1、一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量 第一节第一节 二维随机变量二维随机变量图示图示e)(eY S)(eX.,),(,)()(,或或二二维维随随机机变变量量叫叫作作二二维维随随机机向向量量由由它它们们构构成成的的一一个个向向量量上上的的随随机机变变量量是是定定义义在在和和设设它它的的样样本本空空间间是是是是一一个个随随机机试试验验设设YXSeYYeXXSE 一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数 1.定义定义实例实例1 炮弹的弹着点的炮弹的弹着点的位置位置(X,Y)
2、就是一个二维就是一个二维随机变量随机变量.二维随机变量二维随机变量(X,Y )的性质不仅与的性质不仅与 X、Y 有关有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.实例实例2 考查某一地考查某一地 区学前区学前儿童的发育情况儿童的发育情况,则儿童的则儿童的身高身高 H 和体重和体重 W 就构成二就构成二维随机变量维随机变量(H,W).说明说明 2.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义分布函数的定义 .,),(,)()(),(:,),(的联合分布函数的联合分布函数和和机变量机变量或称为随或称为随的分布函数的分布函数称为二维随机变量称为
3、二维随机变量二元函数二元函数对于任意实数对于任意实数是二维随机变量是二维随机变量设设YXYXyYxXPyYxXPyxFyxYX xoy),(yx yYxX ,),(),(YXYX看看成成是是平平面面上上随随机机点点若若将将二二维维随随机机变变量量落落在在以以就就表表示示随随机机点点则则分分布布函函数数的的坐坐标标),(),(,YXyxF.),(矩矩形形域域内内的的概概率率为为顶顶点点的的左左下下方方的的无无限限点点yx落落入入任任一一矩矩形形区区域域点点这这时时),(,YX,|),(2121yyyxxxyxG 的概率，的概率，,2121yYyxXxP ),(22yxF),(12yxF),(21
4、yxF),(11yxF(2)分布函数的性质分布函数的性质),(),(,),(11212oyxFyxFxxyyxyxF 时时当当意意固固定定的的即即对对于于任任的的不不减减函函数数和和是是变变量量).,(),(,1212yxFyxFyyx 时时当当对对于于任任意意固固定定的的,1),(02o yxF,y对对于于任任意意固固定定的的,0),(lim),(yxFyFx且有且有,x对对于于任任意意固固定定的的,0),(lim),(yxFxFy.1),(lim),(yxFFyx.,),(),0,(),(),0(),(3o也也右右连连续续关关于于右右连连续续关关于于即即yxyxFyxFyxFyxFyxF
5、,0),(lim),(yxFFyx,),(),(421212211oyyxxyxyx 对对于于任任意意.0),(),(),(),(21111222 yxFyxFyxFyxF有有 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有所取的可能值是有限对或无限可列多对限对或无限可列多对,则称则称(X,Y)为二维离散型为二维离散型随机变量随机变量.二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量 1.定义定义 2.二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律 .,),(,2,1,2,1,),(),(的联合分布律的联合分布律和和或随机变量或随机变量的分布律的分布律变量变量称此为二维离散型随机称此
6、为二维离散型随机记记值为值为所有可能取的所有可能取的设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量YXYXjipyYxXPjiyxYXijjiji 二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为的分布律也可表示为XY 21ixxxjyyy21 12111ippp 22212ippp 21ijjjppp.1,011 ijijijpp其中其中问题：如何求（问题：如何求（X，Y）的分布律？）的分布律？（1）分别确定）分别确定X，Y的可能取值；的可能取值；（2）求每个）求每个,jiijyYxXPp 方法一：利用概率的乘法公式计算方法一：利用概率的乘法公式计算方法二：直接利用古典概率计算方法二：直接利用
