1、通通 信信 原原 理理 电电 子子 教教 案案第第 3 3 章章 随机过程随机过程西西 北北 工工 业业 大大 学学2009.3第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-72第第 3 3 章章 随机过程随机过程本章是本书的重要数学基础。本章是本书的重要数学基础。研究内容：研究内容：3.0 3.0 引言引言 3.1 3.1 随机过程的一般描述随机过程的一般描述 3.2 3.2 平稳随机过程平稳随机过程 3.3 3.3 高斯随机过程高斯随机过程 3.4 3.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统 3.5 3.5 窄带随机过程窄带随机过程 3.6 3.6 正弦波加窄带随机
2、过程正弦波加窄带随机过程 3.7 3.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-733.0 引言引言 通信过程是通信过程是信号和噪声信号和噪声通过通过通信系统通信系统的过程，分析与研究的过程，分析与研究通信系统，总是离不开对信号和噪声的分析。通信系统，总是离不开对信号和噪声的分析。随机信号：随机信号：通信系统中的信号通常总带某种随机性。不通信系统中的信号通常总带某种随机性。不可预测，不能用确定函数表示的信号。可预测，不能用确定函数表示的信号。随机噪声：随机噪声：通信系统必然遇到噪声。不可预测（热噪声）。通信系统必然遇到噪声。不可预测
3、（热噪声）。简称噪声。简称噪声。随机过程：随机过程：从统计学的观点看，随机信号和随机噪声均从统计学的观点看，随机信号和随机噪声均可表示为随机过程。可表示为随机过程。定义：随机过程定义：随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。确切的时间函数描述。统计学中的有关统计学中的有关随机过程的理论随机过程的理论可以运用到随机信号和噪可以运用到随机信号和噪声分析中来。声分析中来。第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-743.1 3.1 随机过程的一般描述随机过程的一般描述3.1.0 3.1.0 基本概念基本概念考察：考察：假设
4、假设有有n台性能相同的接收机，在同样条件下不加信号测试台性能相同的接收机，在同样条件下不加信号测试其输出。（其输出。（n-足够大的正整数）足够大的正整数）得到得到一系列噪声波形一系列噪声波形1(t)、2(t)、3(t)、.、n(t)。理想时，波形应一致，但实际不然。理想时，波形应一致，但实际不然。找不到两个完全相找不到两个完全相同的波形！同的波形！第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-75讨论：讨论：每一条曲线每一条曲线i(t)都是一个随都是一个随机起伏的时间函数机起伏的时间函数随机随机函数。函数。全部随机函数的集合全部随机函数的集合随机过程随机过程：(t)=1(t),2(t
5、),n(t)每一条曲线每一条曲线i(t)都是随机过都是随机过程的程的一个实现一个实现/样本样本为确为确定的时间函数。定的时间函数。在某一特定时刻在某一特定时刻t1观察各台接收机的输出噪声值观察各台接收机的输出噪声值(t1)，发，发现他们的值是不同的现他们的值是不同的 是一个随机量（是一个随机量（随机变量随机变量）。）。角度角度1 1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。对应不同随机试验结果的时间过程的集合。角度角度2 2：随机过程是随机过程是随机变量随机变量概念的延伸。概念的延伸。第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-76讨论：讨论：在任一给定时刻在任一给定时刻t1上，每一
6、个样本函数上，每一个样本函数 i(t)都是一个确定的都是一个确定的数值数值 i(t1)，但是每个但是每个 i(t1)都是不可预知的为随机量都是不可预知的为随机量。换句话说，换句话说，随机过程在任意时刻随机过程在任意时刻t1的值的值(t1)是一个是一个随机变量随机变量。因此，又可以把因此，又可以把随机过程随机过程看作看作是是在时间进程中处于不同时在时间进程中处于不同时刻的刻的随机变量的集合随机变量的集合。角度角度1 1：对应不同随机试验对应不同随机试验结果的时间过程的集合。结果的时间过程的集合。角度角度2 2：随机过程是随机变随机过程是随机变量概念的延伸。量概念的延伸。第第3 3章章 随机过程随
7、机过程通信原理2022-12-77概括：概括：随机过程随机过程(t)的含义属性的含义属性有两点：有两点：（1）(t)是是t 的函数；的函数；（2）(t)在任一时刻在任一时刻 t1上的取值上的取值(t1)不是确定的，是一个不是确定的，是一个随机变量随机变量。即每个时刻上的函数值是按照一定的概率分布。即每个时刻上的函数值是按照一定的概率分布的。的。概率论：随机变量分析概率论：随机变量分析分布函数分布函数和和概率密度概率密度研究内容研究内容随机过程统计特征：随机过程统计特征：3.1.1 随机过程的分布函数随机过程的分布函数 3.1.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征第第3 3章章 随机过程随机
