1、2023届高三数学二轮复习立体几何专题训练1（2022四川成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高三期中（理）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，且AA1=AB=AC=2，ABAC，M、N、P、D分别是CC1、BC、A1B1、B1C1的中点(1)求证：AC/平面PDN；(2)点Q在线段A1B1上，若直线AM与平面QMN所成角的正弦值为3010时，求线段A1Q的长2（2023浙江温州模拟预测）如图，线段AA1是圆柱OO1的母线，ABC是圆柱下底面O的内接正三角形，AA1=AB=3(1)劣弧BC上是否存在点D，使得O1D平面A1AB？若存在，求出劣弧BD的长度；若不存在，请说明理由(2
2、)求平面CBO1和平面BAA1夹角的余弦值3（2022全国高三阶段练习（理）如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，AB=AP,PC=BC，D为PB的中点(1)求证：PBAC；(2)若AB=AC，求直线AP与平面PBC所成角的正弦值4（2022北京一七一中高三期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M,N分别为线段PB,PC上的点，MNPB(1)求证：BC平面PAB；(2)求证：当点M不与点P,B重合时，M,N,D,A四个点在同一个平面内；(3)当PA=AB=2，二面角C-AN-D大小为3时，求PN的长5（2023江西景德镇模拟预测（理）如图，正三棱
3、柱ABC-A1B1C1中，E,F分别是棱AA1，CC1上的点，CM平面BEF，且M是AB的中点.(1)证明：平面BEF平面ABB1A1；(2)若AC=AE，求平面BEF与平面BCE夹角的余弦值.6（2022天津河北高三期中）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，AA1=2AB=2BC=2，E，F分别为AB，CC1的中点. (1)求证：EF/平面AB1C1；(2)求直线BF与平面AB1C1所成角的正弦值；(3)求平面AB1C1与平面B1C1CB夹角的余弦值.7（2008重庆高考真题（理）如图，在ABC中，B=90,AC=152，D、E两点分别在AB、AC上，使ADDB=AEEC=
4、2,DE=3现将ABC沿DE折成直二面角，求：(1)异面直线AD与BC的距离；(2)二面角A-EC-B的大小(用反三角函数表示)8（2022湖南宁乡一中高三期中）如图，平面五边形PABCD中，PAD是边长为2的等边三角形，AD/BC，AB2BC2，ABBC，将PAD沿AD翻折成四棱锥PABCD，E是棱PD上的动点（端点除外），F，M分别是AB，CE的中点，且PC=7(1)证明：ABFM；(2)当直线EF与平面PAD所成的角最大时，求平面ACE与平面PAD夹角的余弦值9（2022福建莆田第五中学高三期中）已知三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABAC，PA=AC=12AB，N为AB上一点，且A
5、B=4AN，M，S分别为PB，BC的中点.(1)证明：CMSN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小.10（2008湖南高考真题（理）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形BCD=60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA=2(1)证明：平面PBE平面PAB；(2)求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小11（2022福建龙岩高三期中）如图1，E，F，G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，分别连接AB，CG就得到了如图2所示的几何体(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，
6、证明：AO/平面GCF；(2)若二面角A-EF-B的大小为23，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值12（2022浙江金华高三阶段练习）如图，在四棱锥S-ABCD中，平而SAD平面ABD，ASD=BAD=BCD=2，SA=SD=2，AB=2BC=2CE=2SF=1(1)求证：EF平面SAB；(2)求点E到平面SAB的距离：(3)求平面SAB与平面SBC的夹角13（2007湖南高考真题（理）如图1，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD的中点，G是EF上的一点，将GAB,GCD分别沿AB，CD翻折成G1AB,G2CD，并连接G1G2，使得平面G1AB平面ABCD，G1G2AD，且G1G2AD，连