7、古典概率计算.),(.1 ,4,3,2,1 的的分分布布律律试试求求整整数数值值中中等等可可能能地地取取一一在在另另一一个个随随机机变变量量取取值值四四个个整整数数中中等等可可能能地地在在设设随随机机变变量量YXXYX解解:,的取值情况是的取值情况是jYiX ,4,3,2,1 i.的正整数的正整数取不大于取不大于ij且由且由乘法公式乘法公式得得,jYiXP iXPiXjYP ,411 i,4,3,2,1 i.ij 的的分分布布律律为为于于是是),(YX例例1XY12341234418112116108112116100121161000161X，Y=0，1，2，且，且X+Y2,则则(X,Y)的
8、可能取值的可能取值),0,0(解解),1,0(),0,1(),1,1(),2,0().0,2(0,0 YXP,28328230203 抽取两支都是绿笔抽取两支都是绿笔抽取一支绿笔抽取一支绿笔,一支红笔一支红笔例例2 从一个装有从一个装有3支蓝色、支蓝色、2支红色、支红色、3支绿色支绿色圆珠笔的盒子里圆珠笔的盒子里,随机抽取两支随机抽取两支,若若 X、Y 分别分别表示抽出的蓝笔数和红笔数表示抽出的蓝笔数和红笔数,求求(X,Y)的分布律的分布律.1,0 YXP,14328131203 2,0 YXP0,1 YXP0,2 YXP1,1 YXP,14328031213 ,28128032203 ,28
9、928130213 .28328030223 故所求分布律为故所求分布律为XY210283289283143143028100012,),(xxyyijijpyxF说明说明离散型随机变量离散型随机变量(X,Y)的分布函数归纳为的分布函数归纳为.,求和求和的的其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足jiyyxxji .,),(),(,),(,dd),(),(,),(),(),(的联合概率密度的联合概率密度和和机变量机变量或称为随或称为随的概率密度的概率密度称为二维随机变量称为二维随机变量函数函数量量是连续型的二维随机变是连续型的二维随机变则称则称有有使对于任意使对于任意如果存在非负的函数如果存在
10、非负的函数的分布函数的分布函数对于二维随机变量对于二维随机变量YXYXyxfYXvuvufyxFyxyxfyxFYXyx 1.定义定义 三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量.1),(dd),()2(Fyxyxf.dd),(),(GyxyxfGYXP.0),()1(yxf2.性质性质内的概率为内的概率为落在落在点点平面上的一个区域平面上的一个区域是是设设GYXxoyG),(,)3(.),(),(,),(),()4(2yxfyxyxFyxyxf 则有则有连续连续在在若若推广推广 n 维随机变量的概念维随机变量的概念.),(,),(,),(),(,212211维随机变量维随机变量维随机向量或
11、维随机向量或叫做叫做维向量维向量由它们构成的一个由它们构成的一个上的随机变量上的随机变量是定义在是定义在设设它的样本空间是它的样本空间是是一个随机试验是一个随机试验设设nnXXXnSeXXeXXeXXSEnnn 定义定义 元函数元函数个实数个实数对于任意对于任意nxxxnn,21,),(221121nnnxXxXxXPxxxF .),(21联合分布函数联合分布函数的的称为随机变量称为随机变量nXXX二、离散型随机变量的边缘分布律二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布三、连续型随机变量的边缘分布一、边缘分布函数一、边缘分布函数 第二节第二节 边缘分布边缘分布(,),X YX
12、Y对于二维随机变量随机变量 和 各自的(,)X YXY分布函数称为关于 和 的边缘分布函数(),()XYFx Fy记为(,)(,)X YF x y若二维随机变量的分布函数已知，则一、边缘分布函数一、边缘分布函数.,),(yYxXPyxF ),(limyxFy)(xFX,YxXP),(xFxXP 同理同理),(lim)(yxFyFxY),(yF (),()(,)XYFx FyX Y故边缘分布函数可由的分布函数所确定.),(),2,1(),2,1(,2,1,2,1,.,2,1,),(11的的边边缘缘分分布布律律和和关关于于关关于于为为和和分分别别称称记记律律为为的的联联合合分分布布设设二二维维离离
13、散散型型随随机机变变量量YXYXjpipjyYPppixXPppjipyYxXPYXjijiijjijijiijji 定定义义二、离散型随机变量的边缘分布律二、离散型随机变量的边缘分布律 ;,2,1,1 ipxXPjiji.,2,1,1 jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21补例补例1 1 已知下列联合分布律求其边缘分布律已知下列联合分布律求其边缘分布律.XY107210727271XY1010iixXPp jjyYPp 解解 74731747372727271(,)XYX Y和 的边缘分布律可由的分布律确定把两封信随机地投入已经编