8、过程通信原理2022-12-783.1.1 3.1.1 随机过程随机过程的分布函数的分布函数设设 (t)表示一个随机过程，它在任意时刻表示一个随机过程，它在任意时刻t1的值的值 (t1)是一个随是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。（1 1）随机过程）随机过程 (t)的一维描述的一维描述一维分布函数一维分布函数11111(,)()F x tPtx一维概率密度函数一维概率密度函数1111111),(),(xtxFtxf若上式中的偏导存在的话。若上式中的偏导存在的话。第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12
9、-79（2 2）随机过程）随机过程 (t)的二维描述的二维描述若随机过程若随机过程(t)在时刻在时刻 t1 的取值是随机变量的取值是随机变量(t1)，时刻，时刻t2的取的取值是随机变量值是随机变量(t2)，则，则(t2)与与(t2)构成一个二元随机变量构成一个二元随机变量(t1),(t2)。二维分布函数二维分布函数221121212)(,)(),;,(xtxtPttxxF二维概率密度函数二维概率密度函数若上式中的偏导存在的话。若上式中的偏导存在的话。2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxf第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-710（3 3）随机
10、过程）随机过程 (t)的的多多维描述维描述n维分布函数维分布函数 n维概率密度函数维概率密度函数nnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,)(,)(),;,(221121211212121212()()nnnnnnnnF xxxtttf xxxtttx xx，；，；，第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-711目的目的/意义：意义：可以把随机过程可以把随机过程(t)当作一个多元的随机变量来看待，而当作一个多元的随机变量来看待，而用这个多元随机变量用这个多元随机变量(t1)，(t2)，.，(tn)的分布函数或概的分布函数或概率密度来描述随机过程的统计特性。率密度来描述随机过程
11、的统计特性。显然，显然，n 越大，对随机过程的描述越充分。越大，对随机过程的描述越充分。统计独立统计独立:对于任何对于任何n个随机变量个随机变量(t1)，(t2)，.，(tn)，如果下式成立，如果下式成立 fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn）=f1（x1，t1）f2（x2，t2）.fn（xn，tn）则称这些变量是则称这些变量是统计独立的统计独立的，否则就是，否则就是不独立的不独立的或或相相关的。关的。第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-7123.1.2 3.1.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征引言引言 问题：问题：随机过程的分布函数（或概率密度）族能够
12、完善随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善 地刻画随机过程的统计特性。但地刻画随机过程的统计特性。但实际中：难；不必实际中：难；不必。措施：措施：用随机过程的用随机过程的数字特征数字特征来描绘随机过程的统计特性，来描绘随机过程的统计特性，更简单方便。更简单方便。方法：方法：求随机过程数字特征的方法有求随机过程数字特征的方法有“统计平均统计平均”和和“时时间平均间平均”两种。两种。统计平均统计平均:对随机过程对随机过程(t)某一特定时刻不同实现的可能某一特定时刻不同实现的可能取值取值(ti)随机变量随机变量，用，用统计方法统计方法得出的种种平均值叫统得出的种种平均值叫统计平均。计平均。时间平
13、均时间平均:对随机过程对随机过程(t)的某一的某一特定实现特定实现i(t)，用数学分，用数学分析方法析方法对时间求平均对时间求平均得出的种种平均值叫时间平均。得出的种种平均值叫时间平均。第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-713dxtxxftE),()(1111111),()(dxtxfxtE随机过程在任意给定时刻随机过程在任意给定时刻t的均值。的均值。1.1.均值（数学期望）均值（数学期望）随机过程随机过程(t)在任意给定时刻在任意给定时刻t1的取值的取值 (t1)是一个随机变量，是一个随机变量，其其均值均值式中式中 f(x1,t1)(t1)的概率密度函数。的概率密度函数
14、。由于由于t1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把 t1 直接写为直接写为t，x1改为改为x，这样，这样第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-714a(t)1()()()Etxf xt dxa t 记为，(t)的均值是时间的确定函数的均值是时间的确定函数，常记作，常记作a(t)，它表示随机过程，它表示随机过程的的n个样本函数曲线的个样本函数曲线的摆动中心摆动中心：第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-7152.2.方差方差2()()()DtEta t 2222222212()2()=()()(,)()D tE ta t tatE ta t E tatE
