1、p 复变函数复变函数2022-12-61第二章第二章 解析函数解析函数第第2 2节节 解析函数的充要条件解析函数的充要条件p 复变函数复变函数2022-12-62解析函数的充要条件解析函数的充要条件一、内容提要一、内容提要 二、课堂练习二、课堂练习三、内容小结三、内容小结四、课后思考四、课后思考五、作业安五、作业安排排函数解析的判别方法函数解析的判别方法柯西黎曼方程（方程）柯西黎曼方程（方程）p 复变函数复变函数2022-12-63?,;,元元函函数数就就有有什什么么特特性性呢呢虚虚部部的的两两个个二二作作为为解解析析函函数数的的实实部部与与我我们们可可能能会会问问因因此此二二元元实实函函数数
2、之之间间的的联联系系过过一一个个复复变变函函数数同同二二个个在在前前面面我我们们已已经经讲讲述述较较困困难难判判别别往往往往较较复复杂杂而而且且比比定定义义来来如如果果只只根根据据解解析析函函数数的的一一个个函函数数是是否否解解析析别别而而判判一一定定都都是是解解析析函函数数由由于于每每一一个个复复变变函函数数不不:一、柯西一、柯西-黎曼方程黎曼方程 p 复变函数复变函数2022-12-64,D)y,x(iv)y,x(u)z(f内内定义区域定义区域设函数设函数 ,)y,x()y,x(V)y,x(UiyxzD)z(f可微可微点点在在与与可导可导内一点内一点在在 :)RC(方程方程简记为简记为黎曼
3、方程黎曼方程并且在该点满足柯西并且在该点满足柯西 xvyu;yvxu ().uvvvfziixxyxuuvuiixyyy 定理定理1 1 函数在某点可导的充要条件函数在某点可导的充要条件注意注意p 复变函数复变函数2022-12-65证：证：(1)必要性必要性.()(,)(,),f zu x yiv x yDzxyi设设在在内内一一点点可可导导 0,yixz则对于充分小的则对于充分小的,)()()()(zzzzfzfzzf 有有,0)(lim 0 zz 其中其中p 复变函数复变函数2022-12-66)()(1221yxyaxbiyxybxa ,)()(viuzfzzf 令令,)(ibazf
4、,)(21 iz )(iba )(yix )(21 i )(yix ui v p 复变函数复变函数2022-12-67,21yxybxau 于是于是.12yxyaxbv ,0)(lim 0 zz 因为因为100lim yx所以所以200lim yx,0 ,),(),(),(可微可微在点在点与与由此可知由此可知yxyxvyxu.,xvyuyvxu 且满足方程且满足方程p 复变函数复变函数2022-12-68(2)充分性充分性.(,)(,)(,),u x yv x yx y假假设设:与与在在点点可可微微,21yxyyuxxuu 于是于是,43yxyyvxxvv )()(zfzzf),(),(),(
5、),(yxvyyxxviyxuyyxxu ,viu 由于由于 ,uvuvxyyx 且且有有p 复变函数复变函数2022-12-69 )()(zfzzf )(yixxvixu.)()(4231yixi ,2xvixvyuyvxu 由柯西黎曼方程由柯西黎曼方程 zzfzzf)()(xvixu.)()(4231zyizxi )()(zfzzf因此因此.)()(4231yixiyyviyuxxvixu p 复变函数复变函数2022-12-610,1,1 zyzx因为因为,0)()(lim42310 zyizxiz zzfzzfzfz)()(lim)(0所以所以.xvixu .),(),()(可导可导在
6、点在点即函数即函数yixzyxivyxuzf p 复变函数复变函数2022-12-611.)(,)()1(内是解析的内是解析的在在解析函数的定义断定解析函数的定义断定则可根据则可根据内处处存在内处处存在的导数在区域的导数在区域数数导法则证实复变函导法则证实复变函如果能用求导公式与求如果能用求导公式与求DzfDzf.)(,R C),(,(,)(2)(内内解解析析在在的的充充要要条条件件可可以以断断定定那那么么根根据据解解析析函函数数方方程程并并满满足足可可微微因因而而、连连续续的的各各一一阶阶偏偏导导数数都都存存在在内内在在中中如如果果复复变变函函数数DzfyxvuDvuivuzf 二、函数解析
7、的判别方法二、函数解析的判别方法p 复变函数复变函数2022-12-612黎曼方程黎曼方程西西并且满足柯并且满足柯 ,D)y,x(v)y,x(u内可微内可微在在与与内解析内解析在其定义域在其定义域函数函数D)y,x(iv)y,x(u)z(f :1 内解析的一个充要条件内解析的一个充要条件在区域在区域可得函数可得函数的定义及定理的定义及定理根据函数在区域内解析根据函数在区域内解析D定理定理 函数在某区域解析的充要条件函数在某区域解析的充要条件p 复变函数复变函数2022-12-613 内有定义,内有定义,在区域在区域设设Dy)iv(x,y)u(x,f(z),v,v,u,u)y,x(v)y,x(u
