1、数模案例数模案例1叠砖问题叠砖问题TZC-MCM李韶伟李韶伟 6771932022年12月8日星期四2时50分27秒2问题描述问题描述 请用一些同样规格的砖叠一座小斜塔，能请用一些同样规格的砖叠一座小斜塔，能使它斜到什么程度？使它斜到什么程度？倾斜的程度刻画：倾斜的程度刻画：最上面的一块砖的重心和最下面一块砖最上面的一块砖的重心和最下面一块砖重心的水平距离有多远？重心的水平距离有多远？最上面和最下面的同一侧边的水平距离！最上面和最下面的同一侧边的水平距离！2022年12月8日星期四2时50分27秒3基本假设基本假设 1.所提供的砖规格都是一样的；所提供的砖规格都是一样的；(砖均为标准的长方体砖
2、均为标准的长方体1长长h高高d宽，宽，且且 0hd1)2.密度均匀，表面平整光滑；密度均匀，表面平整光滑；3.各块砖放平，放齐；各块砖放平，放齐；4.摆放无其他自然条件的限制和影响。摆放无其他自然条件的限制和影响。摆放如下图所示摆放如下图所示2022年12月8日星期四2时50分28秒4hd1叠砖示意图叠砖示意图2022年12月8日星期四2时50分28秒5GaEFAD BCaa方案方案1：每块砖相同伸出量：每块砖相同伸出量每块砖都比下面一块砖多伸出一段长为每块砖都比下面一块砖多伸出一段长为a；2022年12月8日星期四2时50分28秒6 n块砖可以伸出(n-1)a 那么长；(n-1)a 不超过一
3、砖之长！上面(n-1)块砖的重心G不能落在最下面那块砖之外，因此 DCBC 又 DC=0.5EF=0.51+(n-2)a BC=(n-1)a 故 0.51+(n-2)a (n-1)a 即 n a1，(n-1)a (n-1)/n 1 均匀伸出摆放，伸出最多不超过一砖之长！2022年12月8日星期四2时50分28秒7G2方案2：每块砖伸出长短不一316a G1112a 214a G3此处G3很关键M3M4G42022年12月8日星期四2时50分28秒8Gn-1Mnnn+1Gn1212nanBn2022年12月8日星期四2时50分28秒9 用用n+1块砖建塔，总的伸出量为块砖建塔，总的伸出量为(顶砖
4、和底砖的重顶砖和底砖的重心的水平距离心的水平距离)：11112462nAn1111(1)223n当当n增大时，每次伸出量的增加为增大时，每次伸出量的增加为1/(2n)，但是全但是全部伸出量加起来却可以要多大有多大！部伸出量加起来却可以要多大有多大！2022年12月8日星期四2时50分28秒10111134441111111156788888111189101616 1111111111112212222222mmmmmmm1111(1)223nAn2022年12月8日星期四2时50分28秒11111121123222mmm 这表明这表明An可以要多大就有多大可以要多大就有多大(无穷大无穷大)！
5、比如有比如有65块砖，便可以使顶层比底层伸出块砖，便可以使顶层比底层伸出2砖砖之长。砖数加倍，上面能多伸出之长。砖数加倍，上面能多伸出1/4砖长。砖长。An是无穷级数发散！是无穷级数发散！2022年12月8日星期四2时50分28秒12努力不一定成功努力不一定成功放弃一定是失败放弃一定是失败 2022年12月8日星期四2时50分29秒13数模案例数模案例2漂洗的优化问题漂洗的优化问题问题描述：问题描述：洗衣服时，衣服用肥皂或洗衣粉搓洗洗衣服时，衣服用肥皂或洗衣粉搓洗过后过后 ，衣服上总带着污物需要用清水来漂洗，衣服上总带着污物需要用清水来漂洗，要建立数学模型分析如何安排清洗的程序，使得要建立数学
