1、一、汽车刹车距离问题一、汽车刹车距离问题美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背背景景与与问问题题 正常驾驶条件下正常驾驶条件下,车速每增车速每增10英里英里/小时，小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。后面与前车的距离应增一个车身的长度。实现这个规则的简便办法是实现这个规则的简便办法是“2秒准则秒准则”便携式数控切割机http:/ 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何秒钟后到达同一标志，而不管车速如何判断判断“2秒准则秒准则”与与“车身车身”规则是否一规则是否一样；样；建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。问问题题分分析析常
2、识：刹车距离与车速有关常识：刹车距离与车速有关10英里英里/小时小时(16公里公里/小时小时)车速下车速下2秒钟行驶秒钟行驶29英尺英尺(9米米)车身的平均长度车身的平均长度15英尺英尺(=4.6米米)“2秒准则秒准则”与与“10英里英里/小时加一车身小时加一车身”规则规则不同不同刹刹车车距距离离反应时间反应时间司机司机状况状况制动系统制动系统灵活性灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比，最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。使汽车作匀减速运动。车速车速常数常数反反应应距距离离制制动动距距离离常数常数假假 设设 与与 建
3、建 模模 1.刹车距离刹车距离 d 等于反应距离等于反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2 之和之和2.反应距离反应距离 d1与车速与车速 v成正比成正比3.刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变作功等于汽车动能的改变;vtd11F d2=m v2/2F m21kvvtdt1为反应时间为反应时间21ddd且且F与车的质量与车的质量m成正比成正比22kvd 反应时间反应时间 t1的经验估计值为的经验估计值为0.75秒秒参数估计参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k21kvvtd模模 型型最小二乘法最小二乘法 k=0.0
4、6计算刹车距离、刹车时间计算刹车距离、刹车时间车速车速(英里英里/小时小时)(英尺英尺/秒秒)实际刹车距离实际刹车距离（英尺）（英尺）计算刹车距离计算刹车距离（英尺）（英尺）刹车时间刹车时间（秒）（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒准则秒准则”应修正为应修正为“t 秒准秒准则则”22106.075.0vvkvvtd模模
5、 型型车速车速(英里英里/小时小时)刹车时间刹车时间（秒）（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3车速（英里车速（英里/小时）小时）010104040606080t（秒）（秒）1234二、二、划艇比赛的成绩问题划艇比赛的成绩问题赛艇赛艇 2000米成绩米成绩 t(分分)种类种类 1 2 3 4 平均平均单人单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇长艇长l 艇宽艇宽b(米米
6、)(米米)l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w0(kg)浆手数浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7对四种赛艇（对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。数学模型揭示这种关系。问问题题准准备备调查赛艇的尺寸和重量调查赛艇的尺寸和重量l/b,w0/n 基本不变基本不变问题分析问题分析 前进阻力前进阻力 浸没部分与水的
7、摩擦力浸没部分与水的摩擦力 前进动力前进动力 浆手的划浆功率浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆划浆功率功率 赛艇赛艇速度速度赛艇赛艇速度速度前进前进动力动力前进前进阻力阻力浆手浆手数量数量 艇艇重重浸没浸没面积面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建立模型模型假设模型假设1）艇形状相同）艇形状相同(l/b为常数为常数),w0与与n成正比成正比2）v是常数，阻力是常数，阻力 f与与 s
8、v2成正比成正比符号：艇速符号：艇速 v,浸没面积浸没面积 s,浸没体积浸没体积 A,空艇重空艇重 w0,阻力阻力 f,浆手数浆手数 n,浆手功率浆手功率 p,浆手体重浆手体重 w,艇重艇重 W艇的静态特性艇的静态特性艇的动态特性艇的动态特性3）w相同，相同，p不变，不变，p与与w成正比成正比浆手的特征浆手的特征模型模型建立建立f sv2p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3A W(=w0+nw)n s n2/3v n1/9比赛成绩比赛成绩 t n 1/9np fv模型检验模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84bant 11.021.7ntnbatloglog最小
9、二乘法最小二乘法利用利用4次国际大赛冠军的平均次国际大赛冠军的平均成绩对模型成绩对模型 t n 1/9 进行检验进行检验tn12487.216.886.325.84与模型巧合！与模型巧合！三、三、核军备竞赛核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威核威慑战略慑战略”，核军备竞赛不断升级。，核军备竞赛不断升级。随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。的核裁军协议。在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。在暂
10、时的平衡状态。当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。数量受哪些因素影响。背背景景以双方以双方(战略战略)核导弹数量描述核军备的大小。核导弹数量描述核军备的大小。假定双方采取如下同样的假定双方采取如下同样的核威慑战略：核威慑战略：认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；核导弹攻击己方的核
11、导弹基地；乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。给对方重要目标以毁灭性的打击。在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。攻击对方的一个核导弹基地。摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。度和另一方的防御能力决定。模模型型假假设设图图的的模模型型y=f(x)甲方有甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数枚导弹，乙方所需的最少导弹数x=g(y)乙方有乙方有y枚导弹，甲方所
12、需的最少导弹数枚导弹，甲方所需的最少导弹数当当 x=0时时 y=y0，y0乙方的乙方的威慑值威慑值xyy0 xyy00 xyxfyy00)(y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数方工业、交通中心等目标所需导弹数x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全区乙安全区甲甲安安全全区区双方双方安全区安全区P平衡点平衡点(双方最少导弹数双方最少导弹数)乙安全线乙安全线精细精细模型模型乙方乙方残存率残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概
13、率。基地，基地未被摧毁的概率。sx个基地未摧毁，个基地未摧毁，yx个基地未攻击。个基地未攻击。xy甲方以甲方以 x攻击乙方攻击乙方 y个基地中的个基地中的 x个个,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy个被攻击个被攻击2次，次，s2(xy)个未摧毁；个未摧毁；y(xy)=2y x个被攻击个被攻击1次，次，s(2y x)个未摧毁个未摧毁y0=s2(xy)+s(2y x)x=2yy0=s2yyx2yxssssyy21)2(0y=y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2yxasysyy/00 a交换比交换比(甲乙导弹数量比甲乙导弹数量比)x=a y,精细精细模型模型x=y,y=y0/sx=
14、2y,y=y0/s2y0威慑值威慑值s残存率残存率y=f(x)y是一条上凸的曲线是一条上凸的曲线y0变大，曲线上移、变陡变大，曲线上移、变陡s变大，变大，y减小，曲线变平减小，曲线变平a变大，变大，y增加，曲线变陡增加，曲线变陡xy0y0 xy,y=y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y,xssssyy21)2(0 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标乙方威慑值乙方威慑值 y0变大变大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)mmmmyyxx,甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。),(mmy
15、xP（其它因素不变）（其它因素不变）乙安全线乙安全线 y=f(x)上移上移模型解释模型解释 平衡点平衡点PP 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架乙安全线乙安全线y=f(x)不变不变甲方残存率变大甲方残存率变大威慑值威慑值x 0和交换比不变和交换比不变x减小，甲安全线减小，甲安全线x=g(y)向向y轴靠近轴靠近mmmmyyxx,xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x),(mmyxP模型解释模型解释 甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少PP 双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标(x,y仍为双方核导弹的数量仍为双方核导弹的数量)双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加y0减小减小 y下移且变平下移且变平xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)PP a 变大变大 y增加且变陡增加且变陡双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析?PP模型解释模型解释 乙安全线乙安全线 y=f(x)?PP