15、tatx fx t dxa t 均方值均方值均值平方均值平方方差常记为方差常记为 2(t)。这里也把任意时刻。这里也把任意时刻t1直接写成了直接写成了t。因为因为所以，所以，方差等于均方值与均值平方之差方差等于均方值与均值平方之差，它，它表示随机过程在时表示随机过程在时刻刻 t 相对于均值相对于均值a(t)的偏离程度的偏离程度。第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-7163.3.协方差与相关函数协方差与相关函数 (t)不同时刻取值之间的相互关系不同时刻取值之间的相互关系假定：假定：(t1)和和(t2)分别是在分别是在t1和和t2时刻观测得到的时刻观测得到的随机变量随机变量。（
16、1 1）相关函数）相关函数同一随机过程的相关程度同一随机过程的相关程度f2(x1,x2;t1,t2)(t)的二维概率密度函数。的二维概率密度函数。可以看出，可以看出，R(t1,t2)是两个变量是两个变量t1和和t2的确定函数。的确定函数。R(t,)（2 2）协方差函数）协方差函数1212122121212()()()(,;)R ttEttx x fx x ttdx dx,12112211222121212()()()()()()()()B ttEta tta txa txa tfxxtt dx dx，；，第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-717)()(),(),(2121
17、21tatattRttB1212(,)()()RttEtt相关函数和协方差函数之间的关系：相关函数和协方差函数之间的关系：1212()()()R ttEtt,121122(,)()()()()B t tEta tta t特别：特别：若若a(t1)或或 a(t2)为为0，则，则 B(t1,t2)=R(t1,t2)4.互相关函数互相关函数两个随机过程的相关程度两个随机过程的相关程度1212(,)()()0Rt tEtt(t)和和(t)是不相关的是不相关的-正交的随机过程。正交的随机过程。统计独立的两个随机过程是统计独立的两个随机过程是不相关的。不相关的。式中式中(t)和和(t)分别表示两个随机过程
18、。分别表示两个随机过程。相应地：相应地：R(t1,t2)称为称为自相关函数自相关函数。特别：特别：第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-7183.2 3.2 平稳随机过程平稳随机过程1.1.定义定义若一个随机过程若一个随机过程(t)，它的任意有限维分布或概率密度函数，它的任意有限维分布或概率密度函数与时间起点无关，即与时间起点无关，即对于任意的正整数对于任意的正整数n和所有实数和所有实数，有，有则称则称(t)是是严严格意义下的格意义下的平稳随机过程平稳随机过程或或狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程。),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；第第3 3
19、章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-7192.2.性质性质该定义表明：该定义表明：平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间一维分布函数与时间t无关：无关：3.数字特征数字特征),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxfadxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR 而二维分布函数只与时间间隔而二维分布函数只与时间间隔 =t2 t1有关：有
20、关：可见可见：（：（1）其均值与其均值与t无关，为常数无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔自相关函数只与时间间隔 有关。有关。第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-720严平稳随机过程的数字特征：严平稳随机过程的数字特征：（1）其均值与其均值与t无关，为常数无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔自相关函数只与时间间隔 有关。有关。4.4.广义平稳随机过程广义平稳随机过程 把同时满足（把同时满足（1）和（）和（2）的过程定义为）的过程定义为广义平稳随机过程广义平稳随机过程。意义：意义：具有具有各态历经性各态历经性平稳随机过程平稳随机过程十分有趣，非常有用十分有趣，
21、非常有用。通信系统中所遇到的信号与噪声，大多数可视为平稳、具通信系统中所遇到的信号与噪声，大多数可视为平稳、具有各态历经性的随机过程。有各态历经性的随机过程。第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-7213.2.2 3.2.2 各态历经性各态历经性问题的提出问题的提出 随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本。的样本。问题：问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平来