6、模型分析如何安排清洗的程序，使得用这些水漂洗的衣服最干净。用这些水漂洗的衣服最干净。2022年12月8日星期四2时50分29秒14模型准备：模型准备：对于一次洗衣的过对于一次洗衣的过程干净与否，到底都与程干净与否，到底都与什么什么因素因素有关呢？有关呢？衣服上本身的污物多衣服上本身的污物多 少，好洗不好洗少，好洗不好洗?2022年12月8日星期四2时50分29秒15漂洗的力量不同！漂洗的力量不同！1.污物在水中的分污物在水中的分布不一样布不一样导致导致2.漂洗后衣服上剩漂洗后衣服上剩余水的质量余水的质量2022年12月8日星期四2时50分29秒16漂洗的用水量不同漂洗的用水量不同2022年12
7、月8日星期四2时50分29秒17我又洗了一遍好开心啊我最喜欢洗衣服了我再也不要洗衣服了！洗衣服的次数也会影响结果洗衣服的次数也会影响结果2022年12月8日星期四2时50分30秒18众多因素，哪些众多因素，哪些有用有用哪些哪些没用没用？或者哪些？或者哪些是是常量常量，哪些是，哪些是要研究的量要研究的量呢？呢？让我们从一个简单问题中找让我们从一个简单问题中找思路思路污物用水量次数剩余水量分布2022年12月8日星期四2时50分30秒19 脏衣服在用洗衣粉充分漂洗之后，一般要把衣服脏衣服在用洗衣粉充分漂洗之后，一般要把衣服拧干，尽可能的拧掉污水，再进行下一轮漂洗。假设拧干，尽可能的拧掉污水，再进行
8、下一轮漂洗。假设每漂洗一次拧干后衣服中还每漂洗一次拧干后衣服中还留有含污物的水留有含污物的水1千克。现千克。现有有10千克清水千克清水，按下面三种方法漂洗：，按下面三种方法漂洗：1.直接把衣服放入直接把衣服放入10千克水中，千克水中，一次一次漂洗。漂洗。2.把把10千克水千克水分成两份分成两份，一份，一份3千克千克，另一份，另一份7千克千克，分分两次两次漂洗。漂洗。3.把把10千克水千克水平均分成两份平均分成两份，每份，每份5千克千克，分，分两次漂洗两次漂洗。哪一种方法洗出来最干净？哪一种方法洗出来最干净？1/111/321/362022年12月8日星期四2时50分30秒20模型假设：模型假设
9、：(1).污物均匀分布在衣服上。污物均匀分布在衣服上。(2).衣服在第一次漂洗前有一定含水量，衣服在第一次漂洗前有一定含水量，其含水量与其含水量与以后每次漂洗后衣服的含水量相同。以后每次漂洗后衣服的含水量相同。(3).忽视水温、水质等对漂洗结果的影响。忽视水温、水质等对漂洗结果的影响。2022年12月8日星期四2时50分30秒21l初始的污物质量初始的污物质量m0，是一，是一常数常数。l总用水量总用水量A，在现有问题描述中是一，在现有问题描述中是一常数常数。l每次充分拧干后，衣服上残存水量每次充分拧干后，衣服上残存水量w，为一，为一常数常数。l漂洗的次数漂洗的次数 n.l第第i次次充分充分拧干
10、后衣服上残留的污物质量为拧干后衣服上残留的污物质量为 mi.l第第i次漂洗的用水量次漂洗的用水量ai，il,2,n.且且 .1niiaA模型的构成：模型的构成：为简便计算过程，先定义常量。为简便计算过程，先定义常量。2022年12月8日星期四2时50分30秒22首先考虑首先考虑n次漂洗次漂洗之后，之后，剩余污渍剩余污渍mn 与与每次用水每次用水量量ai 的关系的关系.进一步，再考察进一步，再考察n与与mn的关系的关系.继续简化过程继续简化过程2022年12月8日星期四2时50分30秒23由假设可知，第一次放水后，由假设可知，第一次放水后，m0 克污物均匀分布克污物均匀分布(w+a1)千克水中，