14、好号的把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内个邮筒内,设设.),(,2,1,的分布律及边缘分布律求个邮筒内信的数目分别表示投入第YXYX.2,1,0,各各自自的的取取值值为为YX2110,039P XY2220,139P XY2110,239P XY2221,139P XY1,0,2,0P XYP XY可由对称性求得可由对称性求得再由古典概率计算得再由古典概率计算得：补例补例2解解2 YX且且919494910091294092921949192910210 ijppXY所有计算结果列表如下：(X,Y)关于Y的边缘分布律(X,Y)关于X的边缘分布律4222211161,1381P XY 12
15、3将只红球和只白球随机地投入已经编好号的将只红球和只白球随机地投入已经编好号的3 3个盒子内红球的数目，个盒子内红球的数目，表示落入第表示落入第设设个盒子中去个盒子中去1,X.),(,2的的分分布布律律及及边边缘缘分分布布律律求求个个盒盒子子内内白白球球的的数数目目表表示示落落入入第第YXY补例补例3解解.2,1,0,各各自自的的取取值值为为YX类似地计算出其他结果类似地计算出其他结果：比较发现，补例比较发现，补例2 2与补例与补例3 3两者有完全相同的边缘分布，两者有完全相同的边缘分布，而联合分布却是不相同的而联合分布却是不相同的9194949181181481429481481168116
16、194814811681160210 ijppXY注意注意联合分布联合分布边缘分布边缘分布.,.)(,)(.10,3,2,1并求边缘分布律并求边缘分布律的联合分布律的联合分布律和和试写出试写出的素数的个数的素数的个数是能整除是能整除的正整数的个数的正整数的个数是能整除是能整除设设一个值一个值十个值中取十个值中取等可能地在等可能地在一整数一整数FDNNFFNNDDN 解解1098765432112232424340111121112例例1:布布律律的的联联合合分分布布律律与与边边缘缘分分和和由由此此得得FD样本点样本点DFDkp4321101104102103Fkp210101107102432
17、11010000104102101000102DFjFP 101107102iDP 1011041021031或将边缘分布律表示为或将边缘分布律表示为012.),(,d),()(,dd),(),()(),(),(的边缘概率密度的边缘概率密度关于关于称其为随机变量称其为随机变量记记由于由于密度为密度为设它的概率设它的概率对于连续型随机变量对于连续型随机变量XYXyyxfxfxyyxfxFxFyxfYXXxX 定定义义三、连续型随机变量的边缘分布三、连续型随机变量的边缘分布同理可得同理可得 Y 的边缘分布函数的边缘分布函数.d),()(xyxfyfYY 的边缘概率密度的边缘概率密度.,dd),()
18、,()(yYyxyxfyFyF.)(),(.,0,6),(2yfxfxyxyxfYXYX求边缘概率密度求边缘概率密度其他其他具有联合概率密度具有联合概率密度和和设随机变量设随机变量 解解yyxfxfXd),()(,10时时当当 xxy 2xy Oxy)1,1(yyxfxfXd),()(xxy2d6例例2 2,10时时或或当当 xx.0d),()(yyxfxfX).(62xx .,0,10),(6)(2其他其他因而得因而得xxxxfXxy 2xy Oxy)1,1(,10时时当当 yxyxfyfYd),()(,10时时或或当当 yy.0d),()(xyxfyfY .,0,10),(6)(其他其他得
19、得yyyyfY yyxd6).(6yy xy 2xy Oxy)1,1(的的概概率率密密度度为为设设二二维维随随机机变变量量),(YX 2222212121212221)()(2)()1(21exp121),(yyxxyxf.的的边边缘缘概概率率密密度度试试求求二二维维正正态态随随机机变变量量,yx.11,0,0,212121 且且都是常数都是常数其中其中例例3解解,d),()(yyxfxfX 由于由于21212222)(2)(yxy ,)(2121221122xxy 于是于是,dee121)(112202121)1(212)(221yxfxyxX ,1111222 xyt令令则有则有,dee2
