1、1数据结构与算法 -第十八讲北方民族大学计算机科学与工程学院王伦津 研究员图的基本概念及基本操作图的基本概念及基本操作218、图的基本概念、图的基本操作，、图的基本概念、图的基本操作，以及图的对象抽象模型以及图的对象抽象模型 掌握图的定义、结点、边、弧、邻接、关掌握图的定义、结点、边、弧、邻接、关联、度、权、路径、子图、连通等有关术联、度、权、路径、子图、连通等有关术语及其图的检索、插入、删除、求邻接点、语及其图的检索、插入、删除、求邻接点、关联边、图的遍历等基本操作关联边、图的遍历等基本操作，了解图，了解图结点抽象模型、图的边对象抽象模型和图结点抽象模型、图的边对象抽象模型和图对象的抽象模型
2、对象的抽象模型3目目 录录18.1 图结构图结构18.2 图的基本概念图的基本概念18.2.1 图的概念图的概念18.2.2 图的基本操作图的基本操作18.3 图的对象抽象模型图的对象抽象模型18.3.1 图结点抽象模型图结点抽象模型18.3.2 图的边对象抽象模型图的边对象抽象模型18.3.3 图抽象对象模型图抽象对象模型4这里的图，有时也称网络，是指由若干个结点与若这里的图，有时也称网络，是指由若干个结点与若干条边构成的结构，其中每个结点可有干条边构成的结构，其中每个结点可有多个前趋和多个前趋和多个后继，多个后继，结点是一些具体对象的抽象，而边是对结点是一些具体对象的抽象，而边是对象间的关
3、系的抽象。值得注意的是，与一般意义下象间的关系的抽象。值得注意的是，与一般意义下的图不同，这里的图只涉及图的拓扑结构，与图的的图不同，这里的图只涉及图的拓扑结构，与图的几何性质无关。图论重点讨论图的数学性质，而这几何性质无关。图论重点讨论图的数学性质，而这里的重点是图结点间的关系以及图的存贮结构与基里的重点是图结点间的关系以及图的存贮结构与基本操作的实现。图是一种复杂的非线性结构，它有本操作的实现。图是一种复杂的非线性结构，它有极强的表达能力，现实世界中许多问题均可用图结极强的表达能力，现实世界中许多问题均可用图结构描述。构描述。18.1 图结构图结构5 18.2.1 图的概念图的概念1图图
4、图图(Graph)是由若干个结点和若干条边构成的结是由若干个结点和若干条边构成的结构，每个结点具有任意多个前驱和后继。这种结构构，每个结点具有任意多个前驱和后继。这种结构的含意为：的含意为：结点集合结点集合V：结点代表对象：结点代表对象Vertex 边集合边集合R：两结点之间的边表示它们代表的对象：两结点之间的边表示它们代表的对象之间的关系之间的关系 18.2 图的基本概念图的基本概念6 形式化地讲，图是形为形式化地讲，图是形为 G=(V,R)的数据结构，其中，的数据结构，其中，V=x|x属于数据对象属于数据对象 R=VR VR=|p(x,y)xVyV 这里，这里，p(x,y)是是V上的一个谓
5、词，上的一个谓词，p(x,y)为真当为真当且仅当且仅当x与与y存在问题世界中的关系。存在问题世界中的关系。在具体应用中，结点与边要被赋予具体的含意。如在具体应用中，结点与边要被赋予具体的含意。如结点代表城市，而边代表城市之间的行程。结点代表城市，而边代表城市之间的行程。7 若二元关系若二元关系VR中的每个型如中的每个型如的的成员中的成员中的x与与y是次序无关的，则称该图为无是次序无关的，则称该图为无向图向图(undirecyed graph)，否则称为有向图，否则称为有向图(directed graph)。无向图也可以看作。无向图也可以看作VR对对称的图，即对任意称的图，即对任意x与与y，若有
6、，若有VR，则必有则必有VR。对无向图，我们用。对无向图，我们用(x,y)表示表示。2有向有向/无向图无向图8 3结点、边、弧结点、边、弧 图中的数据元素称为结点（或顶点）图中的数据元素称为结点（或顶点）(vertice/node/point)，有时为了强调，对有向图，有时为了强调，对有向图，称称为弧为弧(arc)，x与与y分别为弧尾与弧头，或始分别为弧尾与弧头，或始点与终点，称点与终点，称y为为x的出点的出点/可达邻接点，称可达邻接点，称x为为y的的入点称入点称为为x的出边的出边/出弧，出弧，为为y的入边的入边/入弧。对无向图，入弧。对无向图，泛称泛称为边为边(edge)。在讨论。在讨论图中