22、决定平稳过程的数字特征呢稳过程的数字特征呢?回答是肯定的回答是肯定的：平稳过程在平稳过程在满足一定的条件满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为的特性，称为“各态历经性各态历经性”（又称（又称“遍历性遍历性”）。具有）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均统计平均）完全可）完全可由随机过程中的任一实现的由随机过程中的任一实现的时间平均值时间平均值来代替。来代替。条件？条件？第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-722各态历经性条件各态历经性条件设：设：i(t)是平稳过程是平稳过程(t)的任意一次
23、实现（样本），则其的任意一次实现（样本），则其时间时间均值均值和和时间相关函数时间相关函数分别定义为：分别定义为：如果平稳过程使下式成立如果平稳过程使下式成立/2/2/2/21()lim()1()()()lim()()TiiTTTiiiiTTatt dtTRttttdtT)()(RRaa则称该平稳过程具有各态历经性。则称该平稳过程具有各态历经性。第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-723“各态历经各态历经”的含义的含义：随机过程中的任何一次实现都经历了随机过程的所有可随机过程中的任何一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。能状态。各态历经随机过程的特点各态历经随机过程的特点
24、好处好处 在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的只要获得一次考察，用一次实现的“时时间平均间平均”值代替过程的值代替过程的“统计平均统计平均”值即可，值即可，从而使测量从而使测量和计算的问题大为简化。和计算的问题大为简化。注：注：具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。能满足各态历经条件。第第3 3章章
25、 随机过程随机过程通信原理2022-12-724 例例3-1 设一个随机相位的正弦波为设一个随机相位的正弦波为其中，其中，A和和 c均为常数；均为常数；是在是在(0,2)内均匀分布的随机变量。内均匀分布的随机变量。试讨论试讨论(t)是否具有各态历经性。是否具有各态历经性。)cos()(tAtc202022001()()cos()2(coscossinsin)2coscossinsin02ccccca tEtAtdAttdAtdtd 【解【解】（1）先求）先求(t)的统计平均值。的统计平均值。均值：均值：与与t 无关无关第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-725 仅只与时间间
26、隔仅只与时间间隔 有关。有关。所以：所以：(t)是广义平稳过程。是广义平稳过程。自相关函数：自相关函数：0)(cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRc令令t2 t1=，得到，得到第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-726220)cos(1limTTcTdttATa222222221()limcos()cos()limcoscos(22)2cos2TccTTTTcccTTTc
27、RAtAtdtTAdttdtTA ()()aaRR结论：结论：随机相位余弦波是各态历经的。随机相位余弦波是各态历经的。（2）求）求(t)的时间平均值的时间平均值综上，有综上，有第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-7273.2.3 3.2.3 平稳过程的自相关函数平稳过程的自相关函数特别重要，因为：特别重要，因为：平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过相关函平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过相关函数来描述；数来描述；相关函数揭示了随机过程的频谱特性。相关函数揭示了随机过程的频谱特性。（1）平稳过程自相关函数的定义：）平稳过程自相关函数的定义：)()0(2tER
28、)()(RR()(0)RR22()()REta 2)()0(RR1212()(,)()()RR t tEtt（2）平稳过程自相关函数的性质）平稳过程自相关函数的性质 (t)的的平均功率平均功率 的的偶函数偶函数 R()的的上界上界，R()在在 =0有最大值。有最大值。(t)的的直流功率直流功率 (t)的的交流功率交流功率特别：特别：均值为均值为0时，有时，有 R(0)=2第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-728（3）|R()|R(0)-R()的的上界。上界。证：证：由于由于 E(t)(t+)2 0 从而从而 E(t)(t+)2 =E2(t)+2(t+)2(t)(t+)=E
29、2(t)+E2(t+)2E(t)(t+);-平稳平稳 =2R(0)2R()0 所以，得所以，得 R(0)R()即即|R()|R(0)第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-729（4）R()=E2(t)=a2-(t)的的直流功率直流功率。证：证：注：注：这里利用了当这里利用了当时时(t)与与(t+)变得变得没有没有依赖关系，依赖关系，即统计独立，且认为即统计独立，且认为(t)不不含有周期分量。含有周期分量。2()lim()lim()()()()()RREttEtEtEt 平 稳，（5）R(0)-R()=2 -方差，方差，(t)的的交流功率交流功率。证：证：由由 D(t)=E(t