7、接BG2，如图2(1)证明：平面G1AB平面G1ADG2；(2)当AB=12,BC=25,EG=8时，求直线BG2和平面G1ADG2所成的角14（2007湖南高考真题（文）如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4(1)证明：PQ平面ABCD；(2)求异面直线AQ与PB所成的角；(3)求点P到平面QAD的距离15（2022福建泉州高三期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E,F分别为PA,BC的中点(1)证明：EF平面PCD；(2)若ADC=120，且PD=2AD=4，PA=PB=25，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值16（2007湖北高考真题（
8、文）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD交于点E，C1B与CB1交于点F(1)求证：A1C平面BDC1；(2)求二面角B-EF-C的夹角余弦值17（2007湖北高考真题（文）如图，在三棱锥V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且AC=BC=a，VDC=02(1)求证：平面VAB平面VCD；(2)试确定角的值，使得直线BC与平面VAB所成的角的为618（2022福建宁德高三期中）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，E为线段AD的中点，BE=3，PB=2，BPE=60，BC平面PBE(1)证明：PE平面ABCD；(2)当AD为多少时，平面
9、PBE与平面PCD所成的二面角为3019（2022江苏连云港高三期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为45，四边形ABCD是梯形，ADAB，BCAD，AD=2，PA=BC=1(1)证明：平面PAC平面PCD；(2)若点T是CD的中点，点M是PT的中点，求点P到平面ABM的距离20（2022重庆南开中学高三阶段练习）刍甍，中国古代数学中的一种几何体中国传统房屋的顶部大多都是刍甍九章算术中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也甍，屋盖也”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶”如图下面的五面体为一个刍甍，其五个
10、顶点分别为A，B，C，D，E，F，四边形ABCD为正方形，AB=2，EF/平面ABCD，EF=1，BF=FC=2，平面BCF平面ABCD，O为BC中点(1)求证：OE平面ADE；(2)求平面ADE和平面BCF所成的锐二面角的大小参考答案1【详解】（1）P、D分别是A1B1、B1C1的中点，PD/A1C1，又三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1/AC，故PD/AC，又PD平面PDN，AC平面PDN，所以AC/平面PDN；（2）以点A为坐标原点，AB、AC、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A10,0,2、B2,0,0、M0,2,1、N1,1,0，P1,0,2，设A1Q=A1
11、B1，0,1，点Q2,0,2，所以NQ=2-1,-1,2，NM=-1,1,1，AM=0,2,1，设平面QMN的法向量为n=x,y,z，则nNQ=0nNM=0，可得2-1x-y+2z=0-x+y+z=0，取x=3，则n=3,2+1,2-2，设直线AM与平面QMN所成的角为，则sin=cosn,AM=nAMnAM=2+482-4+145=3010，整理可得82-22+5=0，即4-12-5=0，因为01，解得=14，则A1Q=A1B14=12，即线段A1Q的长为12.2【详解】（1）如图过点O作AB的平行线OD交劣弧BC于点D，连接OO1，O1D，因为OO1AA1，AA1平面AA1B，OO1平面A
