1、9.4多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则第九章第九章 多元函数多元函数微分法及其应用微分法及其应用一元复合函数一元复合函数 求导求导 复习：复习：)(),(xuufyxuuyxydddddd链式法则链式法则解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu)cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu)cossin(vvxeu )cos()sin(yxyxyexy )cos()sin(yxyxxexy zvuyxyx设),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都在点),(yx具有对x和y的偏导数，复合函数),(),(),(yxw
2、yxyxfz 在对应点),(yx的两个偏导数存在，且可用下列公式计算xwwzxvvzxuuzxz ,ywwzyvvzyuuzyz .zuvwxyxyxy多元多元复合函数复合函数的求导法则的求导法则例 2设tuvzsin ，而teu ，tvcos，求全导数dtdz解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos tttetcos)sin(cos zuvttt分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导。叉路偏导。多元多元复合函数复合函数的求导口诀：的求导口诀：例例3,sin,e),(2222yxzzyxfuzyxyuxu,求解
3、：解：xu222e2zyxxyxyxyxx2422sin22e)sin21(2zyxyxfu yu222e2zyxyyxyxyyxy2422sin4e)cossin(2xfxzzf222e2zyxzyfyzzf222e2zyxzyxsin2yx cos2P85 习题习题9-4 2练习练习xzyxvyxuvuz求求、,ln2322),(1zyxzyxf例例4 设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,),(zyxzyxfw求求.,2zxwxw解解:xwfw zyxzyx11 fzyf 2),(2zyxzyxfzyzxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122f
4、y zy121 fyxf 22 P85 习题习题9-4 11xz1f)(22yxfz解：解：x2xf2 fx 2例例5 设设，求，求 2xz2fz yx x22xz2f 2fxf 242练习练习P85 习题习题9-4 8(3)12(1)8(3)设设xyzxyxfu,，求各一阶偏导，求各一阶偏导12(1)设设),(yxyfz，求，求yxzxz2,P82 习题习题9-4 8(3)xu1f yuzuxyzxyxfu,fu 练习练习解：解：xxxyyz2f y3f yz3fyzf yf212f x3f xz3fxzfx23f xy3fxy 求一阶偏导求一阶偏导P85 习题习题9-4 12(1)xz1f),(yxyfz 解：解：yxf 11(1f y 设设 求求 yxzxz2,fz yxy yyxz21f 12111f yfxyf 1)12f练习练习作作 业业 P82 习题习题9-41，3，8(1)