7、，为了方便，一般给图中，为了方便，一般给结点编号，用它们的编号代表结点编号，用它们的编号代表它们。结点编号一般用自然数。它们。结点编号一般用自然数。(a)有向图(b)无向图图 18 1 图示例9 例例 18 1设有两个二元组设有两个二元组G1=(V1,R1)与与G2=(V2,R2)，其，其中，中，V1=1,2,3,4,5 R1=VR1 VR1=,V2=a,b,c,d R2=VR2 VR2=(a,b),(a,d),(b,d),(d,c)显然，它们不满足线性结构、广义表和树的定义，而显然，它们不满足线性结构、广义表和树的定义，而满足图的定义。满足图的定义。210 4邻接、关联邻接、关联 对图中任意
8、结点对图中任意结点x与与y，若它们之间存在边（即有，若它们之间存在边（即有，或，或），则称），则称x与与y邻接邻接(adjacent)，它们互为邻接点。同时称，它们互为邻接点。同时称x或或y与边与边（或（或或或(x,y)）关联）关联(incident)。5度度 对任一结点对任一结点x，称以它为头的弧的个数为它的入度，称以它为头的弧的个数为它的入度(In degree)；称以它为尾的弧的个数为它的称以它为尾的弧的个数为它的出度出度(out degree)；称它的入度与出；称它的入度与出度之和为它的度之和为它的度度(degree)。对无向图，无出度入度之分，直接称。对无向图，无出度入度之分，直接称
9、与它关联的边的个数为它的度。与它关联的边的个数为它的度。例如，图例如，图6-1(a)中的结点中的结点1的出度的出度与入度都为与入度都为2，结点，结点3的出度入度分别为的出度入度分别为1和和0，(b)中的结点中的结点a、b、度均为度均为2，而，而d的度为的度为3 3，c的度为的度为1。116权权 权权(Weight)与哈夫曼树中的概念相同，即权是一个数值量，与哈夫曼树中的概念相同，即权是一个数值量，是某些信息的数字化抽象。权分边权与结点权，分别是边与结点是某些信息的数字化抽象。权分边权与结点权，分别是边与结点的问题世界所关心的信息的数值化表示。例如，若结点代表城市，的问题世界所关心的信息的数值化
10、表示。例如，若结点代表城市，则边权可代表城市之间的交通费用。则边权可代表城市之间的交通费用。7路径（通路）路径（通路）对有向图，若存在弧序列对有向图，若存在弧序列 ，且且n1，则称从，则称从x0到到xn有通路（路径）有通路（路径）(Path)。上列序列称。上列序列称为为x0到到xn的路径。该路径也可表示为的路径。该路径也可表示为 (x0,x1,xn)12对无向图，若有边序列对无向图，若有边序列 (x0,x1)，(x1,x2)，(xn-1,xn)且且n1，则称，则称x0与与xn之间有路径（通路），该路径可用上之间有路径（通路），该路径可用上列边序列表示，亦可用下列结点序列表示列边序列表示，亦可用
11、下列结点序列表示 (x0,x1,xn)路径中边的数目称为路径中边的数目称为路径长路径长。若若x0=xn，则称相应的路径为，则称相应的路径为回路回路/环路环路(loop)。若在路径若在路径(x0,x1,xn)中，除中，除x0与与xn外，任意其它结外，任意其它结点均不相同，则称该路径为点均不相同，则称该路径为简单路径简单路径(Simple Path)。起点。起点与终点重合的简单路径称为与终点重合的简单路径称为简单回路简单回路(Simple Loop)。UU 显然，简单路径中不含回路。显然，简单路径中不含回路。13 8子图子图/生成图生成图 若某图若某图G的结点集合与边集合分别是另一图的结点集合与边
12、集合分别是另一图G的结点集的结点集合和边集合的子集，则称合和边集合的子集，则称G为为G的的子图子图(Subgraph)。设有两个图设有两个图G与与G，若它们的，若它们的结点集合相同结点集合相同，但，但G的边的边集合是集合是G的边集合的子集，则称的边集合的子集，则称G是是G的的生成图生成图(Spanning Graph)。显然，生成图一定是子图，但反之未必。显然，生成图一定是子图，但反之未必。e ef fbd dca ae ef fbd dca ae ef fd da a14 10生成树生成树 无回路的连通的无向图的生成图，称为该无向图的无回路的连通的无向图的生成图，称为该无向图的生成生成树树(
13、Spanning Tree)。9连通连通 若图中任意两结点若图中任意两结点x和和y，或，或x到到y有通路，或有通路，或y到到x有通路，有通路，则称该图是则称该图是（弱）连通的（弱）连通的(Connected)；若；若x到到y有通路，且有通路，且y到到x有通路，则称该图是有通路，则称该图是强连通的强连通的(Strongly Connected)。若。若图中某子图是连通的，则称该子图为一个图中某子图是连通的，则称该子图为一个连通分量连通分量(Connected Component)。若。若G的某子图的某子图G是连通的，并且，是连通的，并且，若将若将G中任意其他结点及其任意相关联的边加入到中任意其他