8、yxyx存在且连续存在且连续的四个偏导数的四个偏导数和和内内若在若在D.D)z(f.RC内解析内解析在在则则方程方程并且满足并且满足 ,)y,x(v)y,x(u有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数和和由于由于,D)y,x(v)y,x(u内可微内可微在在和和因而因而 .D)z(f内解析内解析在在由上述定理知由上述定理知 推论推论注意注意p 复变函数复变函数2022-12-614例例 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导,在何处解析在何处解析:(1);(2)()(cossin).xwzf zeyiy解：解：,)1(zw ,yvxu .1,0,0,1 yvxvyuxu不满足柯西黎曼方程不满足柯西
9、黎曼方程,.,处处不解析处处不解析在复平面内处处不可导在复平面内处处不可导故故zw p 复变函数复变函数2022-12-615)sin(cos)()2(yiyezfx ,sin,cosyevyeuxx ,sin,cosyeyuyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx .,xvyuyvxu 即即 .,)(处处解析处处解析在复平面内处处可导在复平面内处处可导故故zf).()sin(cos)(zfyiyezfx 且且p 复变函数复变函数2022-12-616?)z(f,d,c,b,a)ydxycx(ibyaxyx)z(f在复平面内处处解析在复平面内处处解析取何值时取何值时问常数问常数设函数
10、设函数2222 2222ydxycx)y,x(v,byaxyx)y,x(u 因因 2;2;uuxayaxbyxy故ydxyv;dycxxv22 例例 解：解：p 复变函数复变函数2022-12-617,yv,xv,yu,xu均为连续的均为连续的显然显然 by2axdycxy,22dxx2ay 则只需则只需时,时,因此得当因此得当21,d1,c2,ba 复平面内处处解析复平面内处处解析此函数在此函数在 p 复变函数复变函数2022-12-618例例 (),().fzDf zD如果在区域内处处为零 则在区域内为一常数证：证：xvixuzf )(,0 yuiyv,0 xvyuyvxu故故 ,常数常数
11、常数常数所以所以 vu .)(内为一常数内为一常数在区域在区域因此因此Dzfp 复变函数复变函数2022-12-619 .sin)2(;)1(2在复平面上不解析在复平面上不解析证明证明zz证证,2)1(222xyiyxz ,2,22xyvyxu .2,2,2,2xyvyxvyyuxxu ,0 满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程时时仅当仅当 x ,0 2上可导上可导仅在直线仅在直线故函数故函数 xzw .在在复复平平面面内内不不解解析析课堂练习课堂练习p 复变函数复变函数2022-12-620,sinhcoscoshsinsin)2(yxiyxz ,coshsinyxu ,sinhcosyxv ,
12、coshcosyxxu ,coshcosyxyv ,),2,1,0(2 时时仅当仅当 kkx.yvxu .sin在复平面上不解析在复平面上不解析zp 复变函数复变函数2022-12-621内容小结内容小结柯西黎曼方程柯西黎曼方程复变函数可导的充要条件复变函数可导的充要条件3复变函数解析的判别方法复变函数解析的判别方法p 复变函数复变函数2022-12-622.ze证明函数 在复平面上不解析证明证明iyxzee ysiniycosex ysinev,ycoseuxx ycoseyv,ysinexvxx ysineyu,ycosexuxx 思考题思考题 p 复变函数复变函数2022-12-623yuxv,yvxuCR 条件条件由由,),k(kyycos时时即即知当知当1020 条件才成立条件才成立CR.ewz在复平面上处处不解析在复平面上处处不解析故故 p 复变函数复变函数2022-12-624作业题作业题 1.求复数1 12 2Re(),?wzz判断函数在何处可导 何处解析3232 (),.mynx yi xlxyl m n设为解析函数 试确定的值
