1、24.1.2 垂直于弦的直径,1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程;能初步应用 垂径定理进行计算和证明; 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力; 3.通过圆的对称性,培养学生对数学的审美观,并激发学生 对数学的热爱,问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶,它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?,想一想:将一个圆沿着任一条直径对折,两侧半圆会有什么关系? 【解析】圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,所以两侧半圆折
2、叠后重叠.,观察右图,有什么等量关系?,AO=BO=CO=DO,弧AD弧BC,弧AD弧BD, AEBE,AO=BO=CO=DO,弧AD弧BC=弧AC弧BD,已知:在O中,CD是直径,AB是弦,CDAB,垂足为E.求证:AEBE,弧AC弧BC,弧AD弧BD.,垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,垂径定理,判断下列图形,能否使用垂径定理?,【解析】定理中两个条件(直径垂直于弦)缺一不可,故 前三个图均不能,仅第四个图可以!,例1:如图,已知在圆O中,弦AB的 长为8,圆心O到AB的距离为3 , 求圆O的半径。,O,A,B,【解析】根据题意得, AE=4cm OEAB OE
3、=3cm 在RtOEA中,根据勾股定理得: AO2=OE2+AE2=32+42=25 AO=5cm,变式1:AC、BD有什么关系?,变式2:ACBD依然成立吗?,变式3:EA_, EC=_.,OA=OB,OC=OD,如图,P为O的弦BA延长线上一点,PAAB2,PO5,求O的半径.,关于弦的问题,常常需要过圆心作弦的垂线段,这是一条非常重要的辅助线.,【解析】提示作OM 垂直于PB ,连接OA.,答案:,A,画图叙述垂径定理,并说出定理的题设和结论.,想一想:如果将题设和结论中的5个条件适当互换,情况会怎样?,(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分
4、线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.,如图,CD为O的直径,ABCD,EFCD,你能得到什么结论?,弧AE弧BF,圆的两条平行弦所夹的弧相等.,2.(湖州中考)如图,已知O的直径AB弦CD于点E,下 列结论中一定正确的是( ),AAEOE BCEDE,CE,COE,DAOC60,B,1(绍兴中考)已知O的半径为5,弦AB的弦心距为3, 则AB的长是( ) A.3 B.4 C.6 D.8,D,3.(安徽中考)如图,O过点B 、C。圆心O在等腰直角ABC的内部,BAC900,OA1,BC6,则O的半径为( ) A. B. C.
5、D. 【解析】选D.延长AO交BC于点D,连接OB, 根据对称性知AOBC,则BD=DC=3. 又ABC为等腰直角三角形,BAC90, 则AD= =3,OD=3-1=2, OB=,4.(毕节中考)如图,AB为O的弦,O的半径为5, OCAB于点D,交O于点C,且CDl,则弦AB的长是 ,5、已知:如图,在以O为圆 心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C,D两点. 求证:ACBD. 证明:过O作OEAB,垂足为E, 则AEBE,CEDE. AECEBEDE. 所以,ACBD,E,.,A,C,D,B,O,通过本课时的学习,需要我们: 1理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程; 能初步应用垂径定理进行计算和证明; 2掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.,