14、结点及其任意相关联的边加入到G，都会导，都会导致致G不连通，那么称不连通，那么称G是一个是一个极大连通分量（极大连通分量（Maximum Connected Component)。显然极大连通分量不唯一。显然极大连通分量不唯一。15证：先归纳证明，边的个数不能少于结点数减证：先归纳证明，边的个数不能少于结点数减1（否（否则图就不连通了）。再证明，边数必不大于结点数则图就不连通了）。再证明，边数必不大于结点数减减1，因为若有，因为若有n个结点，则有个结点，则有(n-1)条边就使这条边就使这n个结个结点连通了，若再添加一条边，则这条边关联的两结点连通了，若再添加一条边，则这条边关联的两结点间的路径
15、就多于点间的路径就多于1条了，从而构成回路。综合这两条了，从而构成回路。综合这两个方面，就证得了本定理。个方面，就证得了本定理。参见参见p9图图定理定理 7 1生成树中边的个数为结点个生成树中边的个数为结点个数减数减1.1618.2.2 图的基本操作图的基本操作 图是一种与具体应用密切相关的结构，有关它的基本图是一种与具体应用密切相关的结构，有关它的基本操作也往往随应用不同而出入很大操作也往往随应用不同而出入很大.检索：检索：按结点编号或内容检索结点位置按结点编号或内容检索结点位置 按边的两顶点检索边按边的两顶点检索边 插入：插入：插入结点插入结点 插入边插入边 删除：删除：删除结点及与其关联
16、的边删除结点及与其关联的边 删除边删除边17 求邻接点、关联边求邻接点、关联边 求度（入度与出度）求度（入度与出度）求路径求路径 图的遍历图的遍历 求子图求子图 求生成图求生成图 求连通分量求连通分量 求拓扑序列（有向图）求拓扑序列（有向图）求（最小）生成树求（最小）生成树 求关键路径求关键路径 求最短路径求最短路径 1818.3 18.3 图的对象抽象模型图的对象抽象模型 这里，我们仅从逻辑关系出发，考虑这里，我们仅从逻辑关系出发，考虑图结点和整个图对象应具有的性质。由图结点和整个图对象应具有的性质。由于图结点的关系不象其他结构中结点那于图结点的关系不象其他结构中结点那样有限制，所以它的抽象
17、结构比较复杂。样有限制，所以它的抽象结构比较复杂。19 为了后面的使用，首先定义一个枚举类型为了后面的使用，首先定义一个枚举类型和常量：和常量：enum TTraverseMode DFS,WFS;/定义枚举类型，表示图遍历方式定义枚举类型，表示图遍历方式 const CNST_NumNodes=100;/定义常量，表示最大结点个数。实际定义常量，表示最大结点个数。实际结点个数可以小于该数结点个数可以小于该数 2018.3.1 图结点抽象模型图结点抽象模型 图结点抽象模型重点是描述图结图结点抽象模型重点是描述图结点的内容，隐蔽具体的图结点的结构。点的内容，隐蔽具体的图结点的结构。所以，图结点对
18、象模型中，重点是关所以，图结点对象模型中，重点是关于结点信息的于结点信息的Get和和Set类操作。类操作。下面是图结点的描述：下面是图结点的描述：21 template /结点内容的类型（可变类型）结点内容的类型（可变类型）struct TGraphNode0/图结点类图结点类 long no;/图结点的编号图结点的编号 float weight;/结点的权结点的权 TElem info;/图结点的内容图结点的内容 virtual long GetNo()return no;virtual void SetNo(long mNo)no=mNo;virtual TElem&GetElem()re
19、turn info;virtual TElem&SetElem(TElem&e)info=e;return info;virtual float GetWeight()return weight;virtual float SetWeight(TElem&w)weight=w;return weight;22 该类的各基本操作都已在类定义中实现，所以已该类的各基本操作都已在类定义中实现，所以已不属于抽象类，但其在整个图类中，扮演抽象类不属于抽象类，但其在整个图类中，扮演抽象类的作用。该类中主要成员说明如下：的作用。该类中主要成员说明如下：GetNo()：返回本结点的编号。：返回本结点的编号。S