11、衣服上残留的污物量千克水中，衣服上残留的污物量 m1与残留的水与残留的水量成正比量成正比：011mmwwa故：故：00111=1m wmmawaw2022年12月8日星期四2时50分30秒24同理同理：012122=(1)(1)mm wmaawaww用数学归纳法即可证明：用数学归纳法即可证明：012(1)(1)(1)nnmmaaawww想办法让想办法让 mn 尽量小！尽量小！00111=1m wmmawaw2022年12月8日星期四2时50分30秒25当漂洗的当漂洗的次数次数n为一定时，如何为一定时，如何选取每次的选取每次的用水量用水量ai，才能漂洗的，才能漂洗的最干净？即最干净？即剩余污渍剩
12、余污渍mn最小？最小？容易看出，利用容易看出，利用“均值不等式均值不等式”，让分母最大，让分母最大，mn 有最小值有最小值.1.niiaA我们已知：其中其中A，n，w为常数为常数.012(1)(1)(1)nnmmaaawww112(1)(1)(1)(1)(1)nninniaaaaAwwwwnnw121 2nnncccc ccn2022年12月8日星期四2时50分30秒26n次漂洗后，剩余污渍次漂洗后，剩余污渍mn满足关系式：满足关系式：12111naaawww 当当 时时,等式成立，等式成立，即即 a1=a2=an，说明每次，说明每次用水量相等用水量相等。0(1)nnmmAnw此时剩余污渍此时
13、剩余污渍0(1)nnmmAnw2022年12月8日星期四2时50分30秒27进一步，我们考虑进一步，我们考虑n与与mn的关系的关系.为了衣服能够漂洗更加干净，即要让为了衣服能够漂洗更加干净，即要让mn达到最小，达到最小，则需要则需要 最大最大.(1)nAnwAw0(1)nnmmAnw 此处此处 为固定常数为固定常数.即可调整的是漂洗次数即可调整的是漂洗次数n.将总水量将总水量A分成分成n+1次是否要比次是否要比n次洗的更干净呢？次洗的更干净呢？2022年12月8日星期四2时50分30秒28121 2nnncccc ccn0(1)nnmmAnw011(1)(1)nnmmAnw11(1)1(1)1
14、11(1)nnnAnAAnwnwnnw 这表明，将总水量这表明，将总水量A分成分成n+1次要比次要比n次洗的更干净！次洗的更干净！比较比较 和和用一定量用一定量A的水可否将衣服洗得要多干净有多干净呢？的水可否将衣服洗得要多干净有多干净呢？2022年12月8日星期四2时50分30秒29考虑考虑n+k个正数个正数 ,此处此处k为大为大于于 的整数的整数.121,nnn kc cc ccAw(1)(1)(1)(1)1n knkAAnkAAnwkwnwkwnk取取 ，有，有1211,1nnn kAAcccccnwkw 1(1)(1)nkAAnwkw即即2022年12月8日星期四2时50分31秒30*(
15、1)2(*)nAAnw2Aw2*AkAw在此不妨取在此不妨取A*为不小于为不小于 的最小整数，即的最小整数，即 ，进而，进而 12.1Akw1,*2AAw3.5,*7AAw1.7,*4AAw总之，总之，越大，衣服洗的越干净，但是这是有限度的越大，衣服洗的越干净，但是这是有限度的.Aw比如设总共比如设总共20斤水，拧干衣服残留斤水，拧干衣服残留1斤水，则极限斤水，则极限是污物不会比是污物不会比 更少更少.40122022年12月8日星期四2时50分31秒31n越大越好！越大越好！(1)xkyx1k 2k 3k 2022年12月8日星期四2时50分31秒32模型结论：模型结论：漂洗的优化程序是漂洗的优化程序是：a根据需洗衣服的质量确定漂洗一次衣服的最小用水根据需洗衣服的质量确定漂洗一次衣服的最小用水量量m0.(以能浸透衣服为标准以能浸透衣服为标准)b确定漂洗的次数确定漂洗的次数 ，(x为为x的整数部分的整数部分).c将清水均分为将清水均分为n份，每份份，每份 ，然后分，然后分n次漂洗次漂洗.0Anm0Am2022年12月8日星期四2时50分31秒33TZC-MCM李韶伟李韶伟 677193
