1、College of mathematicsDecember 9,20228.2.2 第二型曲线积分的计算第二型曲线积分的计算Line IntegralsCollege of mathematicsDecember 9,2022上一页|首页|下一页第二型曲线积分可以化为定积分来计算第二型曲线积分可以化为定积分来计算定理定理2.1读书读书College of mathematicsDecember 9,2022上一页|首页|下一页(1)L 由参数方程给出：由参数方程给出：()yy t(:)t:(),L xx t则则(,)LP x y dx(),()()x tP xdty tt起点的参数起点的参数
2、终点的参数终点的参数(,)LQ x y dy(),()()y tQ xdty ttCollege of mathematicsDecember 9,2022上一页|首页|下一页(,)(,)LP x yQ xdxdyy(),()()P x ty t x t(),()()Q x ty ty tdtCollege of mathematicsDecember 9,2022上一页|首页|下一页(2)L 由显函数给出：由显函数给出：(:)x ab:()L yy x则则(,)LP x y dx,()baP x y x dx(,)LQ x y dy)(,(bayQ xxy xx d()yy xabColle
3、ge of mathematicsDecember 9,2022上一页|首页|下一页(,)(,)LP x yQ xdxdyy,()baP x y x,()()y x dQyxxxCollege of mathematicsDecember 9,2022上一页|首页|下一页(4)空间曲线空间曲线 L 由参数方程给出：由参数方程给出：(),yy t(:)t:(),L xx t则则(),zz t(,)LP x y z dx(),(),()()P x tx t dty tz t(,)LQ x y z dy(),(),()()Q x ty t dty tz t(,)LR x y z dz(),(),()
4、()R x tz t dty tz tCollege of mathematicsDecember 9,2022上一页|首页|下一页矢量形式矢量形式r)A(A()t:(r)rLt:tr()tL设设则则A rLd()A)r(r tt dtCollege of mathematicsDecember 9,2022上一页|首页|下一页如何写出第二型曲线积分的定积分计算公式？如何写出第二型曲线积分的定积分计算公式？注意：注意：中的中的(x,y)在曲线在曲线 L 上变动上变动(x,y)必须满足曲线必须满足曲线 L 的方程的方程!(,)(,)LP x yQ xdxdyyCollege of mathema
5、ticsDecember 9,2022上一页|首页|下一页例例2.1Lydxxdy解解方法一方法一L 的直角坐标方程：的直角坐标方程：2:2L yxx(:20)x02Lydxxdy022(2xx21)2xxdxxx 0222xdxxx 详见教材详见教材积分较难积分较难College of mathematicsDecember 9,2022上一页|首页|下一页方法二方法二L 的参数方程：的参数方程：:1cos,L xt(:0)tLydxxdysinyt02t1Lydxxdy0(sin)(1cos)t dt(1cos)(sin)t dt0(sin)(sin)tt(1cos)cos)tt dt0(
6、1cos)t dt此法简单些此法简单些College of mathematicsDecember 9,2022上一页|首页|下一页例例2.3解解()Lxydxxy dy(1):L yx(:01)x01()Lxydxxy dy10()1x xxxdx120 x dx13College of mathematicsDecember 9,2022上一页|首页|下一页()Lxydxxy dy(2)2:L yx(:01)x()Lxydxxy dy1220()2 x xxxx dx1230(2)xx dx51201积分与路径有关积分与路径有关PQyxCollege of mathematicsDecem
7、ber 9,2022上一页|首页|下一页例例解解23Lx ydxy dy L是由曲线是由曲线32yxyx所围成的区域的边界正向曲线所围成的区域的边界正向曲线322:Lyx1:Lyx1012LLL1:Lyx(:01)x232:Lyx(:10)xCollege of mathematicsDecember 9,2022上一页|首页|下一页1:Lyx(:01)x232:Lyx(:10)x23Lx ydxy dy 123Lx ydxy dy223Lx ydxy dy1230(1)xxxdx22102333312()3xxxxdx144322:Lyx1:Lyx10College of mathemati
8、csDecember 9,2022上一页|首页|下一页例例2.4解解Lxdxydyzdz:1,L xt(:01)t10(1)(12)2(13)3tttdt(1,1,1)(2,3,4)12,yt 13zt Lxdxydyzdz10(614)t dt13College of mathematicsDecember 9,2022上一页|首页|下一页例例2.5解解:LABcos,xasinya(:0)2在在 P(x,y)处处,力函数力函数F(,)x y,k x y Oab(,)P x yABFCollege of mathematicsDecember 9,2022上一页|首页|下一页(,),F x
9、yk x y Oab(,)P x yABF:Lcos,xasinya rFLWdLk xdxydy 20(cos)(sin)kaa(sin)(cos)bbd2220()cos sink abd College of mathematicsDecember 9,2022上一页|首页|下一页2220()cos sinWk abd 222201()sin2k ab221()2k abCollege of mathematicsDecember 9,2022上一页|首页|下一页221()2Wk ab0,W if ab0,W if ab0,W if abOab(,)P x yABFOab(,)P x yABFO(,)PxyABFCollege of mathematicsDecember 9,2022上一页|首页|下一页人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。College of mathematicsDecember 9,2022