12、A1B，则OO1平面AA1B同理可证OD平面AA1B，OO1OD=O，且OO1平面OO1D，OD平面OO1D所以平面AA1B平面OO1D，又因为O1D平面OO1D，所以O1D平面A1AB故存在点D满足题意.因为ABC为底面O的内接正三角形，所以BAC=3，即ABO=BOD=6，又因为AB=3，所以O的半径为32sin3=3，所以劣弧BD的长度为6223=36.（2）如图取BC的中点为M，连接MA，以MB为x轴，MA为y轴，过M作OO1平行线为z轴，建立空间直角坐标系，又因为AA1=AB=3，设AB中点为N.故M0,0,0，B32,0,0，A0,332,0，C-32,0,0，O0,32,0，O1
13、0,32,3，N34,334,0，易知平面AA1B的法向量ON=34,34,0设平面CBO1的法向量为n=x,y,z，又因为MO1=0,32,3，MB=32,0,0故nMO1=0nMB=0即32y+3z=032x=0，令y=23得n=0,23,-1易知平面CBO1和平面BAA1夹角为锐角，所以平面CBO1和平面BAA1夹角的余弦值为nONnON=3223413=39133【详解】（1）证明：因为D为PB的中点，且AB=AP,PC=BC，所以PBAD,PBCD，又ADCD=D,AD,CD平面ACD，所以PB平面ACD，由于AC平面ACD，所以PBAC；（2）解：因为PA底面ABC，所以PAAC，
14、因为AB=AP,PC=BC,AC=AC，所以PACBAC，所以BAAC，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB=AC=AP=a，则A(0,0,0),P(0,0,a),B(a,0,0),C(0,a,0)，则AP=(0,0,a),PB=(a,0,-a),PC=(0,a,-a)，设m=(x,y,z)是平面PBC的一个法向量，则由mPB=ax-az=0mPC=ay-az=0，得x=z,y=z,令z=1，得平面PBC的一个法向量为m=(1,1,1)，设直线AP与平面PBC所成角为，则sin=mAP|m|AP|=(1,1,1)(0,0,a)3a=33，所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为3
15、34【详解】（1）因为PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC，因为四边形ABCD为正方形，所以ABBC，因为PAAB=A，PA,AB平面PAB，所以BC平面PAB，（2）点M不与点P,B重合，由（1）知：BC平面PAB，PB平面PAB，所以BCPB，因为MNPB，MN，BC平面PBC，所以MN /BC，因为BC/AD，MN/AD,故当点M不与点P,B重合时，M,N,D,A四个点在同一个平面；（3）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为PA=AB=2，由勾股定理可得：PC=AB2+BC2+PA2=23，设PNPC=0,1，当=1时，N,
16、C两点重合，此时二面角C-AN-D不存在，舍去，故PNPC=0,1，所以C2,2,0,A0,0,0,D0,2,0,P0,0,2N2,2,2-2，设平面CAN的法向量为m=x,y,z，则mAC=x,y,z2,2,0=2x+2y=0mAN=x,y,z2,2,2-2=2x+2y+2-2z=0，设x=1，则y=-1,z=0，故m=1,-1,0，设平面AND的法向量为n=a,b,c，则nAD=a,b,c0,2,0=2b=0nAN=a,b,c2,2,2-2=2a+2b+2-2c=0，求得b=0，令a=1，则c=-1，所以n=1,0,-1，因为二面角C-AN-D大小为3，所以cosm,n=mnmn=1,-1
17、,01,0,-11+11+-12=cos3=12，解得：=12，所以PN=12PC=1223=3.5【详解】（1）过M作AA1的平行线交BE,A1B1分别于点H,N，连接FH，如下所示：因为ABC-A1B1C1是正三棱柱，故可得AA1面ABC,MC面ABC，故CMAA1；又三角形ABC为等边三角形，M为AB中点，故CMAB；又AB,AA1面ABB1A1，ABAA1=A，故CM面ABB1A1；因为HM/AA1/CF，则C,M,F,H确定一个平面，即CM面MCFH，又CM/面BEF，面MCFH面BEF=FH，故可得FH/CM，则FH面ABB1A1，又FH面BEF，故面BEF面ABB1A1.（2）根
18、据（1）中所证，可得FH/CM,MH/CF，故四边形MCFH为平行四边形，在ABE中，因为MH/AE，且点M为AB中点，故可得MH=12AE，又CF=MH，则CF=12AE；又MB,MC,MH两两垂直，故以M为坐标原点，连接EC，建立如图所示空间直角坐标系：设AC=2a，则Ba,0,0,C0,3a,0,E-a,0,2a,F(0,3a,a)，BE=-2a,0,2a,BF=-a,3a,a,BC=(-a,3a,0)，设平面BEF的法向量为m=(x,y,z)，则mBE=0mBF=0，即-2ax+2az=0-ax+3ay+az=0，解得y=0，取x=1，则z=1，故平面BEF的一个法向量m=(1,0,1
