1、第十章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 格林公式高斯公式与斯托克斯公式第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十章 AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为),(zyx“大化小,常代变,近似和,求极限”kkkks),
2、(可得nk 10limM为计算此构件的质量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例:曲线形构件的质量采用设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,kkkksf),(都存在,),(zyxf上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),(若通过对 的任意分割局部的任意取点,2.定义定义是定),(zyxf下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件的质量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和对如果 L 是 xoy 面上的曲线弧,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是闭曲线,
3、则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积分为思考思考:(1)若在 L 上 f(x,y)1,?d 表示什么问Ls(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求 ds 0,但定积分中dx 可能为负.3.性质性质szyxfd ),()1(szyxfkd),()2(（k 为常数)szyxfd),()3(由 组成)21,sd)4(l 为曲线弧 的长度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxf(5)对称性与二重积分类似(0)(,)(,)(,)(0,2),LL xxxf x yf x y dsf x y dsf
4、 x y关于 为奇函数关于 为偶函数L关于y轴对称轮换对称性1(,)(,)(,)(,)2LLLf x y dsf y x dsf x yf y x ds(6)可将重心，转动惯量推广到曲线弧上tttttfsdyxfLd)()()(,)(),(22二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:),(yxf设且)()(tty上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分说明说明:(1)因此积分限必须满足!xdydsdxyo(2)注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于
5、“换元法”.如果曲线 L 的方程为),()(bxaxy则有Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式:),()(:rrL则syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推广推广:设空间曲线弧的参数方程为)()(,)(),(:ttztytx则szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf)(,()(),(,)(tttf例例1.计算,dLsx其中 L 是抛物线2xy 与点 B(1,1)之间的一段弧.解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41(121x)155(121上点 O(0,0)1Lxy2xy o)1,
6、1(B例例2.计算,dsxIL其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解解:在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1 arL利用对称性,得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox例例3.计算曲线积分,d)(222szyx其中为螺旋的一段弧.解解:szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线例例4.计算,d2sx其中为球面
7、 2222azyx被平面 所截的圆周.0zyx解解:由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2 对光滑曲线弧,)(,)(,)(:ttytxLLsyxfd),(对光滑曲线弧,)()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf)(,(),()(:rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf内容小结内容小结思考与练习思考与练习1.已知椭圆134:22yxL周长为a,求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式=syxLd)34(
8、1222sLd12a12o22yx3利用对称性2.设均匀螺旋形弹簧L的方程为,sin,costaytax),20(tt kz(1)求它关于 z 轴的转动惯量;zI(2)求它的质心.解解:设其密度为 (常数).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2)L的质量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐标为),0,0(k第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联
9、系三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 第十章 一、一、对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,ABLxy求移cosABFW“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.ABF ABF),(,),(),(yxQyxPyxF2.定义定义.设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,Lyyx
10、QxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分.其中,),(yxPL 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线.称为被积函数被积函数,在L 上定义了一个向量函数极限),(,),(),(yxQyxPyxF记作),(yxF),(yxQ3.性质性质(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧),1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2)用L 表示 L 的反向弧,则LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明:对坐
11、标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向!二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:),(,),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),()(),(ttP)(t)(ttd(),()Qtt连续,存在,且有如果曲线 L 的方程为),()(bxaxy则有(,)(,)LP x y dxQ x y dy,()+,()()baP xxQ xxxdx例例1.计算,dLxyx其中L 为沿抛物线xy 2解法解法1 取 x 为参数,则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxx
12、yxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 为参数,则11:,:2yyxL54d2114yy从点xxxd10的一段.)1,1()1,1(BA到)1,1(B)1,1(Aoyx例例2.计算其中 L 为,:,0aaxyyBAoaa x(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取L的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2)取 L 的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334a
13、aaxd00则则yxo例例3.计算,dd22yxxyxL其中L为(1)抛物线 ;10:,:2xxyL(2)抛物线 ;10:,:2yyxL(3)有向折线.:ABOAL解解:(1)原式22xxxx d4103(2)原式yyy222yy d5104(3)原式yxxyxOAdd22102d)002(xxx1)0,1(A)1,1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为)0()(,)(lssyysxx已知L切向量的方向余弦为sysxddcos,ddc
14、os则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(例例4.将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0,2()0,0(BO到从解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx)1(x其中L 沿上半圆周1.定义kkkknkyQxP),(),(li
15、mkk10LyyxQxyxPd),(d),(2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧),1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2)L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结3.计算,)()(:tytxL:tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),()(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:,)(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(zzyxRy
16、zyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(,)(),(tttP)(t)(t)(t4.两类曲线积分的联系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(,)(),(tttQ)(,)(),(tttRtd 对空间有向光滑弧:第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 第十章 LD区域 D 分类单连通区域(无“洞”区域)复连通区域(有“洞”区域)域 D 边界L 的正向正向:域的内部靠左域的内部靠左定理定理1.设区域 D 是由分段光滑曲线 L 围成,
17、则有,),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd(格林公式格林公式)函数在 D 上具有连续一阶偏导数,一一、格林公式格林公式 其中L是的取正向的边界曲线()()()baF x dxF bF a说明：（1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立；（2）在一定条件下可以用二重积分计算曲线积分，也 可以用曲线积分计算二重积分。（4）几何应用：正向闭曲线正向闭曲线L L 所围区域所围区域 D D 的面积的面积LxyyxAdd21（在格林公式中，取,Py Qx则有2DLdxdyxdyydx)（3）对于复连通区域D，公式右端应包括D的全部边 界的曲线积分，且边界的方向对D来说都是正方向。LDy
18、QxPyxyPxQdddd推论推论:正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如,椭圆20,sincos:byaxL所围面积LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab例1.设 L 是一条分段光滑的闭曲线,证明0dd22yxxyxL证证:令,22xQyxP则利用格林公式,得yxxyxLdd22yPxQ022xx0d dDx y 0？例例2.计算,dd2Dyyxe其中D 是以 O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.解解:令,则2,0yexQPyPxQ利用格林公式,有Dyyxedd2Dyye
19、xd2yexOAyd2yeyyd102)1(211exy oyx)1,1(A)1,0(BD2ye2sin22(1),Lxdxxydy例3.计算其中L是曲线sinyx上从点(0,0)到点(,0)的一段。lxyAOLD解解：添加,lD为Ll与围成的封闭区间2sin22(1)Lxdxxdy22sin22(1)sin22(1)L llxdxxdyxdxxdy0()sin2DQPdxdyxdxxy 40Dxydxdy 22 例例4.计算,dd22Lyxxyyx其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解:令,022时则当 yx22222)(yxxyxQ设 L 所围区域为D,)0,0(时当D由格林
20、公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoLdsincos2022222rrr2,)0,0(时当D在D 内作圆周,:222ryxl取逆时针方向,1D,对区域1D应用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx记 L 和 l 所围的区域为林公式,得二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2.设D 是单连通域,),(),(yxQyxP在D 内具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有.0ddLyQxP(2)对D 中任一
21、分段光滑曲线 L,曲线积分(3)yQxPdd),(yxuyQxPyxudd),(d(4)在 D 内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 yx说明说明:根据定理2,若在某区域内,xQyP则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d
22、),(若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;yA xoL例例5.计算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 为上半24xxy从 O(0,0)到 A(4,0).解解:为了使用格林公式,添加辅助线段,AOD它与L 所围原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx3648 圆周区域为D,则例例5.验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分,并求出这个函数.证证:设,22yxQyxP则xQyxyP2由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使yyxxyxuddd22),()0,0(22dd),(yxyyx
23、xyxyxu。)0,0(。),(yx)0,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx积分与路径无关例6.计算2222Lyxdxdyxyxy其中L为自点A(-1,0)沿21yx至B(2,3)的弧段（如图）xy0(1,0)A(2,3)BC解：由题知CD(0,1)22222,(,)(0,0)()QyxPx yxxyy构造一个单连通域G，积分在G内与路径2222LACCDDByxdxdyxyxy1232222011112112dydxdyyxy 3arctan2则G无关，内容小结内容小结1.格林公式LyQxPdd2.等价条件在 D 内与路径无关.yPxQ在 D 内有yQxPudddyxy
