1、 四边形周长最小值问题解析四边形周长最小值问题解析 郑永杰郑永杰 2012013 3年年9 9月月2222日日四边形周长最小值问题主要有以下几种情形：四边形周长最小值问题主要有以下几种情形：一、一边长确定一、一边长确定【例一】已知抛物线【例一】已知抛物线y=与与y轴交于轴交于点点A(0，3),与与x轴交于点轴交于点B(1，0),C(5，0)两点，两点，如图所示。（如图所示。（1）求此抛物线的解析式。）求此抛物线的解析式。（2）若点）若点D为线段为线段OA的一个三等分点，求直线的一个三等分点，求直线DC的解析式；的解析式；（3）若一个动点）若一个动点P自自OA的中点的中点M出发，先到达出发，先到
2、达x轴上某一点（设为轴上某一点（设为E)，再到达抛物线的对称轴，再到达抛物线的对称轴上某点（设为上某点（设为F），后到达点），后到达点A，最后回到点，最后回到点M，求使点求使点P运动的总路程最短的点运动的总路程最短的点E、点、点F的坐标，的坐标，并求出这个最短总路程的长。并求出这个最短总路程的长。2cbxax2 小贴士小贴士1 在一边确在一边确定的情况下，定的情况下，要使四边形要使四边形的周长最小，的周长最小，应通过做已应通过做已知线段端点知线段端点的对称点，的对称点，把另外三条把另外三条线段转化到线段转化到一条线段上一条线段上来。来。二、相对两边确定二、相对两边确定【例【例2】如图，在平面直
3、角坐标系中，矩形】如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点的顶点O在坐标原点，顶点在坐标原点，顶点A、B分分别在别在x轴、轴、y轴的正半轴上，轴的正半轴上，OA=3，OB=4，点点D为边为边OB的中点。（的中点。（1）若点）若点E为边为边OA上上一个动点，当一个动点，当CDE的周长最小时，求点的周长最小时，求点E的坐标。（的坐标。（2）若点）若点E,F为边为边OA上的两个动上的两个动点，且点，且EF=2，当四边形，当四边形CDEF的周长最小的周长最小时，求点时，求点E,F的坐标。并求的坐标。并求CDEF周长的最周长的最小值。小值。【例3】如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，
4、RtAOB的顶点坐标分别为的顶点坐标分别为A（-2,0）,O(0，0),B(0，4),把把AOB绕绕点点O按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转90，得到，得到COD.(1)求求C,D两点坐标。（两点坐标。（2）求经过）求经过A，B，D三点的抛物线解析式三点的抛物线解析式（3）在（）在（2）中抛物线的对称轴上取两点）中抛物线的对称轴上取两点E,F（E在在F上方），且上方），且EF=1，当，当E,F在什在什么位置时，四边形么位置时，四边形ACEF的周长最小？并的周长最小？并求出最小值。求出最小值。小贴士小贴士2当四边形中相对两边的长确定时，要使四边形的周长最小，仍然是通过做对称点加平移，把另外两边转化
5、到同一条直线上。三、三边和确定，第四边的长不确定三、三边和确定，第四边的长不确定【例【例4】如图，抛物线】如图，抛物线y=与与x轴交轴交于于A,B两点，直线两点，直线BD的函数表达式为的函数表达式为y=,抛物线的对称轴抛物线的对称轴L与直线与直线BD交于交于点点C，与，与x轴交于点轴交于点E。（。（1）求）求A,B,C三点坐标。三点坐标。（2）若点）若点P为线段为线段AB上的一个动点（点上的一个动点（点A,B不不重合），以点重合），以点A为圆心，以为圆心，以AP为半径的圆弧与为半径的圆弧与线段线段AC交于点交于点M,以以B为圆心，为圆心，BP为半径的圆弧为半径的圆弧与线段与线段BC交于点交于点
6、N,分别连接分别连接AN,BM,MN.求证：求证：AN=BM,在点在点P运动的过程中，四边运动的过程中，四边形形AMNB的周长是否有最小值，若有，求出该的周长是否有最小值，若有，求出该最小值最小值322xx333 x如图所示，抛物线如图所示，抛物线y=+2x+3与与x轴交于轴交于A、B两点，两点，直线直线BD的函数表达式为的函数表达式为y=抛物线的对称轴抛物线的对称轴l与直线与直线BD交于点交于点C、与、与x轴交于点轴交于点E（1）求）求A、B、C三个点的坐标；三个点的坐标；（2）点）点P为线段为线段AB上的一个动点（与点上的一个动点（与点A、点、点B不重不重合），以点合），以点A为圆心、以为
7、圆心、以AP为半径的圆弧与线段为半径的圆弧与线段AC交交于点于点M，以点，以点B为圆心、以为圆心、以BP为半径的圆弧与线段为半径的圆弧与线段BC交于点交于点N，分别连接，分别连接AN、BM、MN求证：求证：AN=BM；在点在点P运动的过程中，四边形运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值还是有最小值？并求出该最大值或最小值333 x2x 小贴士小贴士3当一边长确定，当一边长确定，另外两边的长不另外两边的长不确定，但其和确确定，但其和确定时，要使四边定时，要使四边形周长最小，只形周长最小，只要使第四边最小，要使第四边最小，为此要把第四边为此要把