19、)；设平面BEC的法向量为n=(m,n,t)，则nBE=0nBC=0，则-2am+2at=0-am+3an=0，取n=3，则m=3,t=3，故平面BEC的一个法向量n=(3,3,3)；设平面BEF,BEC所成二面角的平面角为，则cos=cos=|mn|m|n|=6221=427.故平面BEF与平面BCE夹角的余弦值为427.6【详解】（1）证明：因为，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，AB=BC，所以，BB1平面ABC，ABBC.所以，BA，BC，BB1两两垂直.以B点为原点，分别以BA，BC，BB1所在的方向为x，y，z轴的正方向，如图1建立空间直角坐标系B-xyz.则由已知得
20、，BA=BC=1，BB1=AA1=2.则，B0,0,0，A1,0,0，C0,1,0，B10,0,2，A11,0,2，C10,1,2.因为E，F分别为AB，CC1的中点，则E12,0,0，F0,1,1.所以，EF=-12,1,1，AB1=-1,0,2，B1C1=0,1,0，设n1=x1,y1,z1是平面AB1C1的一个法向量，则n1AB1=0，n1B1C1=0，即-x1+2z1=0y1=0，令z1=1，则n1=2,0,1.EFn1=-122+0+11=0，则EFn1又EF平面AB1C1，所以，EF/平面AB1C1.（2）设直线BF与平面AB1C1所成角为.由（1）知，平面AB1C1的一个法向量为
21、n1=2,0,1，BF=0,1,1.则，cosBF,n1=BFn1BFn1=152=1010则直线BF与平面AB1C1所成角的正弦值sin=cosBF,n1=1010（3）由（1）知，BA，BC，BB1两两垂直.则，BA平面B1C1CB，BA=1,0,0即为平面B1C1CB的一个法向量.cosBA,n1=BAn1BAn1=25=255，所以，平面AB1C1与平面B1C1CB夹角的余弦值为255.7【详解】（1）由题意，平面ADE平面DBCE，平面ADE平面DBCE=DE，ADDE,AD平面ADE，AD平面DBCE，DB平面DBCE，ADDB，又DBBC，DB即为所求距离；AE=23AC=5,D
22、E=3,AD=52-32=4,DB=12AD=2，AD与BC的距离为2；（2）由于AD，DE，DB两两垂直，故以点D为原点，DB为x轴，DE为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系如图：BC=32DE=92，则A0,0,4,E0,3,0,C2,92,0，AE=0,3,-4,EC=2,32,0，设平面AEC的法向量为n=x,y,z，则nAE=0nEC=0，即3y-4z=02x+32y=0，令y=4，则x=-3,z=3，n=-3,4,3，显然m=0,0,1是平面DBCE的一个法向量，设二面角A-EC-B的大小为，由图可知为锐角，cos=nmnm=332+42+321=33434，=arccos3343
23、48【详解】（1）设O是AD的中点，连接OP,OC，三角形PAD是等边三角形，所以OPAD，OP=3.四边形ABCD是直角梯形，OA/BC,OA=BC，所以四边形ABCO是平行四边形，也即是矩形，所以OCAD，OC=AB=2.折叠后，PC=7，所以OP2+OC2=PC2，所以OPOC，由于ADOC=O,AD,OC平面ABCD，所以OP平面ABCD，则OC,OD,OP两两相互垂直，由此建立如图所示的空间直角坐标系，AB=OC=2,0,0,F1,-1,0，设E0,t,31-t,0t1，C2,0,0，所以M1,t2,31-t2，则FM=0,t+22,31-t2，所以ABFM=0，所以ABFM.（2）
24、由于OP平面ABCD，AB平面ABCD，所以OPAB，由于ABAD,ADOP=O,AD,OP平面PAD，所以AB平面PAD，由于AE平面PAD，所以ABAE，所以FEA是直线EF与平面PAD所成角，在直角三角形AEF中，tanFEA=AFAE，由于AF=1，所以当AE最小时，tanFEA最大，也即FEA最大，由于三角形PAD是等边三角形，所以当E为PD的中点时，AEPD，AE取得最小值.由于P0,0,3，D0,1,0，故此时E0,12,32，平面PAD的法向量为m=1,0,0，A0,-1,0,C2,0,0,AC=2,1,0,AE=0,32,32，设平面ACE的法向量为n=x,y,z，则nAC=