30、)-a(t)2 =E2(t)-2a(t)+a2 =E2(t)-a2=R(0)-a2 得得 2=R(0)-R()第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-7303.2.4 3.2.4 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度P()相关函数相关函数R()的又一重要性质。的又一重要性质。设：设：(t)平稳，平稳，R()绝对可积绝对可积()Rd 则则在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。意义：意义：平稳随机过程的自相关函数与其功率谱
31、密度之间互为平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶关系。傅里叶关系。12jjPRedRPed简记为：简记为：)()(fPR维纳维纳-辛钦关系辛钦关系第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-731讨论：讨论：（1）对功率谱密度进行积分，可得）对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率平稳过程的总功率：dffPR)()0(从频域的角度给出了过程平均功率的计算方法。从频域的角度给出了过程平均功率的计算方法。（2）各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。的功率谱密度。也就是说，任一样本函数的谱特性都能很好也
32、就是说，任一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。地表现整个过程的的谱特性。【证【证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相关函数。关函数。12jjPRedRPed第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-732【解【解】由例由例3-1已经得知随相信号是一个平稳过程，且其已经得知随相信号是一个平稳过程，且其相关相关函数函数为为20()cos2AR 例例3-2 求随机相位余弦波求随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相关函数、的自相关函数、功率谱密度和和平均功率。功率谱密度和和平均功率。又由又由)()(PR)(
33、)(cosccc)()(2)(2ccAP2)(21)0(2AdPRS得得 功率谱密度功率谱密度 平均功率平均功率 第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-7333.3 3.3 高斯随机过程高斯随机过程 通信中最重要也是最常见的过程。通信中最重要也是最常见的过程。3.3.1 3.3.1 定义定义如果随机过程如果随机过程(t)的任意的任意n维（维（n=1,2,.=1,2,.）分布均服从正态分）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。布，则称它为正态过程或高斯过程。n维正态概率密度函数表示式维正态概率密度函数表示式见见 式（式（3.3.1）（3.3.3）特点：特点：高斯过程的
34、高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。特征就可以了。一维时：一维时：21111211()1(,)exp22xaf x t第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-7343.3.2 3.3.2 重要性质重要性质由定义可分析出由定义可分析出（1）高斯过程）高斯过程若广义平稳，则必狭义平稳若广义平稳，则必狭义平稳。（2）高斯过程中的随机变量）高斯过程中的随机变量(t1)、(t2)、(t3)、之间之间若不相若不相关关，则它
35、们也是，则它们也是统计独立统计独立的。的。fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn）f1（x1，t1）f2（x2，t2）.，fn（xn，tn）（2.5.3）（3）若干个高斯过程之和仍是高斯过程若干个高斯过程之和仍是高斯过程。从信号角度。从信号角度。（4）高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。从系统（线从系统（线性系统）角度。性系统）角度。第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-735221()()exp(2.5.4)22xafx 则称则称为服从正态分布的随机变量，为服从正态分布的随机变量，也称高斯随机变量。也称高斯随机变量。a均值均值，2
36、方差方差。3.3.3 3.3.3 高斯随机变量高斯随机变量 高斯过程在任一时刻上的取值。高斯过程在任一时刻上的取值。1.1.定义定义/概率密度函数概率密度函数 若随机变量若随机变量的概率密度函数可表示成的概率密度函数可表示成曲线：曲线：第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-736性质：性质：1）对称于直线）对称于直线x=a;2）在）在 内单调上升，内单调上升，在在 内单调下降，且内单调下降，且在在a点处达到极大值点处达到极大值;),(a),(a1()1()()2aaf x dxf x dxf x dx，3）4）a 表示分布中心，表示分布中心，表示集中的程度。表示集中的程度。一