20、1)(22)(122121txftxX .,e21)(21212)(1 xxfxX即即同理可得同理可得二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,.并且都不依赖于参数并且都不依赖于参数.,e21)(22222)(2 yyfyY一、离散型随机变量的条件分布一、离散型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布第三节第三节 条件分布条件分布问题问题一、离散型随机变量的条件分布一、离散型随机变量的条件分布 .,他他们们都都有有自自己己的的分分布布机机变变量量都都是是随随和和则则记记此此人人的的体体重重和和身身高高和和用用分分别别
21、从从其其中中随随机机挑挑选选一一个个人人考考虑虑一一大大群群人人YXYX.,m6.1m5.1分布分布的的在这个限制下求在这个限制下求到到取值从取值从现在如果限制现在如果限制XY.,2,1,0,),(的的条条件件分分布布律律条条件件下下随随机机变变量量为为在在则则称称若若的的对对于于固固定定是是二二维维离离散散型型随随机机变变量量设设XyYippyYPyYxXPyYxXPyYPjYXjjijjjijij .,2,1,0,的条件分布律的条件分布律条件下随机变量条件下随机变量为在为在则称则称若若对于固定的对于固定的YxXjppxXPyYxXPxXyYPxXPiiiijijiiji 定义定义条件分布律
22、实际上就是由条件概率得到的。条件分布律实际上就是由条件概率得到的。XY3210010.0020.0030.0840.0002.0008.0010.0060.0001.0004.0005.0010.0210900.0080.0020.0013.0032.0045.0910.0000.1iXP jYP:),(.,.2,3.,具有分布律具有分布律资料知资料知据积累的据积累的数目数目表示焊点焊接得不良的表示焊点焊接得不良的以以目目数数表示螺栓紧固得不良的表示螺栓紧固得不良的以以处焊点处焊点焊接焊接其二是其二是只螺栓只螺栓其一是紧固其一是紧固由机器人完成的由机器人完成的一辆汽车有两道工序是一辆汽车有两道
23、工序是在一汽车工厂中在一汽车工厂中YXYX例例1.,0)2(;,1)1(的条件分布律的条件分布律的条件下的条件下求在求在的条件分布律的条件分布律的条件下的条件下求在求在XYYX 解解10,110 XPYXPXYP,045.0030.0 11,111 XPYXPXYP,045.0010.0 12,112 XPYXPXYP,045.0005.0 由上述分布律的表格可得由上述分布律的表格可得的条件分布律为的条件分布律为的条件下的条件下即在即在YX,1 kY 1 XkYP210919296的条件分布律为的条件分布律为的条件下的条件下同理可得在同理可得在XY,0 kX 0 YkXP32109019029
24、039084例例2 一射手进行射击一射手进行射击,击中目标的概率为击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止射击到击中目标两次为止.设以设以X 表示首次击中目表示首次击中目标所进行的射击次数标所进行的射击次数,以以Y 表示总共进行的的射击表示总共进行的的射击次数次数.试求试求 X 和和 Y 的联合分布律及条件分布律的联合分布律及条件分布律.解解有有时时取取且且取取由题意知由题意知,nYmX)1()1()1(,pppppnYmXP 个个)2(n的联合分布律为的联合分布律为和和即得即得YX,22 nqpnYmXP.1,2,1;,3,2,1 nmnpq其中其中现在求条件分布律现在求条件分布
25、律由于由于 1,mnnYmXPmXP 122mnnqp 122mnnqpqqpm 112,1 mpq,2,1 m 11,nmnYmXPnYP 1122nmnqp,)1(22 nqpn.,3,2 n,nYmXP ,mXnYP ,3,2时时所以当所以当 n2222)1(nnqpnqp,nYPnYmXP ,11 n,1,2,1时时当当 nm,mXPnYmXP 122 mnqpqp,1 mnpq.,2,1 mmnnYmXP mXnYP .)(),()(,)(),(,0)(,).(),(),(),(yfyxfyxfXyYyfyxfyfyyfYYXyxfYXYYYYYX 记为记为的条件概率密度的条件概率密
26、度的条件下的条件下为在为在则称则称对于固定的对于固定的若若的边缘概率密度为的边缘概率密度为关于关于的概率密度为的概率密度为设二维随机变量设二维随机变量定义定义二、连续型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布.)(),()(,)(),(,0)(,).(),(),(),(xfyxfxyfYxXxfyxfxfxxfXYXyxfYXXXXXXY 记记为为的的条条件件概概率率密密度度的的条条件件下下为为在在则则称称对对于于固固定定的的若若的的边边缘缘概概率率密密度度为为关关于于的的概概率率密密度度为为设设二二维维随随机机变变量量类似的定义类似的定义).(,1),(.,0,),(,1),(),(.