25、2x+y=0nAE=32y+32z=0，故可设n=1,-2,23，设平面ACE与平面PAD的夹角为，则cos=mnmn=117=1717.9【详解】（1）设PA=1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图所示，则P0,0,1，C0,1,0，B2,0,0，M1,0,12，N12,0,0，S1,12,0.所以CM=1,-1,12，SN=-12,-12,0.因为CMSN=-12+12+0=0，所以CMSN.（2）NC=-12,1,0，设a=x,y,z为平面CMN的一个法向量，则aCM=0aNC=0，即x-y+12z=0-12x+y=0，令x=2，则y=1,z
26、=-2，得a=2,1,-2，因为cosa,SN=aSNaSN=-1-12322=22，即SN与平面CMN所成的角的正弦值为22，所以SN与平面CMN所成的角为45.10【详解】（1）证明：如图以A为原点，建立空间直角坐标系，则A0,0,0，B1,0,0，C32,32,0，D12,32,0，P0,0,2，E1,32,0所以BE=0,32,0，平面PAB的一个法向量是n0=(0,1,0)，所以BE和n0共线，所以BE平面PAB，又因为BE平面PBE，故平面PBE平面PAB（2）解：易知PB=(1,0,-2)，BE=(0,32,0)，PA=(0,0,-2)，AD=(12,32,0)，设n1=(x1,
27、y1,z1)是平面PBE的一个法向量，则由n1PB=0n1BE=0，得x1+0y1-2z1=00x1+32y2+0z2=0.所以y1=0，x1=2z1故可取n1=2,0,1设n2=(x2,y2,z2)是平面PAD的一个法向量，则由n2PA=0n2AD=0，得0x2+0y2-2z2=012x2+32y2+0z2=0，所以z2=0,x2=-3y2故可取n2=(3,-1,0)于是cos=n1n2|n1|n2|=2352=155故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是arccos15511【详解】（1）取线段CF中点H，连接OH、GH，由图1可知，四边形EBCF是矩形，且CB=2EB,O是线
28、段BF与CE的中点，OH/BC且OH=12BC，在图1中AG/BC且AG=12BC，EF/BC且EF=BC所以在图2中，AG/BC且AG=12BC，AG/OH且AG=OH，四边形AOHG是平行四边形，则AO/HG由于AO平面GCF，HG平面GCF，AO/平面GCF.（2）由图1，EFAE,EFBE,折起后在图2中仍有EFAE,EFBE,AEB即为二面角A-EF-B的平面角AEB=23,以E为坐标原点，EB，EF分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系E-xyz如图，且设CB=2EB=2EA=4,则B(2,0,0)、F(0,4,0)、A(-1,0,3)，FG=FE+EA+AG=FE+EA+12EF
29、=(-1,-2,3),BA=(-3,0,3),FC=EB=(2,0,0)，设平面GCF的一个法向量n=(x,y,z),由nFC=0nFG=0，得2x=0-x-2y+3z=0，取y=3，则z=2，于是平面GCF的一个法向量n=(0,3,2),cosn,BA=nBAnBA=23127=77,直线AB与平面GCF所成角的正弦值为77.12【详解】（1）由已知可得：BD=5，CD=322，如图以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，则A0,0,0，D0,2,0，S0,1,1，B1,0,0，F0,32,12设Cx,y,0，则由CB=22，CD=322，可得方程组(x-
30、1)2+y2=12x2+(y-2)2=92，解得x=32y=12可得C32,12,0由于CE=22，可得E1,1,0所以EF=-1,12,12，设平面SAB的法向量n=x,y,z，由nSA=0nAB=0，解得平面SAB的法向量是n=0,1,-1，nEF=0,1,-1-1,12,12=0，EF不在平面SAB内，故EF/平面SAB（2）设点E到平面SAB的距离为d，由AE=1,1,0，d=AEnn=22点E到平面SAB的距离是22（3）设平面SBC的法向量为m=x,y,z，由mSB=0,mSC=0.可得平面SBC的法向量为m=1,-1,2，设平面SAB与平面SBC的夹角为则cos=nmnm=32，