37、定时一定时，。第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-7372.2.正态分布函数正态分布函数（1 1）一般表示式）一般表示式22222/21()exp221()ex()(p)212(2)xxx atxzadzzazaF xPxf z dzdztdzdtedt，令，则这个积分不易计算，常引入这个积分不易计算，常引入误差函数误差函数或或Q函数函数（可查表）（可查表）来表来表述。述。第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-738（3 3）用误差函数表示）用误差函数表示 正态分布函数常表示成与误差函数相联系的形式。正态分布函数常表示成与误差函数相联系的形式。1 1）误差
38、函数定义误差函数定义20()2xzerf xedzxzdzexerfxerfc22)(1)(误差函数：误差函数：互补误差函数：互补误差函数：22/221()1exp()()222xx axtzadzeF xf z dzdt附录附录B第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-7392 2）误差函数的性质）误差函数的性质误差函数是递增函数误差函数是递增函数，它具有如下性质：，它具有如下性质：()()erfxerf x()1erf ()2()erfcxerfc x0)(erfc21()1xerfc xexx，互补误差函数是递减函数互补误差函数是递减函数，它具有如下性质：，它具有如下性质
39、：202()xzerf xedzxzdzexerfxerfc22)(1)(第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-7403 3）用误差函数表示正态分布函数）用误差函数表示正态分布函数22220()()()()11()exp22211211()222xaxaxaxatFxfz dzfz dzfz dzzadzedtxaerf 20,222()xzzat dzdterf xedz1111()2222()1()22211()2xaxaerferfxcaerfcF x 或：或：第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-741（2 2）用用Q函数表示正态分布函数函数表示正态
40、分布函数 Q函数定义：函数定义：2/21()2txQ xedt22()zxerfc xedzQ函数和函数和erfc函数的关系：函数的关系：221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(Q函数和分布函数函数和分布函数F(x)的关系：的关系：112)()2(xaerfcF xQ函数值也可以从查表得到。函数值也可以从查表得到。第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-7423.4 3.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统3.4.1 3.4.1 线性系统线性系统复习复习设：线性系统的冲击响应和网络函数分别为设：线性系统的冲击响应和网
41、络函数分别为：h(t)、H()，则：则：H()h(t)。0()()*()()()iivtv th thv td周知：周知：线性系统响应线性系统响应v0(t)等于输入信号等于输入信号vi(t)与冲击响应与冲击响应h(t)的卷的卷积，即：积，即：确知信号通过确知信号通过线性系统：线性系统：第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-743系统满足系统满足物理可实现条件物理可实现条件:h(t)=0，t0；输入有界输入有界（满足（满足狄里赫利条件）。则有：狄里赫利条件）。则有：00()()()()()iiv thv tdhv td00()()()ithtd 理解：理解：上式对于确知信号是没
42、有问题的。上式对于确知信号是没有问题的。当当输入是随机过程输入是随机过程(t)的一个实现的一个实现i1(t)随机函随机函数时，便有输出随机过程数时，便有输出随机过程o1(t)。进一步：进一步：当输入是随机过程当输入是随机过程i(t)时，便有输出随机过程时，便有输出随机过程o(t)。且有：。且有：随机信号通过随机信号通过线性系统：线性系统：第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-744任务：任务：假设假设i(t)为平稳随机过程，且已知其统计特性，求为平稳随机过程，且已知其统计特性，求0(t)的的统计特性统计特性。注：注：考察一个实现就够了。考察一个实现就够了。假设：假设：i(t)
43、是平稳的输入随机过程，是平稳的输入随机过程，a 均值，均值，Ri()自相关函数，自相关函数，Pi()功率谱密度；功率谱密度；求求输出过程输出过程 o(t)的统计特性：均值、自相关函数、功率谱以的统计特性：均值、自相关函数、功率谱以及概率分布。及概率分布。00()()()ithtd 第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-7453.4.2 o(t)的统计特性的统计特性 1.o(t)的平稳性的平稳性（1）均值）均值结论：结论：输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与H(0)相乘。且相乘。且E0(t)与与t无关。无关。0000()()()(
