1、5.35.3空间向量与立体几何空间向量与立体几何命题角度1命题角度4高考命题规律高考命题规律1.每年必考考题,主要考查空间位置关系的证明和空间角的求解.2.解答题,12分,中档难度.3.全国高考有4种命题角度,分布如下表.命题角度1命题角度4命题角度1命题角度4命题角度1-4-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分空间位置关系证明与线面角求解1.(2018全国18)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.(1)证明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.命题角度1命题角度4命题角度1-5-
2、高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(1)证明证明 由已知可得,BFPF,BFEF,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.命题角度1命题角度4命题角度1-6-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(2)解解 作PHEF,垂足为H.由(1)得,PH平面ABFD.命题角度1命题角度4命题角度1-7-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分2.(2018全国20)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明 :PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.命题角度1命题
3、角度4命题角度1-8-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度1-9-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度1-10-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度1-11-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分3.(2016全国19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.命题角度1命题角度4命题角度1-12-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1
4、命题角度4命题角度1-13-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度1-14-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分4.(2015全国18)如图,四边形ABCD为菱形,ABC=120,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC.(1)证明:平面AEC平面AFC;(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.命题角度1命题角度4命题角度1-15-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(1)证明证明 连接BD,设BDAC=G,连接EG,FG,EF.命题角度1命题角度4命题角度1-16-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命
5、题角度4命题角度1-17-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分1.(2018山东潍坊二模)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=A1D,AB=BC,ABC=120.(1)证明:ADA1B;(2)若平面ADD1A1平面ABCD,且A1D=AB,求直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值.命题角度1命题角度4命题角度1-18-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(1)证明证明 取AD中点O,连接OB,OA1,BD,AA1=A1D,ADOA1.又ABC=120,AD=AB,ABD是等边三角形,ADOB,AD平面A1OB.A1B平面A1OB,ADA1B.命题角度1命题角度4命题角度
6、1-19-(2)解解 平面ADD1A1平面ABCD,平面ADD1A1平面ABCD=AD,又A1OAD,A1O平面ABCD,OA,OA1,OB两两垂直,以O为坐标原点,分别以OA,OB,OA1所在射线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系O-xyz,高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度1-20-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分2.(2018辽宁抚顺一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD为梯形,ABCD,BAD=60,PD=AD=AB=2,CD=4,E为PC的中点.(1)证明:BE平面PAD;(2)求直线PB与平面BDE所成角的正弦值.命题
7、角度1命题角度4命题角度1-21-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(1)证明证明 设F为PD的中点,连接EF,FA.命题角度1命题角度4命题角度1-22-(2)解解 设G为AB的中点,因为AD=AB,BAD=60,所以ABD为等边三角形,故DGAB;因为ABCD,所以DGDC.又PD平面ABCD,所以PD,DG,CD两两垂直.高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度1-23-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分3.(2018福建福州3月质检)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC为正三角形,点D在棱BC上,且CD=3BD,点E,F分别为棱AB,BB1的中点.(1)
8、证明:A1C平面DEF;(2)若A1CEF,求直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值.命题角度1命题角度4命题角度1-24-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(1)证明证明 如图,连接AB1,A1B,交于点H,A1B交EF于点K,连接DK,因为ABB1A1为矩形,所以H为线段A1B的中点,因为点E,F分别为棱AB,BB1的中点,所以点K为线段BH的中点,所以A1K=3BK,又因为CD=3BD,所以A1CDK,又A1C平面DEF,DK平面DEF,所以A1C平面DEF.命题角度1命题角度4命题角度1-25-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(2)解解 由(1)知,EHAA1,因为AA1平面A
9、BC,所以EH平面ABC,命题角度1命题角度4命题角度1-26-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度1-27-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分4.(2018东北三省三校二模)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,BAD=120,AB=2,E,F为CD,AA1的中点.(1)求证:DF平面B1AE;(2)若AA1底面ABCD,且直线AD1与平面B1AE所成线面角的正弦值为 ,求AA1的长.命题角度1命题角度4命题角度1-28-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(1)证明证明 设G为AB1的中点,连接EG,GF,命题角度1命题角度4命题角度1-29-高
