星运行的轨道的形状与水平方向发射火箭的初速度的关系如下5、如何定义圆锥曲线的切线高中并没有定义圆锥曲线的切线，学生理解圆锥曲线的切线大多是类比圆的切线。这样获得的认识未必都是正确的。如，抛物线的对称轴与其只有一个交点，但它是抛物线的切线吗？对圆而言，其切线就是与其只有一个交点的直线。但其实，这一性质并不是切线的本质属性，它既不充分也不必要。从本质上讲，切线应一般理解为割线的极限位置，这也是切线一词的直觉意义。但这样的认识涉及到极限，对中学生不太适用。一个现实可行的选择方案是推广与圆切线判定相关的结论。椭圆
15、是圆的仿射图形，而双曲线和抛物线又是前两者的射影图形。直线与圆之间的切线关系又是一个仿射性质。因此，推广圆切线命题到圆锥曲线涉及图形的度量性质、仿射性质、射影性质以及三者之间的关系。判断直线是否为圆的切线一般有两种办法：一是与过切点的半径垂直；二是与圆只有一个交点。前者涉及到角度，是一个度量性质，只为圆所独有，这种切线判定方法不能推广到圆的仿射图形椭圆。后者涉及到点与线之间的连结关系，是一个仿射性质，因此自然可以推广到圆的仿射图形椭圆。但它是否可推广到双曲线和抛物线的情形呢？双曲线和抛物线是圆和椭圆的射影图形，而点与线的连结又是一个射影不变量，因此采用交点个数判断直线是否为切线，总体思路是可行
16、的。但问题在于，射影平面包含有无穷远点。这样就可能出现如下情形：直线与圆锥曲线在欧氏平面内有一个交点，在射影平面内却可能有两个交点(另一个交点是无穷远点)。怎样避免这种情况发生呢？解决办法是加上“重合”两字。即，圆的切线是与圆有两个重合交点的直线。这个定义可以推广到一般圆锥曲线。6、如何看待解析几何成为教学难点？数学教育近些年的一个重要变化是，解析几何成为了高中数学教学的一个难点。如何看待这一变化？其实，不管是从研究内容还是研究方法来看，解析几何都不应该成为教学难点。从研究内容看，解析几何中的几何结论不超过平面几何的范围。高中生学习解析几何的主要任务就是学会代数语言与几何语言之间的转换，包括：
17、如何将几何对象代数化、如何将几何概念代数化、如何赋予代数结论以几何意义。即，学习解析几何就是学习用另一种方法研究已熟知的几何知识。解析几何没有新的知识内容，只有新的思想观念和方法。从研究方法看，解析几何是用解析法研究几何。解析法求解几何问题主要有四个步骤：第一步，建立恰当坐标系。第二步，确定有关点的坐标和曲线的方程。第三步，利用有关几何概念的意义、解析几何公式进行计算。第四步，推断相应几何结论。解析法整体思路上可以算法化，是一个半算法化的代数方法，易于学习。我们认为，解析几何成为教学难点原因主要有二：代数基本计算技能和技巧训练不够。几何基本概念的理解和直觉形成有所欠缺。这些恐怕都要归因于初中教
18、学要求的降低。数学中很多知识和方法(如因式分解)，由于它的基本重要性，不是想删除就可以删除，想降低要求就是可以降低要求，想减少训练就可以减少训练的。数学教学内容的改革应追求：“删繁就简三秋树，领异标新二月花”(郑板桥)8.3 错例辨析错例辨析1.已知mR,直线 l1:mx-y=0,l2:x+my-2m-1=0的交点为 P,求P点的轨迹方程.辨析辨析：直线l1,l2不能相交于点B(0,2),因为此时 l1为直线 x=0,l2为直线 y=2,这是不可能的.因此 P点的轨迹方程为 x2+y2-x-2y=0(除去点(0,2).解：很显然，两直线相互垂直。又因为直线l1过定点O(0,0),直线l2过定点
19、A(1,2),所以点P的轨迹是以OA为直径的圆。由圆的直径式方程知，点P的轨迹方程为x(x-1)+y(y-2)=0,即x2+y2-x-2y=0.解：设两圆的交点为A,B,它们的坐标均满足方程(x-2)2+y2=1,(x+2)2+y2=1.两式相减得,x=0.从而A,B两点均满足直线方程x=0.因为两点决定一条直线，所以所求公共弦的方程就是x=0.辨析：辨析：两圆相离，所求公共弦并不存在两圆相离，所求公共弦并不存在。2.求两圆C1:(x-2)2+y2=1与C2:(x+2)2+y2=1的公共弦的方程。3.已知椭圆的两焦点为F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上一点,且PF1PF2,|PF1|
20、PF2|=8,求椭圆的标准方程。解：由P是椭圆上一点，知|PF1|+|PF2|=2a两边平方，得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=4a2 又由PF1PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2 两式相减，得b2=4 又c2=|F1F2|2/4=1,所以a2=b2+c2=5.故所求椭圆标准方程为x2/5+y2/4=1或x2/4+y2/5=1.辨析：辨析：题设条件自相矛盾。事实上，方程组题设条件自相矛盾。事实上，方程组|PF1|PF2|=8,|PF1|+|PF2|=2 无无解。考虑如何修改？解。考虑如何修改？54.求以P(1,1)为中点的双曲线x2-y2/2=1的弦
21、所在的直线方程。解法一：设直线与曲线的交点为A1(a,b),A2(c,d),则有 a+c=2,b+d=2a2-b2/2=1,c2-d2/2=1后两式相减，得 a2-c2-(b2-d2)/2=0从而 (b-d)/(a-c)=2(a+c)/(b+d)=2故所求直线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.解法二：显然，所求直线不可能平行y轴。因此，设直线方程为y-1=k(x-1),将之代入x2-y2/2=1中，消去y得(2-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-3=0根据韦达定理，有 (2k-2k2)/(2-k2)=2从而 k=2故所求直线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.辨析：
