1、对策问题五六年级奥数智取火柴智取火柴在数学游戏中有一类取火柴游戏，在数学游戏中有一类取火柴游戏，它有很多种玩法，由于游戏的规它有很多种玩法，由于游戏的规则不同，取胜的方法也就不同。则不同，取胜的方法也就不同。但不论哪种玩法，要想取胜，一但不论哪种玩法，要想取胜，一定离不开用数学思想去推算。定离不开用数学思想去推算。例例1 1 桌子上放着桌子上放着6060根火柴，甲、乙二根火柴，甲、乙二人轮流每次取走人轮流每次取走1 13 3根。规定谁取走根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析与解：本
2、题采用逆推法分析。获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜。现在桌上有60根火柴，甲先取，不可能留给乙4的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可以留给甲4的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。在例在例1 1中为什么一定要留给对方中为什么一定要留给对方4 4的倍数根，的倍数根，而不是而不是5 5的倍数根或其它倍数根呢？关键的倍数根或其它倍数根呢？关键在于规定每次只能取在于规
3、定每次只能取1 13 3根，根，1 13 34 4，在两人紧接着的两次取火柴中，后取的在两人紧接着的两次取火柴中，后取的总能保证两人取的总数是总能保证两人取的总数是4 4。利用这一特。利用这一特点，就能分析出谁采用最佳方法必胜，点，就能分析出谁采用最佳方法必胜，最佳方法是什么。由此出发，对于例最佳方法是什么。由此出发，对于例1 1的的各种变化，都能分析出谁能获胜及获胜各种变化，都能分析出谁能获胜及获胜的方法。的方法。例例2 2 在例在例1 1中将中将“每次取走每次取走1 13 3根根”改改为为“每次取走每次取走1 16 6根根”，其余不变，其余不变，情形会怎样？情形会怎样？分析与解：由例分析与
4、解：由例1 1的分析知，只要始终留给对方的分析知，只要始终留给对方（1+6=1+6=）7 7的倍数根火柴，就一定获胜。因为的倍数根火柴，就一定获胜。因为60607 78484，所以只要甲第一次取走，所以只要甲第一次取走4 4根，剩根，剩下下5656根火柴是根火柴是7 7的倍数，以后总留给乙的倍数，以后总留给乙7 7的倍数根的倍数根火柴，甲必胜。火柴，甲必胜。由例由例2 2看出，在每次取看出，在每次取1 1n n根火柴，取到最后根火柴，取到最后一根火柴者获胜的规定下，谁能做到总给对方留一根火柴者获胜的规定下，谁能做到总给对方留下（下（1+n1+n）的倍数根火柴，谁将获胜。）的倍数根火柴，谁将获胜
5、。例例3 3 将例将例1 1中中“谁取走最后一根火柴谁获胜谁取走最后一根火柴谁获胜”改为改为“谁取走最后一根火柴谁输谁取走最后一根火柴谁输”，其余，其余不变，情形又将如何？不变，情形又将如何？解：最后留给对方1根火柴者必胜。按照例1中的逆推的方法分析，只要每次留给对方4的倍数加1根火柴必胜。甲先取，只要第一次取3根，剩下57根（57除以4余1），以后每次都将除以4余1的根数留给乙，甲必胜。由例3看出，在每次取1n根火柴，取到最后一根火柴者为输的规定下，谁能做到总给对方留下（1n）的倍数加1根火柴，谁将获胜。有许多游戏虽然不是取火柴的形式，但游戏取胜的方法及分析思路与取火柴游戏完全相同。例例4
6、4 两人从两人从1 1开始按自然数顺序轮流依开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报次报数，每人每次只能报1 15 5个数，个数，谁先报到谁先报到5050谁胜。你选择先报数还是谁胜。你选择先报数还是后报数？怎样才能获胜？后报数？怎样才能获胜？解：对照例解：对照例1 1、例、例2 2可以看出，本例是取火柴可以看出，本例是取火柴游戏的变形。因为游戏的变形。因为5050（1 15 5）8282，所以要想获胜，应选择先报，第一次报所以要想获胜，应选择先报，第一次报2 2个个数，剩下数，剩下4848个数是（个数是（1 15 5）6 6的倍数，以的倍数，以后总把后总把6 6的倍数个数留给对方，必胜。的
7、倍数个数留给对方，必胜。例例5 11115 1111个空格排成一行，最左端空格中个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动子，每次移动1 17 7格。规定将棋子移到最格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？右移多少格？分析与解：本例是例分析与解：本例是例3 3的变形，但应注意，的变形，但应注意，一开始棋子已占一格，棋子的右面只有一开始棋子已占一格，棋子的右面只有1111-11111-111101110（个）空格。由例（个）空格。由例3 3知，只知，只要甲始终留给
8、乙（要甲始终留给乙（1+7=1+7=）8 8的倍数加的倍数加1 1格，格，就可获胜。就可获胜。（111-1111-1）（1 17 7）13861386，所以甲第一步必须移所以甲第一步必须移5 5格，还剩下格，还剩下11051105格，格，11051105是是8 8的倍数加的倍数加1 1。以后无论乙移几。以后无论乙移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是8 8，甲就必胜。因为甲移完后，给乙留下，甲就必胜。因为甲移完后，给乙留下的空格数永远是的空格数永远是8 8的倍数加的倍数加1 1。例例6 6 今有两堆火柴，一堆今有两堆火柴，一堆3535根，另一根，另一堆堆2