27、,22yxfyxYXGyxAyxfYXAGYX件概率密度件概率密度求条求条上服从均匀分布上服从均匀分布在圆域在圆域设设其它其它具有概率密度具有概率密度维随机变量维随机变量若二若二其面积为其面积为是平面上的有界区域是平面上的有界区域设设 解解的的概概率率密密度度为为由由题题意意知知随随机机变变量量),(YX ,0,1,1),(22其它其它yxyxf例例3又知边缘概率密度为又知边缘概率密度为 xyxfyfYd),()(.,0,11,12d121122其他其他yyxyy有有时时于是当于是当,11 y .,0,11,1211)2(1)(2222其其他他yxyyyyxfYX).(.)1,(,)10(,)
28、1,0(yfYxYxxXXY的的概概率率密密度度求求值值上上随随机机地地取取在在区区间间数数时时当当观观察察到到上上随随机机地地取取值值在在区区间间设设数数 解解具具有有概概率率密密度度由由题题意意知知 X .,0,10,1)(其它其它xxfX),10(xx对于任意给定的值对于任意给定的值,的条件下的条件下在在xX 的条件概率密度为的条件概率密度为Y .,0,10,11)(其它其它yxxxyfXY例例4的联合概率密度为的联合概率密度为和和因此因此YX)()(),(xfxyfyxfXXY .,0,10,11其它其它yxx的边缘概率密度的边缘概率密度故得故得 YxyxfyfYd),()(.,0,1
29、0),1ln(d110其它其它yyyxx作业作业 第三章第三章 习题习题 第84页开始第2,3,5题一、随机变量的相互独立性一、随机变量的相互独立性二、二维随机变量的推广二、二维随机变量的推广第四节第四节 相互独立的随机变量相互独立的随机变量.),()(),(,.),()(),(),(的的相相互互独独立立是是和和则则称称随随机机变变量量即即有有若若对对于于所所有有函函数数的的分分布布函函数数及及边边缘缘分分布布量量分分别别是是二二维维随随机机变变及及设设YXyFxFyxFyYPxXPyYxXPyxYXyFxFyxFYXYX 一、随机变量的相互独立性一、随机变量的相互独立性1.定义定义 这里是利
30、用两个事件相互独立的概念这里是利用两个事件相互独立的概念引出两个随机变量相互独立的概念。引出两个随机变量相互独立的概念。相相互互独独立立和和 YX2.说明说明 (1)若离散型随机变量若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为.,2,1,jipyYxXPijji,2,1,jipppjiij即即,jijiyYPxXPyYxXP ),(),(iiyxYX取取值值的的所所有有可可能能对对于于的).()(),(yfxfyxfYX 则则相互独立相互独立和和,)3(YX相互独立相互独立和和YX则则有有边边缘缘概概率率密密度度分分别别为为的的联联合合概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变
31、量量),(),(),(),()2(yfxfyxfYXYX.)()(也相互独立也相互独立和和YgXf随机变量相互独立随机变量相互独立联合分布等于边缘分布的乘积联合分布等于边缘分布的乘积注注问题问题（1）如何判断两个随机变量是否相互独立？）如何判断两个随机变量是否相互独立？见书见书P73（2）如何由相互独立的随机变量的边缘分布）如何由相互独立的随机变量的边缘分布求它们的联合分布？求它们的联合分布？注意注意联合分布联合分布边缘分布边缘分布独立性独立性+因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,解解所以所以求随机变量求随机变量(X,Y)的分布律的分布律.补例补例1 1 设两个独立的随机变量设两个独立的
32、随机变量 X 与与Y 的分布律为的分布律为XXP317.03.0YYP424.06.0.,jijiyYPxXPyYxXP 4 14,1 YPXPYXP4.03.0 ,12.0 2 12,1 YPXPYXP6.03.0 ,18.0 232,3 YPXPYXP6.07.0 ,42.0 434,3 YPXPYXP4.07.0 .28.0 的联合分布律为的联合分布律为因此因此),(YXYX421318.012.042.028.0注意注意联合分布律联合分布律求行和、列和求行和、列和边缘分布律边缘分布律独立性独立性+.),(,),(,2的的联联合合概概率率密密度度求求上上服服从从均均匀匀分分布布在在服服从
