1、3.1.23.1.2空间向量的空间向量的数乘运算数乘运算2abba 加法交换律加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律加法结合律()()abcabc 注注:两个空间向量的加、减法两个空间向量的加、减法与两个平面向量与两个平面向量的加、减法实质是一样的的加、减法实质是一样的.3结论：结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。1）空间任意两个向量都是共面向量。2）涉及空间任意两个向量问题，平2）涉及空间任意两个向量问题，平面向量中有关结论仍适用它们。面向量中有关结论仍适用它们。abab bb 我们知道平面向量还有数乘运算我们知道平面向量还有数乘运算.类似地类似地,同样可以
2、定义空间向量的数乘运同样可以定义空间向量的数乘运算算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢其运算律是否也与平面向量完全相同呢?因为平移不改变向量的大小和方向。因为平移不改变向量的大小和方向。4数乘空间向量的运算法则数乘空间向量的运算法则例如例如:a3a3a一、一、5 显然显然,空间向量的数乘运算满足分配律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律及结合律()()()a babaaaaa 即：（）为什么平面向量的数乘与空间向量的数乘一样原因是数乘在二维空间即平面中就可以定义讨论无需在三位空间中定义讨论。数乘概念是二维的概念。6思考思考1 1:已知已知平行六面体平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B
3、B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量表达式，并标出化简结果的向量.(.(如图如图)111(1)(2)1(3)()31(4)2ABBCABADAAABADAAABADCC (1);ABBCAC 解解：1111(2)ABADAAACAAACCCAC ABCDA1B1C1D1GM111(3)()33ABADAAACAG 1(4).ABADCCAM 1 1+2 27ABCDA1B1C1D1MN例例2、平行六面体、平行六面体 ，M分分 成的成的比为比为 ，N分分 成的比为成的比为2，设，设 试用试用 表示表示 。1111ABC DABCDAC121AD
4、 1,ABa ADb AAc ,a b c MN 8例例3、已知、已知 是平行六面体。是平行六面体。（1）化简）化简 ，并在图中标出其结果；，并在图中标出其结果；（2）设）设M是底面是底面ABCD的中心，的中心，N是侧面是侧面 对角线对角线 上的上的3/4分点，设分点，设 ，试求，试求 的值。的值。ABCDA B C D 1223AABCAB BCC B BCMNABADAA 、练习：练习：如图，已知正方体如图，已知正方体 ，点，点E是上底面是上底面 的中心，求下列各式中的中心，求下列各式中x、y、z的值：的值：ABCDA B C D A B C D (1);(2).BDxADyABzAAAE
5、xADyABzAA 9acb二、共线向量及其定理二、共线向量及其定理10二、共线向量及其定理二、共线向量及其定理 为什么共线向量定理在空间依旧成立原因是这些概念是二维为什么共线向量定理在空间依旧成立原因是这些概念是二维空间即平面内概念，无需在三维空间中定义讨论。空间即平面内概念，无需在三维空间中定义讨论。注意是充要条件。还要深刻理解共线内涵即有一个是零向量时注意是充要条件。还要深刻理解共线内涵即有一个是零向量时显然成立，都不是零向量时用图说明。显然成立，都不是零向量时用图说明。11lAPa BO即，P,A,B三点共线。或表示为：(1).OPt OAtOB 12 为什么平面向量中这样的结论在空间
6、依然成立原因是这些概念只需要空间是二维即平面无需是三维。有些概念需要在三维空间中才能定义有些概念只需在二维空间即平面中就可以定义讨论了。所以二维平面中的结论性质依旧在三维空间中成立。我们知道一个概念的发生发展定义讨论有时空背景或二维或三维。我们是在一定的时空中定义讨论概念的发生发展。13OAM GEFCBD分析分析:证三点共线可证三点共线可尝试尝试用向量来分析用向量来分析.练习练习2:2:已知已知A A、B B、P P三点共线，三点共线，OO为直线为直线ABAB外一点外一点 ,且且 ，求，求 的值的值.OPxOAyOB xy N14练习练习2:2:已知已知A A、B B、P P三点共线，三点共
7、线，OO为直线为直线ABAB外一点外一点 ,且且 ，求，求 的值的值.OPxOAyOB xy 学习共面学习共面15例例4、已知四边形、已知四边形ABCD是空间四边形，是空间四边形，E、H分别是边分别是边AB、AD的中点，的中点，F、G分别是分别是CB、CD上的点，且上的点，且求证：四边形求证：四边形EFGH是梯形。是梯形。22,.33CFCB CGCD 16三三.共面向量共面向量:1.1.共面向量共面向量:平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.OAaa注意：注意：空间任意两个空间任意两个向量是共面的向量是共面的，但空，但空间任意三个向量就不间任意三个向量就不一定共
8、面的了。一定共面的了。AabBCPp 共面向量定理换个角度就共面向量定理换个角度就是平面向量基本定理。这是平面向量基本定理。这个结论放到平面是平面向个结论放到平面是平面向量基本定理放到空间是共量基本定理放到空间是共面向量定理。面向量定理。17 同学们下面的讨论要在空间中讨论，所以这些知识是同学们下面的讨论要在空间中讨论，所以这些知识是新的，是平面向量中没有的。新的，是平面向量中没有的。18OAabBCPp 1920AMCGDB1)2abc（1)3abc（例例3.已知平行四边形已知平行四边形ABCD，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量OE=KOA,OF=kOB,OG=KOC,OH=KOD,求证求证（1）四点）四点E，F，G，H共面。（共面。（2）平面平面EG/平面平面ACOF FA AB BC CD DE EH HG G1、几何法、几何法2、空间向量共面定理、空间向量共面定理3、此题用向量法有点把简此题用向量法有点把简单问题复杂化，但向量单问题复杂化，但向量的巨大威力与优越在后的巨大威力与优越在后面的学习中会体会到。面的学习中会体会到。因为好钢要用在刀刃上。因为好钢要用在刀刃上。不用在刀刃上显示不出不用在刀刃上显示不出钢的好。钢的好。