22、辨析：所求直线其实并不存在所求直线其实并不存在。事实上，将。事实上，将k=2代入代入(2-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-3=0得得-2x2+4x-3=0，该方程无解。，该方程无解。解：如图，设双曲线的左焦点为F1,连接MO,则|MN|=|MF2|-|NF2|=1/2|PF2|-4.又根据中位线定理知,|MO|=1/2|PF1|.所以|MN|-|MO|=1/2|PF2|-4-1/2|PF1|=1/2(|PF2|-|PF1|)-4=1.5.设双曲线 的左焦点为F2,点P是双曲线右支上的一点.O为坐标原点，圆O与双曲线相切，与PF2相切于点N，M为线段PF2的中点，求|MN|-|MO|
23、的值。2212516xy辨析：辨析：图不正确，点图不正确，点M应在点应在点N的左边。若不然，上述解答成立，其结果表的左边。若不然，上述解答成立，其结果表明明|MN|MO|.而由图知而由图知|MN|MO|,从而出现矛盾。另外，为保证点从而出现矛盾。另外，为保证点P存在，存在，还需要验证直线还需要验证直线NF2的斜率的绝对值比双曲线渐近性小，本题不满足，因此题的斜率的绝对值比双曲线渐近性小，本题不满足，因此题设其实是不成立的。考虑如何修改？设其实是不成立的。考虑如何修改？辨析：辨析：O不一定是直角顶点。试构造一个反例。不一定是直角顶点。试构造一个反例。6.等腰直角三角形AOB内接于抛物线 ,O为抛
24、物线的顶点，求三角形AOB的面积。22(0)ypxp解：根据抛物线的对称性，知O为三角形AOB的直角顶点。联立y=x与 ，得A(2p,2p).联立y=-x与 ，得B(2p,-2p).所以三角形AOB的面积为2p*4p/2=4p222ypx22ypx8.4 知识扩充：极坐标系介绍知识扩充：极坐标系介绍点和坐标的对应关系是解析几何的基本观念之一。坐标系是建立这种对应关系的工具，是解析几何借以展现的舞台。坐标系的多样性是一个值得注意的问题。在具体数学问题中，如何架设比较合适的坐标系，使得表示简洁，计算简便，是一个十分重要的问题。坐标系的选择既包括选择不同的参照系，也包括选择不同的坐标系类型。用“距离
25、和方向”表示点的位置的坐标系称为极坐标系。在平面上取一定点O，由O出发的一条射线Ox，一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)合称极坐标平面，定点O叫做极(点)，射线Ox叫做极轴极坐标系极坐标系平面上任意一点P，用表示线段OP的长度，叫做点P的极径，表示从Ox到OP的角度，0,2)，叫做点 P的极角或幅角有序数对(,)叫做点P的极坐标。极点的极径为零，极角不定，这样建立的坐标系叫做狭义平面极坐标系如果点P(0,0)(狭义平面极坐标系下)的极坐标也表示成(-1)n0,0+n)(n为整数)，这样建立的坐标系叫做广义平面极坐标系。在广义平面极坐标系下，,(-,+)，即对,没有限制。极坐标和
26、直角坐标的一个很大的区别是：平面上的点和它的直角坐标是一一对应的，但是在极坐标系中，平面上的点和它的极坐标不是一一对应。给定了和，在平面上可以确定唯一点，反过来，给定平面上一点，它的极坐标可以有多种表示法：(-1)n,+n)(n为整数)。为了使点的极坐标能够确定，狭义平面极坐标系对极径和极角作出限制，限定0，0 2(或-1时，方程=ep/(1-ecos)只表示双曲线的右支。如果允许0,所以此时，圆锥曲线的极坐标方程为：01cosepe1cosepe当e1时，圆锥曲线右支的极坐标方程为：圆锥曲线左支的极坐标方程为：1cosepe1cosepe任取圆锥曲线上点，设其极坐标为(,)若点(,)落在定直
27、线l的右侧，则极径允许小于极径允许小于000coscos()oreepp即001cos1cosorepepeePl(,)(0)-pPl-p(,)(0)若点(,)落在定直线l的左侧，则00coscos()oreepp 001cos1cosorepepee即Pl-p(,)(0)事实上，若0，满足方程 必在右侧，满足方程 必在左侧；若0，满足方程 必在右侧，满足方程 必在左侧。cosepcosep cos()epcos()ep 00001cos1cos1cos1cosorororepepepepeeee故圆锥曲线的极坐标方程为：即1cos1cosepeporee如果假设圆锥曲线右侧用0，左侧用0，则圆锥曲线的极坐标方程为：如果假设圆锥曲线右侧用0，左侧用0，则圆锥曲线的极坐标方程为：1cosepe1cosepe此时圆锥曲线上任意一点的所有极坐标中至少有一个极坐标满足上述方程。极坐标比直角坐标思想更朴素、更直观，它们应用起来各有利弊。比如，旋转直接与角度有关，旋转公式应用极坐标得到极为方便。但令人费解的是，很多参考书并不这样推导。设A的直角坐标为(x,y),极坐标为(,),A 的直角坐标为(x,y),极坐标为(,),则 极坐标与旋转公式极坐标与旋转公式所以 cos cos()cos cossin sincossinsin sin()cos sinsin cossincosxxyyxy