10、考真题体验对方向新题演练提能刷高分(2)解解 因为ABCD是菱形,且ABC=60,所以ABC是等边三角形.取BC中点M,则AMAD,因为AA1平面ABCD,所以AA1AM,AA1AD,建立如图的空间直角坐标系A-xyz,令AA1=t(t0),命题角度1命题角度4命题角度1-30-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分5.(2018湖南长沙一模,18)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为梯形,ADE,BCF均为等边三角形,EFAB,EF=AD=AB.(1)过BD作截面与线段FC交于点N,使得AF平面BDN,试确定点N的位置,并予以证明;(2)在(1)的条件下,求直线BN与平面ABF所成角
11、的正弦值.命题角度1命题角度4命题角度1-31-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分解解 (1)当N为线段FC的中点时,使得AF平面BDN.证法如下:连接AC,BD,设ACBD=O,四边形ABCD为矩形,O为AC的中点,又N为FC的中点,ON为ACF的中位线,AFON.AF平面BDN,ON平面BDN,AF平面BDN,故N为FC的中点时,使得AF平面BDN.命题角度1命题角度4命题角度1-32-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(2)过点O作PQAB分别与AD,BC交于点P,Q,因为O为AC的中点,所以P,Q分别为AD,BC的中点,ADE与BCF均为等边三角形,且AD=BC,ADE BCF,连
12、接EP,FQ,则得EP=FQ,四边形EPQF为等腰梯形.取EF的中点M,连接MO,则MOPQ,又ADEP,ADPQ,EPPQ=P,AD平面EPQF,过点O作OGAB于点G,则OGAD,OGOM,OGOQ.命题角度1命题角度4命题角度1-33-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-34-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分空间位置关系证明与二面角求解1.(2018全国19)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂直,M是 上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值
13、.命题角度1命题角度4命题角度2-35-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-36-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-37-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分2.(2017全国18)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明 平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角A-PB-C的余弦值.(1)证明证明 由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.命题角度1命题角度4命
14、题角度2-38-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(2)解解 在平面PAD内作PFAD,垂足为F.命题角度1命题角度4命题角度2-39-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-40-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-41-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(1)证明证明 取PA的中点F,连接EF,BF.命题角度1命题角度4命题角度2-42-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-43-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-44-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度
15、1命题角度4命题角度2-45-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分4.(2017全国19)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.命题角度1命题角度4命题角度2-46-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(1)证明证明 由题设可得,ABD CBD,从而AD=DC.又ACD是直角三角形,所以ADC=90.取AC的中点O,连接DO,BO,则DOAC,DO=AO.又由于ABC是正三角形,故BOAC.所以DO
16、B为二面角D-AC-B的平面角.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2,又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.所以平面ACD平面ABC.命题角度1命题角度4命题角度2-47-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-48-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-49-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分5.(2016全国18)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60.(1)证明:平面ABEF平
17、面EFDC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.(1)证明证明 由已知可得AFDF,AFFE,所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF,故平面ABEF平面EFDC.命题角度1命题角度4命题角度2-50-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(2)解解 过D作DGEF,垂足为G,由(1)知DG平面ABEF.命题角度1命题角度4命题角度2-51-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-52-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(1)证明:平面CMN平面CEN;(2)若ACBC,求二面角M-CN-A1的余弦值.命题角度1命题角度4命题角度2-53-高考真题体验对方向新题演练
18、提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-54-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-55-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分2.(2018河北石家庄一模)四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形,ABCD,ABBC,AB=2BC=2CD=2,SAD为正三角形.命题角度1命题角度4命题角度2-56-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分解解 (1)因为BC平面SDM,BC平面ABCD,平面SDM平面ABCD=DM,所以BCDM.因为ABDC,所以四边形BCDM为平行四边形,又AB=2CD,所以M为AB的中点.命题角度1命题角度4命题角度2-57-高考真题体验对方