8、第四边与和确定的两边与和确定的两边联系起来，得到联系起来，得到关于第四边的函关于第四边的函数关系式，再运数关系式，再运用函数的有关知用函数的有关知识确定第四边的识确定第四边的最小值。最小值。F四、相邻两边的长确定四、相邻两边的长确定【例【例5】如图，已知】如图，已知A(-1，5),B(-3，3),C(-4，1),在在y轴轴上找一点上找一点D，使得四边形，使得四边形ABCD的周长最小，并求出点的周长最小，并求出点D的坐标。的坐标。小贴士小贴士4当相邻两边的和确当相邻两边的和确定时，要使四边形定时，要使四边形的周长最小时，只的周长最小时，只要使另外两边的和要使另外两边的和最小，为此用到一最小，为此
9、用到一个常见的基本图形，个常见的基本图形，如图左，点如图左，点M,N是是两定两定 点，点点，点P是直是直线线L上一个动点，作上一个动点，作M关于关于L的对称点的对称点M，连结连结MN交直线交直线L与与点点P,则则PM+PN=PM+PN=MM最小。最小。MMPN 初中数学最值问题说初中数学最值问题说 zhengyongjie 2012年年12月月18日日求最值是近年中考试题的一个热点求最值是近年中考试题的一个热点问题，也是一个难点，笔者根据多年问题，也是一个难点，笔者根据多年教学经验，结合自己的教学体会，对教学经验，结合自己的教学体会，对其进行归纳总结。其进行归纳总结。一、利用轴对称性求最值一、
10、利用轴对称性求最值【例【例1】如图，在菱形】如图，在菱形ABCD中，点中，点E、F分别为分别为AB,BC上的中点，且上的中点，且AB=6，DAB=60，点，点P是是AC上的一个动点，上的一个动点，则则PE+PF的最小值为的最小值为 。变式变式：菱形两条对：菱形两条对角线分别为角线分别为6、8，其他条件不变，则其他条件不变，则则则PE+PF的最小值的最小值为为 。二、把立体转化为平面求最值二、把立体转化为平面求最值【例【例2】如图】如图 圆锥的底面半径为圆锥的底面半径为1，母线，母线长为长为3，一只蚂蚁从底面圆周上的点，一只蚂蚁从底面圆周上的点B出出发，沿圆锥侧面爬到过母线发，沿圆锥侧面爬到过母
11、线AB的轴截面的轴截面上另一母线上另一母线AC的中点的中点D,问蚂蚁眼怎样的问蚂蚁眼怎样的路线爬行，使路程最短？最短路程是多路线爬行，使路程最短？最短路程是多少？少？三、利用点到直线的距离垂线段最短求最值三、利用点到直线的距离垂线段最短求最值【例【例3】如图，在气象站台】如图，在气象站台A的正西方向的正西方向240km的的B处有一台风中心，该台风中心以处有一台风中心，该台风中心以每小时每小时20km的速度沿北偏东的速度沿北偏东60的的BD方方向移动，在距离台风中心向移动，在距离台风中心130km内的地方内的地方都要受其影响。都要受其影响。（1）台风中心在移动的过程中，与气象台）台风中心在移动的
12、过程中，与气象台A的最短距离是多少？的最短距离是多少？（2）台风中心在移动过程中，气象台将受）台风中心在移动过程中，气象台将受到台风的影响，求台风影响气象台的时间会到台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？持续多长？四、利用换元法求最值四、利用换元法求最值【例【例4】求函数】求函数y=2x+1的最大值。的最大值。五、利用根的判别式求最值五、利用根的判别式求最值【例【例5】讨论函数】讨论函数 的最值的最值1322xxxxy七、利用构造几何图形求最值七、利用构造几何图形求最值【例【例7】已知】已知a,b是正数，是正数，且且a+b=2,求求 的最大值和最小值。的最大值和最小值。4122ba六、
13、利用韦达定理求最值六、利用韦达定理求最值若若a,b为实数，且为实数，且 令令k=,试求试求k的最大值和最小值。的最大值和最小值。,122baba22baba八、构造函数模型，利用函数的增减性求最值八、构造函数模型，利用函数的增减性求最值【例【例8】抗震救灾中某县粮食局为了保证库存粮】抗震救灾中某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲乙两个粮库的粮食全部转食的安全，决定将甲乙两个粮库的粮食全部转移到具有较强抗震功能的移到具有较强抗震功能的A,B两仓库，已知甲库两仓库，已知甲库有粮食有粮食100吨，乙库有粮食吨，乙库有粮食80吨，而吨，而A库的容量库的容量为为70吨，吨，B库的容量有库的容量有1
14、10吨，从甲乙两库到吨，从甲乙两库到A,B两库的路程和运费如下表：（表中两库的路程和运费如下表：（表中“元元/吨吨.千米千米,意思是每吨粮食运送意思是每吨粮食运送1000米所需人民米所需人民币）。币）。路程（千米）路程（千米）运费（元运费（元/吨吨.千米）千米）甲库甲库乙库乙库甲库甲库乙库乙库A A库库2020121212121212B B库库2525202010108 8（1）若甲库运往若甲库运往a库粮食库粮食x吨，写出将粮吨，写出将粮食运往食运往a b两库的总运费两库的总运费y元与元与x吨的函数吨的函数关系；关系；（2）当甲乙两库各运往当甲乙两库各运往ab两库多少吨粮两库多少吨粮食时，总运