33、从并并且且相相互互独独立立和和设设随随机机变变量量YXbbYaNXYX;,e21)(222)(xxfaxX又又)()(),(yfxfyxfYX 所所以以解解由于由于X 与与Y 相互独立相互独立,补例补例2 .,0,21)(其他其他bybbyfY,e2121),(222)(axbyxf 得得.0),(,yxfby时时当当.,bybx 其其中中),(YXijp)1,1()2,1()3,1()1,2()2,2()3,2(619118131 解解的的分分布布律律改改写写为为将将),(YX补例补例3的的分分布布律律为为已已知知),(YX.,(2);)1(的值的值与与求求相互独立相互独立与与若若应满足的条
34、件应满足的条件与与求求 YX(1)由分布律的性质知由分布律的性质知,0,0 ,132 .310,0:且且应应满满足足的的条条件件是是与与故故XY32112619118131 iixXPp 31 31jjyYPp 21 91 181 32)3,2,1;2,1(,jipppjiij特别有特别有2112 ppp 913191,92 又又,31 .91 得得(2)因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,所以有所以有.,21为任意实数为任意实数其中其中nxxx二、二维随机变量的推广二、二维随机变量的推广,),(221121nnnxXxXxXPxxxF 1.分布函数分布函数的分布函数的分布函数维随机变量
35、维随机变量),(21nXXXn有有实数实数使对于任意使对于任意若存在非负函数若存在非负函数nnxxxxxxf,),(2121.),(),(2121度度函函数数的的概概率率密密为为则则称称nnXXXxxxf nnxxxnnnxxxxxxfxxxF11,ddd),(),(2121212.概率密度函数概率密度函数.),(121分布函数分布函数边缘边缘的的关于关于维随机变量维随机变量称为称为XXXXnn.),(),(2121边缘分布函数边缘分布函数的的关于关于维随机变量维随机变量称为称为XXXXXnn 其它依次类推其它依次类推.),()(111 xFxFX),(),(2121,21 xxFxxFXX3
36、.边缘分布函数边缘分布函数边缘概率密度分别为边缘概率密度分别为的的关于关于关于关于则则),(,),(21121XXXXXXn.)1(),(21率密度率密度维边缘概维边缘概的的同理可得同理可得nkkXXXn ,),(),(2121密度密度的概率的概率是是若若nnXXXxxxf,ddd),()(322111nnXxxxxxxfxf .ddd),(),(432121,21nnXXxxxxxxfxxf 4.边缘概率密度函数边缘概率密度函数5.相互独立性相互独立性有有若对于所有的若对于所有的nxxx,21.,21是相互独立的是相互独立的则称则称nXXX有有若对于所有的若对于所有的nmyyyxxx,212
37、1),()()(),(212121nXXXnxFxFxFxxxFn),(),(),(2122112121nmnmyyyFxxxFyyyxxxF,),(),(),(,2121212121的分布函数的分布函数和和依次为随机变量依次为随机变量其中其中nmnmYYYXXXYYYXXXFFF.),(),(11相互独立相互独立与与则称随机变量则称随机变量nmYYXX设设 相互独立相互独立，nXXX,21若均为离散型若均为离散型r.v.，则它们的联合分布律为，则它们的联合分布律为)()()(),(22112211nnnnxXPxXPxXPxXxXxXP 若均为连续型若均为连续型r.v.，则它们的联合概率密度
38、函数为，则它们的联合概率密度函数为)()()(),(212121nXXXnxfxfxfxxxfn.),(),(,.),2,1(),2,1(,),(),(21212121相互独立相互独立和和则则是连续函数是连续函数若若又又相互独立相互独立和和则则立立相互独相互独和和设设nmjinmYYYgXXXhghnjYmXYYYXXX 定理定理6.重要结论重要结论二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布一、问题的引入一、问题的引入第五节两个随机变量的函数的分布第五节两个随机变量的函数的分布.,),(,的分布的分布分布确定分布确定的的如何通过如何通过的函数关系的函数关系与与并且已知并且已知表示