24、PxQDddLyQxPdd对 D 内任意闭曲线 L 有0ddLyQxP在 D 内有设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分 第十章 oxyz一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例:设曲面形构件具有连续面密度),(zyx类似求平面薄板质量的思想,采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求质 “大化小,常代变,近似和,求极限”的方法,量 M.其中,表示 n 小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两
25、点间距离的最大者).SzyxMd),(定义定义:设 为光滑曲面,“乘积和式极限”kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面积分Szyxfd),(其中 f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为SSdf(x,y,z)是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面积函数,叫做积分曲面.则对面积的曲面积分存在.对积分域的可加性.,21则有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质.则为常数设,21kkSzyxgkSzyx
26、fkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.积分的存在性.若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面oxyz定理定理:设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f(x,y,z)在 上连续,存在,且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分yxD),(kkkyxk)(说明说明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参
27、数意义下dS 的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.yxD例例1.计算曲面积分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解:yxDyxyxaz),(,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha例例2.计算,dSzyx其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面.ozyx111解解:设上的部分,则4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1(12031zyx与,0,0,0
28、zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式=分别表示 在平面 xozy例例3.设2222:azyx),(zyxf计算.d),(SzyxfI解解:锥面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1设,),(22122ayxyxDyx,22yx，022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的投影域为1yxD则 1d)(22SyxI1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD内容小结内容小结1.定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2
29、.计算:设,),(,),(:yxDyxyxzz则Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似)注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧.第五节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系对坐标的曲面积分 第十章 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面
30、分左侧和右侧(单侧曲面的典型)其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,)(yxSSyxS)(侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面元在 xoy 面上的投影记为,0)(yxyxS)(的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)(,)(设 为光滑的有向曲面,在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd记作P,Q,R 叫做被积函数被积函数;叫做积分曲面积分曲面.y
31、xiiiiSR)(,(或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积二二.定义定义.引例中,流过有向曲面 的流体的流量为zyPddxzQdd称为Q 在有向曲面上对对 z,x 的曲面积分的曲面积分;yxRdd称为R 在有向曲面上对对 x,y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面上对对 y,z 的曲面积分的曲面积分;yxRxzQzyPdddddd若记 正侧正侧的单位法向量为令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS),(,),(,),(zyxRzy
32、xQzyxPA 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式3.性质性质(1)若,1kiiki 1之间无公共内点,则i且(2)用 表示 的反向曲面,则 SA dSASAddiSA dyxRxzQzyPddddddSnAdSA d三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法定理定理:设光滑曲面yxDyxyxzz),(,),(:取上侧,),(zyxR是 上的连续函数,则yxzyxRdd),(),(yxDyxR),(yxzyxdd 若,),(,),(:zyDzyzyxx则有zyzyxPdd),(),(zy,PzyDzydd 若,),(,),(:xzDxzxzyy则有xzzyxQdd),()z,
33、(xzDxQxzdd(前正后负)(右正左负)说明说明:如果积分曲面 取下侧,则yxzyxRdd),(),(yxDyxRyxdd),(zyx),(xzy),(yxz例例1.计算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原点为中心,边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解解:利用对称性.原式yxxzdd)(3 的顶部),(:2221aaayxz取上侧 的底部),(:2222aaayxz取下侧1dd)(3yxxzyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd333axzy解解:把 分为上下两部分2211:yxz根据对称性0ddyxxyz 思考思
34、考:下述解法是否正确:例例2.计算曲面积分,ddyxxyz其中 为球面2x外侧在第一和第八卦限部分.ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zyyxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos
35、),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻画令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA)cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnAAnSnAd(A 在 n 上的投影)yxz111例例4.设,1:22yxz是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角,计算.dcos2SzI解解:SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n221cosyxx例例5.计算曲面积分其中解解:利用两类曲面积分的联系,有zyxzdd)
36、(2)(2xzSdcosyxddcoscosoyxz2 原式=)(x)(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面)(2221yxz介于平面 z=0 及 z=2 之间部分的下侧.)(2xz2211cosyx)(xxyxD222)(41yx oyxz2原式=)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入将,)(2221yxz面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(4)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：
37、二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化内容小结内容小结当yxDyxyxzz),(,),(:时，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式.第六节Green 公式Gauss 公式推广推广一、高斯公式一、高斯公式二、通量与散度二、通量与散度 高斯公式 通量与散度 第十章 一、高斯一、高斯(Gauss)公式公式定理定理1.设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd
38、函数 P,Q,R 在面 所围成,的方向取外侧,则有(Gauss 公式公式)例例1.用Gauss 公式计算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 为柱面122 yx闭域 的整个边界曲面的外侧.解解:这里利用Gauss 公式,得原式=zyxzyddd)(zrrzrddd)sin(用柱坐标)zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP,0QyxR及平面 z=0,z=3 所围空间思考思考:若 改为内侧,结果有何变化?例例2.利用Gauss 公式计算积分SzyxId)coscoscos(222其中 为锥面222zyxhozyx解解:作辅助面,:1hz,:),(222hyxDyxy
39、x取上侧1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于 z=0 及 z=h 之间部分的下侧.1,记h1所围区域为,则 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2zyxzyxIddd)(2利用重心公式,注意0 yxzyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4hhozyxh1例例3.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设 为曲面21,222zyxz取上侧,求 解解:作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD)1(20d10dr221drz202dcos103drr12131zoxy211用柱坐
40、标用柱坐标用极坐标用极坐标定义定义:设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中P,Q,R 具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向 则称曲面,其单位法向量 n,SnAd为向量场 A 通过有向曲面 的通量(流量).在场中点 M(x,y,z)处 称为向量场 A 在点 M 的散度.记作AdivzRyQxP三、通量与散度三、通量与散度内容小结内容小结1.高斯公式及其应用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP2.通
41、量与散度 设向量场P,Q,R,在域G内有一阶 连续 偏导数,则 向量场通过有向曲面 的通量为 G 内任意点处的散度为),(RQPA SnAdzRyQxPAdiv二、环流量与旋度二、环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式 第十章 yozx一一、斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 定理定理1.设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd(斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数,的侧与 的正向符合右手法则,RQP,在包含 在内的一nyxDC则有注意注意:如果 是 xoy 面上的一
42、块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd 或用第一类曲面积分表示:SRQPzyxdcoscoscoszRyQxPddd yxzyxxzzyzyxddddddzxy111o例例1.利用斯托克斯公式计算积分zyyxxzddd其中为平面 x+y+z=1 被三坐标面所截三角形的整个解解:记三角形域为,取上侧,则边界,方向如图所示.zyyxxzdddyxxzzydddddd利用对称性yxDyxdd323yxD例例2.为柱面与平面 y=z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针,计算.ddd2
43、zxzyxyxyIoz2yx解解:设为平面 z=y 上被 所围椭圆域,且取下侧,0cos利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210则其法线方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222三、三、环流量与旋度环流量与旋度斯托克斯公式yxxzzyyPxQxRzPzQyRdd)(dd)(dd)(zRyQxPddd设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为则斯托克斯公式可写为 SyPxQxRzPzQyRdcoscoscossRQPd)coscoscos()cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos令,引进一个向量),(RQPA Arot)(),(),(yPxQxR
44、zPzQyR记作向量 rot A 称为向量场 A 的RQPkjizyx称为向量场A定义定义:sAzRyQxPdddd沿有向闭曲线 的环流量环流量.sASnAddrot或sASAndd)(rot于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度旋度.zyxkjiArot的外法向量,计算解解:)1,0,0(SIdcosyxyxDdd28232zxy,4:222zyx例例3.设),3,2(2zxyA.drotSnAI)cos,cos,(cosn为n内容小结内容小结1.斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscoszuyuxu,3.场论中的三个重要概念场论中的三个重要概念设,),(zyxuu,),(RQPA 梯度梯度:uradgu,zyxzRyQxPRQPkjizyxArotAAdivA散度散度:旋度旋度:则 方向倒数方向倒数 通量通量 环流量环流量