15、费最省，最省的总运费是多少？食时，总运费最省，最省的总运费是多少？九、变式题目要有代表性九、变式题目要有代表性通性通法通性通法（1）题目类型要有代表性，题目涉及的知）题目类型要有代表性，题目涉及的知识点要尽量覆盖复习的内容，具有一定的识点要尽量覆盖复习的内容，具有一定的综合性，如：复习一元二次方程时，可设综合性，如：复习一元二次方程时，可设计如下题目：已知：计如下题目：已知：x+x-1=0,不解方程求不解方程求下列算式的值：下列算式的值：(1)(2)(3)(4)2111xx2221xx 221221xxxx)1)(1(21xx上述小题包括了代数式变形的主要方式：通上述小题包括了代数式变形的主要
16、方式：通分、整体代换、分解因式、整式乘法、其他分、整体代换、分解因式、整式乘法、其他变形题目均为这四种方式或者他们的组合，变形题目均为这四种方式或者他们的组合，学生通过这一题目就可以归纳出此类题目的学生通过这一题目就可以归纳出此类题目的主要解决方式。主要解决方式。要选择体现要选择体现“通性通法通性通法”即包含最基本的数即包含最基本的数学思想方法的题目，不要追求偏、怪、难，学思想方法的题目，不要追求偏、怪、难，最好是一题多解，一题多变最好是一题多解，一题多变“的训练题，比的训练题，比如复习三角形中角度求法时，设计如下题目：如复习三角形中角度求法时，设计如下题目：如图，如图，ABC中，中，AB=A
17、C,两底角平分线两底角平分线BD,CE相交于点相交于点O,A=50，求，求BOC的度数。若把条件的度数。若把条件“AB=AC”去掉，其他去掉，其他条件不变，条件不变，BOC的度数还能求出吗？请的度数还能求出吗？请说明理由。说明理由。如图，如图，OP是是AOB的平分线，请你利用的平分线，请你利用该图形画一对以该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等所在直线为对称轴的全等三角形请你参考这个作全等三角形的方法，三角形请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（解答下列问题：（1）如图，在）如图，在ABC中，中，ACB是直角，是直角，B=60，AD、CE分别是分别是BAC、BCA的平分线，的平分线
18、，AD、CE相交于相交于点点F请你判断并写出请你判断并写出FE与与FD之间的数量关之间的数量关系；（系；（2）如图，在）如图，在ABC中，如果中，如果ACB不是直角，而（不是直角，而（1）中的其它条件不）中的其它条件不变，请问，你在（变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由理由（盐城市（盐城市2011）27情境观察情境观察：将矩形将矩形ABCD纸片沿对角线纸片沿对角线AC剪开，得到剪开，得到ABC和和ACD，如图，如图1所示所示.将将ACD的顶的顶点点A与点与点A重合，并绕点重合，并绕点A按逆时针
19、方向旋转，按逆时针方向旋转，使点使点D、A(A)、B在同一条直线上，如图在同一条直线上，如图2所所示观察图示观察图2可知：与可知：与BC相等的线段是相等的线段是 ，CAC=图图1 图图2问题探究问题探究 如图如图3，ABC中，中，AGBC于点于点G，以，以A为直角顶点，分别以为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向为直角边，向ABC外作等腰外作等腰RtABE和等腰和等腰RtACF，过点过点E、F作射线作射线GA的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为P、Q.试探究试探究EP与与FQ之间的数量关系，并证明之间的数量关系，并证明你的结论你的结论.图图3拓展延伸拓展延伸如图如图4，ABC中，中，AGBC
20、于点于点G，分别以，分别以AB、AC为一边向为一边向ABC外作矩形外作矩形ABME和矩和矩形形ACNF，射线，射线GA交交EF于点于点H.若若AB=k AE，AC=k AF，试探究，试探究HE与与HF之间的数量关系，之间的数量关系，并说明理由并说明理由.图图4拓展拓展如图如图5：，分别以，分别以ABC的边的边AC、BC为一边，在为一边，在ABC外作正方形外作正方形ACDE和和CBFG，点，点P是是EF的中点，求证：点的中点，求证：点P到到AB的距离是的距离是AB的一半的一半全新的思考方式：思维方式、反思性教学、全新的思考方式：思维方式、反思性教学、君子和而不同此为素质，小人同而不和此为应试。君子和而不同此为素质，小人同而不和此为应试。三不主义三不主义不读书、不研究、不合作。不读书、不研究、不合作。大脑潜在能力尚待开发。大脑潜在能力尚待开发。