19、向新题演练提能刷高分(2)因为BCSD,BCCD,SDCD=D,所以BC平面SCD,又因为BC平面ABCD,所以平面SCD平面ABCD,平面SCD平面ABCD=CD,在平面SCD内过点S作SE直线CD于点E,则SE平面ABCD,在RtSEA和RtSED中,又由题知EDA=45,所以AEED,所以AE=ED=SE=1,命题角度1命题角度4命题角度2-58-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-59-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-60-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分解解 (1)在半圆柱中,BB1平面PA1B1,所以BB1PA
20、1.因为A1B1是上底面对应圆的直径,所以PA1PB1.因为PB1BB1=B1,PB1平面PBB1,BB1平面PBB1,所以PA1平面PBB1.(2)以点C为坐标原点,以CA,CB为x,y轴,过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系C-xyz.如图所示,命题角度1命题角度4命题角度2-61-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-62-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分4.(2018江西南昌一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABCD为直角梯形,ADBC,ADAB,AB=BC=AP=AD=3,ACBD=O,过O点作平面平行于平面P
21、AB,平面与棱BC,AD,PD,PC分别相交于点E,F,G,H.(1)求GH的长度;(2)求二面角B-FH-E的余弦值.命题角度1命题角度4命题角度2-63-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分解解 (1)因为平面PAB,平面平面ABCD=EF,OEF,平面PAB平面ABCD=AB,所以EFAB,同理EHBP,FGAP,因为BCAD,AD=6,BC=3,命题角度1命题角度4命题角度2-64-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-65-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分5.(2018山东淄博二模,18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,
22、ACC1=CC1B1,直线AC与直线BB1所成的角为60.(1)求证:AB1CC1;命题角度1命题角度4命题角度2-66-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(1)证明证明 在三棱柱ABC-A1B1C1中,各侧面均为平行四边形,所以BB1CC1,则ACC1即为AC与BB1所成的角,所以ACC1=CC1B1=60.连接AC1和B1C,因为CA=CB=CC1=2,所以AC1C和B1CC1均为等边三角形.取CC1的中点O,连AO和B1O,则AOCC1,B1OCC1.又AOB1O=O,所以CC1平面AOB1.AB1平面AOB1,所以AB1CC1.命题角度1命题角度4命题角度2-67-高考真题体验对方向
23、新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-68-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-69-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-70-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分6.(2018湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)如图,在几何体ABCDEF中,平面ADE平面ABCD,四边形ABCD为菱形,且DAB=60,EA=ED=AB=2EF,EFAB,M为BC中点.(1)求证:FM平面BDE;(2)求二面角D-BF-C的平面角的正弦值.命题角度1命题角度4命题角度2-71-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(1)证明证明 取CD
24、中点N,连接MN,FN,因为N,M分别为CD,BC中点,所以MNBD.又BD平面BDE,且MN平面BDE,所以MN平面BDE,因为EFAB,AB=2EF,所以EFCD,EF=DN.所以四边形EFND为平行四边形.所以FNED.又ED平面BDE且FN平面BDE,所以FN平面BDE,又FNMN=N,所以平面MFN平面BDE.又FM平面MFN,所以FM平面BDE.命题角度1命题角度4命题角度2-72-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(2)解解 取AD中点O,连接EO,BO.因为EA=ED,所以EOAD.因为平面ADE平面ABCD,所以EO平面ABCD,EOBO.因为AD=AB,DAB=60,所以
25、ADB为等边三角形.因为O为AD中点,所以ADBO.因为EO,BO,AO两两垂直,设AB=4,以O为原点,OA,OB,OE为x,y,z轴,如图建立空间直角坐标系O-xyz命题角度1命题角度4命题角度2-73-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度2-74-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分7.(2018辽宁大连一模)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,PA平面ABCD,E,F分别是线段AD,PB的中点,PA=AB=1.(1)求证:EF平面DCP;(2)求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值.命题角度1命题角度4命题角度2-75-高考真题体验对方向新题
26、演练提能刷高分解解 (1)(方法一)取PC中点M,连接DM,MF.MFDE,MF=DE,四边形DEFM为平行四边形,EFDM,EF平面PDC,DM平面PDC,EF平面PDC.命题角度1命题角度4命题角度2-76-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(方法二)取PA中点N,连接NE,NF.E是AD中点,N是PA中点,NEDP,又F是PB中点,N是PA中点,NEAB,ABCD,NFCD,又NENF=N,NE平面NEF,NF平面NEF,DP平面PCD,CD平面PCD,平面NEF平面PCD.又EF平面NEF,EF平面PCD.命题角度1命题角度4命题角度2-77-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(方
27、法三)取BC中点G,连接EG,FG,在正方形ABCD中,E是AD中点,G是BC中点,GECD,又F是PB中点,G是BC中点,GFPC,又PCCD=C,GE平面GEF,GF平面GEF,PC平面PCD,CD平面PCD,平面GEF平面PCD.EF平面GEF,EF平面PCD.命题角度1命题角度4命题角度2-78-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(2)PA平面ABC,且四边形ABCD是正方形,AD,AB,AP两两垂直,以A为原点,AP,AB,AD所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,命题角度1命题角度4命题角度2-79-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度