20、etNo(long mNo)：将：将mNo做为本结点的编号值。做为本结点的编号值。GetElem()：返回本结点的值。：返回本结点的值。SetElem(TELem&e)：将：将e做为本结点做为本结点的元素值。的元素值。GetWeight()：返回本结点的权值。：返回本结点的权值。SetWeight(TELem&w)：将：将w做为本结点的权值。做为本结点的权值。2318.3.2 图的边对象抽象模型图的边对象抽象模型 边实质上就是元素间的关系。在图中，边不仅仅边实质上就是元素间的关系。在图中，边不仅仅表达的是逻辑关系，它本身也可以具有其他的属性，表达的是逻辑关系，它本身也可以具有其他的属性，如权值
21、。因此，有必要专门建立针对图的边的对象如权值。因此，有必要专门建立针对图的边的对象模型。模型。与结点类与结点类TgraphNode0类似类似，该类的成员函数也，该类的成员函数也都实现，在语法上不属于抽象类。都实现，在语法上不属于抽象类。24template struct TGraphEdge0 /图边抽象类图边抽象类 long startNo,endNo;/边的起点和终点边的起点和终点 float weight;/边权边权 TElem info;/边的内容边的内容 virtual TElem&GetElem()return info;/读边内容读边内容 virtual TElem&SetEle
22、m(TElem&e)info=e;return info;/置边置边 virtual float GetWeight()return weight;/读边权读边权 virtual float SetWeight(TElem&w)weight=w;return weight;/置边置边权权 virtual long GetStartNo()return startNo;/读边的起点编号读边的起点编号 virtual long GetEndNo()return endNo;/读边的终点编号读边的终点编号 virtual void SetStartNo(long mNo)startNo=mNo;/置
23、边的起点编置边的起点编 virtual void SetEndNo(long mNo)endNo=mNo;/置边的终点编号置边的终点编号;2518.3.3 图抽象对象模型图抽象对象模型 图抽象模型重点是定义针对图的整体结构图抽象模型重点是定义针对图的整体结构的操作。根据前面分析，图的整体方面的操作的操作。根据前面分析，图的整体方面的操作主要有遍历、查找、求路径、求生成树、求拓主要有遍历、查找、求路径、求生成树、求拓扑序列（有向图）、求关键路径、求最短路径、扑序列（有向图）、求关键路径、求最短路径、求最小生成树等。下面是具体的抽象模型。求最小生成树等。下面是具体的抽象模型。26template
24、/用到两个可变类型，分别是用到两个可变类型，分别是图结点内容和边内容图结点内容和边内容class TGraph0/图抽象类图抽象类 public:long numNodes;virtual long GetNodeNo(TGraphNode0*pNode);virtual TGraphNode0*GetNodeAddress(long nodeNo);virtual TGraphNode0*GetSucc(TGraphNode0 *pNode,long sucNo)=0;virtual TGraphNode0*GetPrior(TGraphNode0 *pNode,long preNo)=0;
25、virtual TGraphNode0*SetSucc(TGraphNode0 *pNode,long sucNo,TGraphNode0*pNode)=0;virtual TGraphNode0*SetPrior(TGraphNode0 *pNode,long preNo,TGraphNode0*pNode)=0;27virtual TGraphEdge0*GetSuccEdge(TGraphNode0 *pNode,long sucNo)=0;virtual TGraphEdge0*GetPriorEdge(TGraphNode0 *pNode,long preNo)=0;virtual