44、)()()()()0iiiiEtEtEhtdhEtdEthdH与与t无关。无关。第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-746（2）相关函数）相关函数000 00 0(,)()()()()()()()()()()()()()()oooiiiiioRt tEttEhtdhtdhhEttd dhhRd dR 仅与仅与有关。有关。综上综上:o(t)平稳。平稳。00()()()ithtd 第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-747由由进行傅里叶变换，得进行傅里叶变换，得令令 =+-，代入上式，得到，代入上式，得到即即结论：结论：应用：应用：由由Po(f)的反傅里叶变
45、换求的反傅里叶变换求Ro()。)()()()(),(0110RddRhhttRi 00()()()()()jjiP fRedhhRd ded 0()()()()jjjiPfhedhedRed)()()()()()(20fPfHfPfHfHfPii2.0(t)的功率谱密度及分布函数的功率谱密度及分布函数（1）输出过程输出过程 o(t)的功率谱密度的功率谱密度第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-748由于已假设由于已假设 i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻刻上都是一个高斯随机
46、变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和输上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和输出过程也为高斯过程。出过程也为高斯过程。注：注：与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变。与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变。kkkkihttk)()(lim)(000dthti)()()(0（2）输出过程）输出过程 o(t)的分布函数的分布函数结论：结论：证：证：从积分原理看从积分原理看可以表示为：可以表示为：第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-7493.5 3.5 窄带随机过程窄带随机过程窄带过程窄带过程3.5.13.5.1窄带随机
47、过程的概念窄带随机过程的概念1.1.什么叫窄带随机过程？频谱：频谱：所占频带较窄，满足所占频带较窄，满足f fc的随机过程叫。的随机过程叫。时域：时域：用示波器观察，看到某个实现的波形幅度用示波器观察，看到某个实现的波形幅度和相位随机缓慢变化的近似正弦。和相位随机缓慢变化的近似正弦。第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-750221()=()cos()()(t)=()sin()()()()()()()()cscssctatttatttattttttgt 同相分量正交的的分量随机包络的的随机相位问：问：窄带随机过程的同相及正交分量是低频的还是高频的窄带随机过程的同相及正交分量是
48、低频的还是高频的?可以看出：可以看出：(t)的统计特性由的统计特性由a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的统计特性确定的统计特性确定.若若(t)的统计特性已知，则的统计特性已知，则a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的统计的统计特性也随之确定。特性也随之确定。()()co0s(t),()cos(t)sincccscata ttttt2.2.表达式表达式两种！两种！第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-7513.5.2 已知已知(t)的统计特性，求的统计特性，求c(t)、s(t)的统计特性的统计特性结论结论1 1若若(t)：均值为：均值为0 0、方差
49、为、方差为2、窄带、平稳、高斯、窄带、平稳、高斯随机过程。随机过程。则：则：（1）c(t)、s(t)同样是同样是平稳高斯平稳高斯随机过程；随机过程；（2）E(t)=Ec(t)=Es(t)0均值相同均值相同(都为都为0)；（3）c2=s2=2=2方差相同，同于方差相同，同于(t)；（4）在同一时刻（即）在同一时刻（即=0）上得到的）上得到的c及及s互互相关函数为相关函数为0，即即c与与s互不相关，或说互不相关，或说统计独立统计独立。(0)=0,(,)=()()cscscsRfff()()cos()sinccscttttt第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理2022-12-7522.5.3 已
50、知已知(t)的统计特性，求的统计特性，求 a(t)、(t)的统计特性的统计特性 结论结论2 2若若(t)：均值为：均值为0、方差为、方差为 2、窄带平稳高斯、窄带平稳高斯随机过程。随机过程。则：则：（1）其）其包络包络a(t)的一维的一维pdf 呈呈瑞利分布瑞利分布；（2）其）其相位相位(t)的一维的一维pdf呈呈均匀分布均匀分布；（3）a(t)与与(t)统计独立。统计独立。222222()=exp,03.5-201(),(,)(3.5-21)21(,)=exp()()()2aaf aafaaf af a f ()()cos(),0cta ttta第第3 3章章 随机过程随机过程通信原理202