28、3-80-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分折叠问题、点到平面的距离(1)证明:DH平面ABCD;(2)求二面角B-DA-C的正弦值.命题角度1命题角度4命题角度3-81-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(1)证明证明 由已知得ACBD,AD=CD.所以OH=1,DH=DH=3.于是DH2+OH2=32+12=10=DO2,故DHOH.又DHEF,而OHEF=H,所以DH平面ABCD.命题角度1命题角度4命题角度3-82-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度3-83-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度3-84-高考真题体验对方向新
29、题演练提能刷高分2.(2015陕西18)如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将ABE沿BE折起到A1BE的位置,如图.(1)证明:CD平面A1OC;(2)若平面A1BE平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.命题角度1命题角度4命题角度3-85-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(1)证明证明 在题图中,因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,BAD=,所以BEAC,即在题图中,BEOA1,BEOC,从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解解 由已知,平面A1BE平面BC
30、DE,又由(1)知,平面A1BE平面BCDE,又由(1)知,BEOA1,BEOC,所以A1OC为二面角A1-BE-C的平面角,所以A1OC=.命题角度1命题角度4命题角度3-86-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度3-87-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度3-88-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度3-89-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(1)证明证明 EFAC,POEF.平面PEF平面ABFED,平面PEF平面ABFED=EF,且PO平面PEF,PO平面ABD.(2)解解 如图,以O为原点,建立
31、空间直角坐标系O-xyz,连接BO,PO平面ABD,PBO为PB与平面ABD所成的角,即PBO=45,PO=BO.设AOBD=H,DAB=60,BDA为等边三角形,命题角度1命题角度4命题角度3-90-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度3-91-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度3-92-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(1)证明证明 取AD的中点O,连接OB,OP,BA=BD,EA=ED,即PA=PD,OBAD且OPAD,又OBOP=O,AD平面BOP,而PB平面BOP,PBAD.命题角度1命题角度4命题角度3-93-高考真题体
32、验对方向新题演练提能刷高分(2)解解 OP=1,OB=2,OP2+OB2=5=PB2,POOB,OP,OB,OD两两互相垂直,以O为坐标原点,OB,OD,OP所在的直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,命题角度1命题角度4命题角度3-94-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分3.(2018东北三省三校三模)已知等腰直角SAB,SA=AB=4,SAAB,C,D分别为SB,SA的中点,将SCD沿CD折到SCD的位置,SA=,取线段SB的中点为E.(1)求证:CE平面SAD;(2)求二面角A-EC-B的余弦值.命题角度1命题角度4命题角度3-95-高考真题体验对方向新题演练提能刷高
33、分(1)证明证明 取SA中点F,连接DF,EF,命题角度1命题角度4命题角度3-96-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(2)解解 SD=AD=2,SA=,SD2+AD2=SA2.SDAD.SDCD,SD平面SCD,SD平面ABCD,AD,CD平面ABCD,SDAD,SDCD,又ADDC,DA,DC,DS两两互相垂直,如图所示,分别以DA,DC,DS为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,命题角度1命题角度4命题角度3-97-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度3-98-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分4.(2018山东济南一模)如图1,在高为6的等腰梯形
34、ABCD中,ABCD,且CD=6,AB=12,将它沿对称轴OO1折起,使平面ADO1O平面BCO1O.如图2,点P为BC中点,点E在线段AB上(不同于A,B两点),连接OE并延长至点Q,使AQOB.(1)证明:OD平面PAQ;(2)若BE=2AE,求二面角C-BQ-A的余弦值.命题角度1命题角度4命题角度3-99-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(1)证明证明 由题设知OA,OB,OO1两两垂直,所以以O为坐标原点,OA,OB,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设AQ的长度为m,则相关各点的坐标为O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0
35、,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0).命题角度1命题角度4命题角度3-100-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(2)解解 BE=2AE,AQOB,命题角度1命题角度4命题角度3-101-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分5.(2018安徽安庆二模)如图,四边形ABCD是矩形,沿对角线AC将ACD折起,使得点D在平面ABC上的射影恰好落在边AB上.(1)求证:平面ACD平面BCD;(2)当 =2时,求二面角D-AC-B的余弦值.命题角度1命题角度4命题角度3-102-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(1)证明证明 设点D在平面ABC上的射影为点E,连接DE,则DE平面ABC,
36、所以DEBC.因为四边形ABCD是矩形,所以ABBC.因为ABDE=E,所以BC平面ABD,所以BCAD.又ADCD,CDBC=C,所以AD平面BCD,而AD平面ACD,所以平面ACD平面BCD.命题角度1命题角度4命题角度3-103-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(2)解解 以点B为原点,线段BC所在的直线为x轴,线段AB所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设|AD|=a,则|AB|=2a,所以A(0,-2a,0),C(-a,0,0).命题角度1命题角度4命题角度3-104-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度4-105-高考真题体验对方向新题演