31、则=30故平面SAB与平面SBC的夹角为3013【详解】（1）如图2，因为平面G1AB平面ABCD，平面G1AB平面ABCD=AB，G1EAB，G1E平面G1AE，所以G1E平面ABCD，AD平面ABCD，所以G1EAD，又ABAD，G1EAB=E，G1E,AB平面G1AE，所以AD平面G1AE，AD平面G1ADG2，所以平面G1AE平面G1ADG2；（2）由（1）可知G1E平面ABCD，故以E为原点，分别以EB,EF,EG1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图3，由已知AB=12,BC=25,EG=8，则EB=6,EF=25,EG1=8，则A(-6,0,0),D(-6,25,0),G1(0
32、,0,8),B(6,0,0)，AD=(0,25,0),AG1=(6,0,8)，设平面G1ADG2的一个法向量是n=(x,y,z)，由nAD=25y=0nAG1=6x+8z=0，取x=4，则n=(4,0,-3)，过G2作G2O平面ABCD于点O，因为G2C=G2D，所以OC=OD，于是O在y轴上，因为G1G2/AD，所以G1G2/EF，G2O=G1E=8，设G2(0,m,8)，(0m25)，由172=82+(25-m)2，解得m=10，所以BG2=(0,10,8)-(6,0,0)=(-6,10,8)，直线BG2和平面G1ADG2所成的角为，则sin=BG2nBG2n=-24-24(-6)2+10
33、2+8232+42=12225，所以直线BG2和平面G1ADG2所成的角是arcsin12525.14【详解】（1）连接AC、BD，设ACBD=O由P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，所以PO平面ABCD，QO平面ABCD且POQO=O所以P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ平面ABCD（2）由题设知，ABCD是正方形，所以ACBD由（1），PQ平面ABCD，故可以分别以直线OA、OB、OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是P(0,0,1),Q(0,0,-2)B(0,22,0)所以AQ=(-22,0,-2)，PB=(0,22,-1)，于是cosA
34、Q,PB=AQPBAQPB=39从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos39（3）由（2），点D(0,-22,0)，AD=(-22,-22,0)，PQ=(0,0,-3)，设n=(x,y,z)是平面QAD的一个法向量，由nAQ=0nAD=0得2x+z=0x+y=0取x=1，得n=(1,-1,-2)所以点P到平面QAD的距离d=PQnn=32215【详解】（1）证明：取PD的中点G，连接CG,EG,如图所示：因为E,F分别为PA,BC的中点，所以EGAD,EG=12AD，又底面ABCD为菱形，所以CFAD,CF=12AD，所以EGCF,EG=CF，所以四边形EGCF为平行四边形，所以EFCG，
35、又CG平面PCD，EF平面PCD，所以EF平面PCD（2）连接BD，因为四边形ABCD为菱形，ADC=120，所以BCD为等边三角形，所以BD=CD=2，又PD=4,PA=PB=25，所以PB2=PD2+BD2,PA2=PD2+AD2，故PDBD,PDAD，又BDAD=D，BD,AD平面ABCD,所以PD平面ABCD，又F为BC的中点，所以DFBC，所以DFDA，以D为原点，DF,DA,DP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz所以F3,0,0，A0,2,0，E0,1,2，则DE=(0,1,2),DF=(3,0,0),AF=(3,-2,0)设平面DEF的法向量m=(x,y,z)
36、，则mDE=y+2z=0mDF=3x=0，令z=1，得m=(0,-2,1)设直线AF与平面DEF所成的角为，则sin=cosm,AF=|mAF|m|AF|=|4|57=43535，故直线AF与平面DEF所成角的正弦值为4353516【详解】（1）以点C为原点，分别以CD,CB,CC1方向为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图所示：则A1(1,1,1),C(0,0,0),B(0,1,0),D(1,0,0).C1(0,0,1)，所以A1C=(-1,-1,-1)，BD=(1,-1,0)，BC1=(0,-1,1)，有A1CBD=0且A1CBC1=0，所以A1CBD且A1CBC1，而BDBC1=B，BD