39、该人的血压表示该人的血压年龄和体重年龄和体重分别表示一个人的分别表示一个人的和和令令有一大群人有一大群人ZYXYXgZYXZZYX 为了解决类似的问题下面为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布我们讨论随机变量函数的分布.一、问题的引入一、问题的引入二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布 XY012 1 21312312112101211221220122的的分分布布律律为为设设随随机机变变量量),(YX例例1.)2(,)1(的分布律的分布律求求YXYX 概率概率),(YX)2,1(121)1,1(121)0,1(123 221,122 121,121)2,3(122
40、)0,3(122XY012 1 21312312112101211221220122解解等价于等价于概率概率),(YX)2,1(121)1,1(121)0,1(123 2,21122 1,21121)2,3(122)0,3(122YX 3 2 1 23 21 13YX 101252353YX P3 2 1 23 21 13121121123122121122122YX P01252353124121122121122122的分布律分别为的分布律分别为所以所以YXYX ,结论结论的的联联合合分分布布律律为为若若二二维维离离散散型型随随机机变变量量,2,1,jipyYxXPijji的分布律为的分布
41、律为则随机变量函数则随机变量函数),(YXgZ ),(kkzYXgPzZP .,2,1 ,)(kpjikyxgzij例例2 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与 Y 的分布律为的分布律为XXP317.03.0YYP424.06.0求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的分布律的分布律.,jijiyYPxXPyYxXP 得得YX421318.012.042.028.0因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,所以所以解解可得可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18.012.042.028.0YXZ 3557所以所以YXZ P35718.054.028.0YX4213
42、18.012.042.028.0例例3 设相互独立的两个随机变量设相互独立的两个随机变量 X,Y 具有同一具有同一分布律分布律,且且 X 的分布律为的分布律为XP105.05.0.),max(:的的分分布布律律试试求求YXZ ,jYPiXPjYiXP 所以所以于是于是XY1010221221221221解解,相互独立相互独立与与因为因为YX),max(iYXP,iYiXP ,iYiXP 0),max(YXP0,0P,212 1),max(YXP1,11,00,1PPP 222212121 .232 的的分分布布律律为为故故),max(YXZ ZP104341XY1010221221221221
43、一、重点与难点一、重点与难点二、主要内容二、主要内容三、典型例题三、典型例题第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布习习 题题 课课一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点二维离散型随机变量的分布二维离散型随机变量的分布（联合分布律、边缘分布律、条件分布律）（联合分布律、边缘分布律、条件分布律）随机变量的独立性随机变量的独立性2.难点难点二维随机变量的分布之间的关系二维随机变量的分布之间的关系二维离散型随机变量的函数的分布律二维离散型随机变量的函数的分布律定定 义义联联 合合 分分 布布 函函 数数 联联 合合 分分 布布 律律 联联 合合 概概 率率 密密 度度边边 缘缘 分分
44、布布条条 件件 分分 布布两两 个个 随随 机机 变变 量量 的的 函函 数数 的的 分分 布布随随 机机 变变 量量 的的 相相 互互 独独 立立 性性定定义义性性质质二二维维随随机机变变量量推推 广广二、主要内容二、主要内容.),(,)()(,或二维随机变量或二维随机变量叫作二维随机向量叫作二维随机向量由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量上的随机变量上的随机变量是定义在是定义在和和设设它的样本空间是它的样本空间是是一个随机试验是一个随机试验设设YXSeYYeXXeSE 二维随机变量二维随机变量e)(eY S)(eX(1)定义定义 .,),(,)()(),(:,),(的联合分布函数的联合