37、练提能刷高分探究性问题(2016北京17)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=.(1)求证:PD平面PAB;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM平面PCD?若存在,求 的值;若不存在,说明理由.命题角度1命题角度4命题角度4-106-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(1)证明证明 因为平面PAD平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD,所以PD平面PAB.(2)解解 取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以POAD.又因
38、为PO平面PAD,平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD,所以POCO.因为AC=CD,所以COAD.如图建立空间直角坐标系O-xyz.命题角度1命题角度4命题角度4-107-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度4-108-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度4-109-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度4-110-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分解解 (1)当M,N为各棱中点时,AD平面B1MN.证明如下:连接CD,CNB1D且CN=B1D=BC,四边形B1DCN为平行四边形
39、,DCB1N.又DC平面B1MN,B1N平面B1MN,DC平面B1MN.M,N为各棱中点,ACMN,又AC平面B1MN,MN平面B1MN,AC平面B1MN.DCAC=C,平面ADC平面B1MN,又AD平面ADC,AD平面B1MN.命题角度1命题角度4命题角度4-111-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度4-112-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度4-113-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分2.(2018湖北宜昌调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,ADBC,AB=BC=PA=1,AD=2,PAD=DAB=A
40、BC=90,点E在棱PC上,且CE=CP.(1)求证:CDAE;(2)是否存在实数,使得二面角C-AE-D的余弦值为?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.命题角度1命题角度4命题角度4-114-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(1)证明证明 过点C作CFAB交AD于点F,AB=BC=1,AD=2,DAB=ABC=90,CD2+AC2=4=AD2,CDAC.PAD=90,PAAD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PA平面ABCD,PACD.PA,AC平面PAC,且PAAC=A,CD平面PAC,CDAE.命题角度1命题角度4命题角度4-115-高考真题体验对方向
41、新题演练提能刷高分(2)解解 PAD=90,PAAD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PA平面ABCD.PACD,PAAB,以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,命题角度1命题角度4命题角度4-116-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度4-117-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度4-118-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分3.(2018四川南充三诊)如图,四边形ABCD中,ABAD,ADBC,AD=6,BE=2AB=4,E,F分别在BC,AD上,EFAB,现将四边形ABCD
42、沿EF折起,使平面ABEF平面EFDC.(1)若BE=1,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,且 ,使得CD平面ABEF?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;(2)当三棱锥A-CDF的体积最大时,求二面角E-AC-F的余弦值.命题角度1命题角度4命题角度4-119-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分解解 (1)在折叠后的图中过C作CGFD,交FD于G,过G作GPFD交AD于P,连接PC,在四边形ABCD中,EFAB,ABAD,所以EFAD.折起后AFEF,DFEF,又平面ABEF平面EFDC,平面ABEF平面EFDC=EF,所以FD平面ABEF.又AF平面ABEF,所以FDAF,命题角度1
43、命题角度4命题角度4-120-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度4-121-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度4-122-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分4.(2018陕西西安八校第一次联考)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.(1)M为AB中点,在线段CB上是否存在一点P,使得MP平面CNB1?若存在,求出BP的长;若不存在,请说明理由;(2)求二面角C-NB1-C1的余弦值.命题角度1命题角度4命题角度4-123-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分解解 如图,建立
44、空间直角坐标系B-xyz,则由该几何体的三视图可知:A(4,0,0),B(0,0,0),C(0,0,4),N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4).(1)设平面CNB1的法向量n=(x,y,z).命题角度1命题角度4命题角度4-124-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度4-125-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分命题角度1命题角度4命题角度4-126-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分又AB=AC=2,所以AB2+AC2=BC2,所以ACAB,又PBAC,且ABPB=B,所以AC平面PAB,因为AC平面PAC,所以平面PAB平面PAC.命题角度1命题角度4命题角度4-127-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分(2)解解 由(1)知ACAB,AC平面PAB,如图,分别以AB,AC所在直线为x轴、y轴,平面PAB内过点A且与直线AB垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,命题角度1命题角度4命题角度4-128-高考真题体验对方向新题演练提能刷高分