9、424根。两人轮流在其中任一堆中拿根。两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取。规取，取的根数不限，但不能不取。规定取得最后一根者为赢。问：先取者定取得最后一根者为赢。问：先取者有何策略能获胜？有何策略能获胜？分析与解：本题虽然也是取火柴问题，但由于火分析与解：本题虽然也是取火柴问题，但由于火柴的堆数多于一堆，故本题的获胜策略与前面柴的堆数多于一堆，故本题的获胜策略与前面的例题完全不同。的例题完全不同。先取者在先取者在3535根一堆火柴中取根一堆火柴中取1111根火柴，使得根火柴，使得取后剩下两堆的火柴数相同。以后无论对手在取后剩下两堆的火柴数相同。以后无论对手在某一堆取几根火柴，
10、你只须在另一堆也取同样某一堆取几根火柴，你只须在另一堆也取同样多根火柴。只要对手有火柴可取，你也有火柴多根火柴。只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后一根火柴总会被你拿到。可取，也就是说，最后一根火柴总会被你拿到。这样先取者总可获胜。这样先取者总可获胜。请同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆请同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆火柴数目一开始就相同，例如两堆都是火柴数目一开始就相同，例如两堆都是3535根火根火柴，那么先取者还能获胜吗？柴，那么先取者还能获胜吗？例例7 7 有有3 3堆火柴，分别有堆火柴，分别有1 1根、根、2 2根与根与3 3根火柴。根火柴。甲先乙后轮流从任意一堆
11、里取火柴，取的甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴，取的根数不限，规定谁能取到最后一根或最后根数不限，规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜。如果采用最佳方法，那几根火柴就获胜。如果采用最佳方法，那么谁将获胜？么谁将获胜？分析与解：根据例分析与解：根据例6 6的解法，谁在某次取过火柴的解法，谁在某次取过火柴之后，恰好留下两堆数目相等的火柴，谁就能取之后，恰好留下两堆数目相等的火柴，谁就能取胜。胜。甲先取，共有六种取法：从第甲先取，共有六种取法：从第1 1堆里取堆里取1 1根，根，从第从第2 2堆里取堆里取1 1根或根或2 2根；第根；第3 3堆里取堆里取1 1根、根、2 2根或根或3 3根。无论哪
12、种取法，乙采取正确的取法，都可以根。无论哪种取法，乙采取正确的取法，都可以留下两堆数目相等的火柴（同学们不妨自己试留下两堆数目相等的火柴（同学们不妨自己试试），所以乙采用最佳方法一定获胜。试），所以乙采用最佳方法一定获胜。练习练习25251.1.桌上有桌上有3030根火柴，两人轮流从中根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取拿取，规定每人每次可取1 13 3根，且根，且取最后一根者为赢。问：先取者如何取最后一根者为赢。问：先取者如何拿才能保证获胜？拿才能保证获胜？2.2.有有19991999个球，甲、乙两人轮流取个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取一个，最多取球，每人每次至少取一个，最多
13、取5 5个，取到最后一个球的人为输。如果个，取到最后一个球的人为输。如果甲先取，那么谁将获胜？甲先取，那么谁将获胜？3 3、有、有100100根火柴，甲乙两人轮流玩火根火柴，甲乙两人轮流玩火柴游戏，规定每人每次可取柴游戏，规定每人每次可取1010根以内根以内的任何火柴（包括的任何火柴（包括1010根），以谁取完根），以谁取完火柴使对手无火柴可取者胜，如果甲火柴使对手无火柴可取者胜，如果甲先取，问谁一定能获胜？他怎样才能先取，问谁一定能获胜？他怎样才能获胜？获胜？4.4.甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报次每人报1 14 4个数，谁报到第个数，谁报到第888
14、888个数个数谁胜。谁将获胜？怎样获胜？谁胜。谁将获胜？怎样获胜？5.5.有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，谁取到最后一枚不限，但不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜。如果甲后取，那么他一棋子谁获胜。如果甲后取，那么他一定能获胜吗？定能获胜吗？6.6.黑板上写着一排相连的自然数黑板上写着一排相连的自然数1 1，2 2，3 3，5151。甲、乙两人轮流划掉连续的。甲、乙两人轮流划掉连续的3 3个数。规定在谁划过之后另一人再也划不个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲
15、有必胜的策略成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略吗？吗？7.7.有三行棋子，分别有有三行棋子，分别有1 1，2 2，4 4枚棋子，两枚棋子，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走取走1 1枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。问：要想获胜是先取还是后取？问：要想获胜是先取还是后取？8 8、有、有9 9张卡片，分别写着张卡片，分别写着1,2,3,4,5,6,7,8,9 1,2,3,4,5,6,7,8,9 甲乙两人轮流甲乙两人轮流取取1 1张，谁手上的张，谁手上的3 3张卡片上的数字张卡片上的数字加起来的和等于加起来的和等于1515，谁就能取胜，谁就能取胜，问保证不败的对策是什么？问保证不败的对策是什么？此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