45、分布函数和和机变量机变量或称为随或称为随的分布函数的分布函数称为二维随机变量称为二维随机变量二元函数二元函数对于任意实数对于任意实数是二维随机变量是二维随机变量设设YXYXyYxXPyYxXPyxFyxYX 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数);,(),(,),(112120yxFyxFxxyyxyxF 时时当当意意固固定定的的即即对对于于任任的的不不减减函函数数和和是是变变量量).,(),(,1212yxFyxFyyx 时时当当对对于于任任意意固固定定的的,1),(020 yxF,y对对于于任任意意固固定定的的;0),(lim),(yxFyFx且有且有,x对对于于任任意意固固定定的
46、的;0),(lim),(yxFxFy;0),(lim),(yxFFyx(2)性质性质 .1),(lim),(yxFFyx.,),(),0,(),(),0(),(30也也右右连连续续关关于于右右连连续续关关于于即即yxyxFyxFyxFyxFyxF ,),(),(4212122110yyxxyxyx 对对于于任任意意.0),(),(),(),(21111222 yxFyxFyxFyxF有有.),(,)(,),(),(,212211维随机变量维随机变量维随机向量或维随机向量或叫做叫做维向量维向量由它们构成的一个由它们构成的一个上的随机变量上的随机变量在在是定义是定义设设它的样本空间是它的样本空间是
47、是一个随机试验是一个随机试验设设nnXXXnSeXXeXXeXXeSEnnn 元函数元函数个实数个实数对于任意对于任意nxxxnn,21,),(221121nnnxXxXxXPxxxF .),(21联合分布函数联合分布函数的的称为随机变量称为随机变量nXXX(3)n 维随机变量的概念维随机变量的概念.,),(,2,1,2,1,),(),(的的联联合合分分布布律律和和随随机机变变量量或或的的分分布布律律变变量量称称此此为为二二维维离离散散型型随随机机记记值值为为所所有有可可能能取取的的设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量YXYXjipyYxXPjiyxYXijjiji 二维随机变量二维随机变
48、量(X,Y)的分布律也可表示为的分布律也可表示为:二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律,),(xxyyijijpyxF离散型随机变量离散型随机变量(X,Y)的分布函数为的分布函数为.,求求和和的的其其中中和和式式是是对对一一切切满满足足jiyyxxji XY 21ixxxjyyy21 12111ippp 22212ippp 21ijjjppp.,),(),(,),(,dd),(),(,),(),(),(的联合概率密度的联合概率密度和和变量变量或称为随机或称为随机的概率密度的概率密度称为二维随机变量称为二维随机变量函数函数量量是连续型的二维随机变是连续型的二维随机变则称则称有有使
49、对于任意使对于任意如果存在非负的函数如果存在非负的函数的分布函数的分布函数对于二维随机变量对于二维随机变量YXYXyxfYXvuvufyxFyxyxfyxFYXyx 二维连续型随机变量的概率密度二维连续型随机变量的概率密度(1)定义定义 .1),(dd),(20 Fyxyxf.dd),(),(GyxyxfGYXP.0),(10 yxf(2)性质性质 ).,(),(,),(),(320yxfyxyxFyxyxf 则有则有连续连续在在若若的概率是的概率是内内落在落在点点平面上的一个区域平面上的一个区域是是设设GYXxoyG),(,40表示介于表示介于 f(x,y)和和 xoy 平面之间的空间区域的
50、全平面之间的空间区域的全部体积等于部体积等于1.,dd),(),(GyxyxfGYXP1dd),(yxyxf.),(,),(为顶面的柱体体积为顶面的柱体体积以曲面以曲面为底为底的值等于以的值等于以yxfzGGYXP .),(,表示空间的一个曲面表示空间的一个曲面几何上几何上yxfz (3)说明说明 .,0,),(,1),(其他其他DyxSyxf(4)两个常用的分布两个常用的分布设设 D 是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积为其面积为 S,若二若二维随机变量维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度则称则称(X,Y)在在D上服从均匀分布上服从均匀分布.221121),(yxf ,11,