26、long GetInDegree(TGraphNode0*pNode)=0;virtual long GetOutDegree(TGraphNode0*pNode)=0;virtual long Cluster(long v0,long*nos,TTraverseMode tm)=0;virtual long GetNumNodes()return numNodes;virtual TGraphNode0*AddNode(long mNo,TElem&nodeInfo)=0;virtual TGraphEdge0*AddEdge(long startNo,long endNo,TEdgeEle
27、m *pee=NULL)=0;virtual TGraphNode0*DeleteNode(long mNo)=0;virtual TGraphEdge0*DeleteEdge(long startNo,long endNo)=0;virtual long Cluster(TGraphNode0*pStartNode,TElem*e,TTraverseMode tm)=0;28 virtual long Cluster(TGraphNode0*pStartNode,TGraphNode0*Nodes,TTraverseMode tm)=0;virtual TGraphNode0*Locate(
28、long nNo)=0;virtual TGraphEdge0*Locate(long startNo,long endNo)=0;virtual TGraphNode0*Locate(TElem&e,TTraverseMode tm,long sn=1)=0;virtual long GetPath(long startNo,long endNo,long sn,long*pathNodeNo)=0;virtual long GetPath(long startNo,long endNo,long sn,TGraphNode0*pathNode)=0;virtual long GetPath
29、Shortest(long startNo,TDijkPath *path)=0;virtual long GetPathShortest(long*path)=0;29 其中主要成员说明如下。其中主要成员说明如下。GetNodeNo(TGraphNode0*pNode)：返回地址为：返回地址为pNode的结点的编号。的结点的编号。GetNodeAddress(long nodeNo)：返回编号为：返回编号为nodeNo的结点的的结点的地址。地址。有了这两个函数，就可以自由地由结点的编号，求得其地址，有了这两个函数，就可以自由地由结点的编号，求得其地址，或反过来。或反过来。GetSucc(lo
30、ng nodeNo,long sucNo)：返回编号为：返回编号为nodeNo的结点的第的结点的第sucNo个后继结点的地址。个后继结点的地址。GetPrior(long nodeNo,long preNo)：返回返回编号为：返回返回编号为nodeNo的结点的第的结点的第preNo个前驱结点的地址。个前驱结点的地址。SetSucc(long nodeNo,long sucNo,TGraphNode*pNode)：将编号为：将编号为nodeNo的结点设置为本结点的第的结点设置为本结点的第sucNo个个后继。后继。30SetProir(long nodeNo,long preNo,TGraphNo
31、de*pNode)：将编号为：将编号为nodeNo的结点设置为本结点的第的结点设置为本结点的第preNo个前驱。个前驱。GetSuccEdge(long nodeNo,long sucNo)：返回编号为：返回编号为nodeNo的结点的第的结点的第sucNo个结点的地址。：个结点的地址。：和和GetPriorEdge(long nodeNo,long sucNo)。GetInDegree(long nodeNo)：返回编号为：返回编号为nodeNo的结的结点的入度值。点的入度值。GetOutDegree(long nodeNo)：返回编号为：返回编号为nodeNo的结的结点的出度值。点的出度值。