37、,BC1平面BDC1，所以A1C平面BDC1.（2）易知E(12,12,0)，F(0,12,12)，所以CE=(12,12,0)，CF=(0,12,12)，设平面CEF的法向量为n=x,y,z，则有CEn=12x+12y=0CFn=12y+12z=0，令x=1，则y=-1,z=1，所以n=1,-1,1，由（1）可知A1C平面BEF，所以A1C=(-1,-1,-1)是平面BEF的法向量，则cosA1C,n=A1CnA1Cn=-133=-13，因为二面角B-EF-C是钝角，所以二面角B-EF-C的夹角余弦值为-13.17【详解】（1）证明：以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间
38、直角坐标系，则有C(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0,a,0)，Da2,a2,0，V0,0,22atan.于是VD=a2,a2,-22atan，CD=a2,a2,0，AB=(-a,a,0)，从而ABCD=(-a,a,0)a2,a2,0=-12a2+12a2+0=0，即ABCD.同理ABVD=(-a,a,0)a2,a2,-22atan=-12a2+12a2+0=0，即ABVD.又CDVD=D,所以AB平面VCD，又AB平面VAB，平面VAB平面VCD.（2）解：设直线BC与平面VAB所成角为，平面VAB的一个法向量为n=(x,y,z)，则由nAB=0,nVD=0,得-ax+ay=0,a2x
39、+a2y-22aztan=0,可取n=22tan,22tan,1，又BC=(0,-a,0)，于是sin=|nBC|n|BC|=a22tana1+tan2=22sin，当=6时，sin=sin6=22sin，解得，sin=22，又因为VDC=00)，则E（0，0，0）、P（0，0，1）、D（t，0，0）、C（2t，3，0），所以DP=t,0,1，DC=-t,3,0，设平面PCD的法向量为n=x,y,z，所以nDP=0nDC=0，所以tx+z=0-tx+3y=0，取x=3，可得n=3,t,-3t，由已知得ED平面PBE，所以ED=-t,0,0为平面PBE的法向量，所以nEDnED=-3t3+t2+
40、3t2t=cos30=32，解得t=12所以AD=119【详解】（1）证明：由PA平面ABCD，AB平面ABCD，CD平面ABCD，得PAAB，PACD，PB与底面ABCD所成角为PBA=45所以三角形PAB为等腰直角三角形，AB=AP=1又由四边形ABCD是直角梯形，BCAD，可知ABBC，所以ABC为等腰直角三角形，而BC=1，故AC=2在直角梯形ABCD中，过C作CEAD，垂足为E，则四边形ABCE为正方形，可知AE=BC=CE=1所以DE=1，在等腰直角三角形CDE中，CD=2则有AC2+CD2=2+2=4=AD2，所以DCAC又因为PADC，PAAC=A，PA平面PAC，AC平面PA
41、C所以DC平面PAC因为DC平面PCD，所以平面PAC平面PCD（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A0,0,0，P0,0,1，B1,0,0，D0,2,0，C1,1,0因为T是CD的中点，点M是PT的中点，所以T12,32,0，M14,34,12设平面ABM的法向量为n=x,y,z，AB=1,0,0，AM=14,34,12，则nAB=0nAM=0，得x=014x+34y+12z=0，取y=4，则z=-6，得平面ABM的一个法向量为n=0,4,-6，而AP=0,0,1,所以点P到平面ABM的距离为APnn=616+36=6213=3
42、131320【详解】（1）取AD中点M，连接OF，OM，ME因为EF/平面ABCD，且EF平面ABFE，平面ABCD平面ABFE=AB，所以EF/AB，又OM/AB，所以OM/EFBF=FC=2，O为BC中点，BCOF，又BCOM，OMOF=O,OM,OF平面OMEF,故BC平面OMEF，因为OE平面OMEF，故BCOE，又BC/AD，OEAD，因为平面BCF平面ABCD，OF平面BCF，BCOF，平面BCF平面ABCD=BC，所以OF平面ABCD，因为OM平面ABCD，所以OFOM，所以在直角梯形OMEF中，OM=2，OF=1，EF=1，可得OE=2，ME=2，又OM2=OE2+ME2可得，OEEM，由，ADME=M，AD,ME平面ADE，所以OE平面ADE；（2）如图，以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则E1,0,1，M2,0,0，由图可得平面BCF的一个法向量为OM=2,0,0，由（1）知平面ADE的一个法向量为OE=1,0,1，故cosOE,OM=OEOMOEOM=222=22，设平面ADE和平面BCF所成的锐二面角为02，所以cos=22，即=4，所以平面ADE和平面BCF所成的锐二面角的大小为428