32、AddNode(mNo,nodeInfo)：给图加入一个结点。结点：给图加入一个结点。结点的编号为的编号为mNo，值为，值为nodeInfo。31AddEdge(startNo,endNo,pee)：给图增加一条边。边的起：给图增加一条边。边的起点和终点分别为点和终点分别为startNo和和endNo，边的内容为，边的内容为pee所指内所指内容，其为空时表示暂不设置边内容。当容，其为空时表示暂不设置边内容。当startNo或或endNo不不存在时，该函数还负责加入相应的结点。存在时，该函数还负责加入相应的结点。DeleteNode(mNo)：删除编号为：删除编号为mNo的结点，并将其值存的结点
33、，并将其值存储在一个临时的缓冲区，返回该缓冲区的地址。储在一个临时的缓冲区，返回该缓冲区的地址。DeleteEdge(startNo,endNo)：删除两端点的编号分别为：删除两端点的编号分别为startNo和和endNo的边，并将其值存储在一个临时的缓冲区，的边，并将其值存储在一个临时的缓冲区，返回该缓冲区的地址。返回该缓冲区的地址。Cluster(long v0,TElem*e,TTraverseMode tm)：串行化聚集：从结点：串行化聚集：从结点v0出发，按出发，按tm方式遍历图，将遍历到的结点的内容的地址依次存于方式遍历图，将遍历到的结点的内容的地址依次存于e中，中，并返回所遍历到
34、的结点的个数。并返回所遍历到的结点的个数。32Locate(long startNo,long endNo)：边定位：返回两端点编：边定位：返回两端点编号分别为号分别为startNo和和endNo的边的指针。的边的指针。Locate(TElem&e,TTraverseMode tm,long sn=1)：结点内：结点内容定位：返回结点内容为容定位：返回结点内容为e的（在遍历方式的（在遍历方式tm下的）第下的）第sn个个结点的指针。结点的指针。sn0时表示正数（第一次遍历到的内容为时表示正数（第一次遍历到的内容为e的的结点的对应结点的对应sn为为1，余递增），余递增），sn0时表示倒数（最后遍历
35、时表示倒数（最后遍历到的内容为到的内容为e的结点的对应的结点的对应sn为为-1，余为，余为-2,等等）。等等）。Cluster(long v0,long*nos,TTraverseMode tm)：与上：与上面的函数类似，不同的是将遍历到的结点的编号存于面的函数类似，不同的是将遍历到的结点的编号存于nos中。中。33GetPath(long startNo,long endNo,long sn,long*pathNodeNo)：求路径：求从：求路径：求从startNo（编号）到（编号）到endNo(编编号号)的第的第sn条路径，并将其上结点依次存入条路径，并将其上结点依次存入pathNodeN
36、o中。这中。这里，所谓路径的次序（第里，所谓路径的次序（第sn条）条）,是按从是按从startNo到到endNo的深的深度优先次序。度优先次序。sn的含义同前。的含义同前。GetPath(long startNo,long endNo,long sn,TGraphNode0*pathNode)：与上面的函数类似，与上面的函数类似，不同的是将路径上的结点的指针存入不同的是将路径上的结点的指针存入pathNode。GetPathShortest(long startNo,TDijkPath *path)：生成单：生成单源最短路径（从源最短路径（从startNo到其余各点的最短路径）。到其余各点的最
37、短路径）。GetPathShortest(long*path)：生成多源最短路径（每对结：生成多源最短路径（每对结点讲间的最短路径）点讲间的最短路径）34本讲小结本讲小结本讲介绍了图的基本概念，重点是有关图的本讲介绍了图的基本概念，重点是有关图的术语和基本含义。要求掌握图、有向图术语和基本含义。要求掌握图、有向图/无向无向图、结点、边、弧、邻接、关联、度、权、图、结点、边、弧、邻接、关联、度、权、路径、子图、生成图、连通、生成树等概念。路径、子图、生成图、连通、生成树等概念。了解图的基本操作。另一个重点是掌握图的了解图的基本操作。另一个重点是掌握图的结点抽象模型、图的边的抽象模型，进而构结点抽象模型、图的边的抽象模型，进而构建图凑向对象模型。了解图抽象对象模型中建图凑向对象模型。了解图抽象对象模型中虚函数的功能。虚函数的功能。接着讲图的两种存储结构，接着讲图的两种存储结构，并在两种存储结构上，考虑并在两种存储结构上，考虑其增、删功能的实现其增、删功能的实现35思考与练习思考与练习见第19讲 36
