1、数章第函微三一元分学用的应第 2 页第三章学习任务与目标理解拉格朗日中值定理及其应用，熟练掌握洛必达法则、函数的单调性与极值的判定、函数最值的求法、曲线凹凸性的判定及拐点的求法领会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，培养学生解决实际问题的能力第 3 页第三章第一节：拉格朗日中值定理第 4 页第三章.第一节拉格朗日中值定理(),(,)(,)()()()()()()()()()如果函数满足下列条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导，则在开区间内至少存在一点，使得函数在该点的导数满足等式或 yf xa ba ba babyf xf bf aff bf afbaba定理1 拉格朗日（Lag
2、range）中值定理第 5 页第三章.第一节拉格朗日中值定理,()(,)()：若在上的连续曲线在内光滑（可导），则在曲线上至少存在一点（），使曲线在 点的切线平行于过曲线两端点，的弦，如图所示a byf xa bCfabCA B几何意义，第 6 页第三章.第一节(),()(),()()0,如果函数满足下列条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）在区间端点的函数值相等，即，则在开区间内至少存在一点（）,使得函数在该点的导数等于零，即：罗尔中值定理是拉格朗日中值定理在两端点处函数值相等时的特例.yf xa ba bf af ba babyf xfa bRoll smean-valu
3、e theorem罗尔中值定理（）注推论1拉格朗日中值定理第 7 页第三章.第一节()(1)(2)(3)()0()(1)(2)(3)()(1)(2)(3)()1 2(12)(1)(2)()1 2f xxxxfxf xxxxffff xfff x 不求函数的导数，说明方程至少有几个实根，并指出它们所在的区间 因为是初等函数，定义域为，所以此函数连续且可导，又因此，函数在闭区间，上连续，在开区间，内可导，即在，上满足罗尔中值定理的三个条件，则至少1例解1122(1 2)()0()2 3(2 3)()0()0(1 2)(2 3).ff xffx存在，使得；同样，在，上也满足罗尔中值定理的条件，则至少
4、存在，使得所以，方程至少有两个实根，分别在，与，内拉格朗日中值定理第 8 页第三章.第一节()()()=0()()()g()()()()g()()如果函数在区间，内可导，且，则函数在区间，内是一个常数如果函数与在区间内每一点都可导，且，则函数与在区间，内相差一个常数f xa bfxf xa bf xxfxg xf xxa b23推论推论拉格朗日中值定理第 9 页第三章.第一节3322()20 1()2()0 1()32(0 1)()(0 1)(1)(0)()10301132(0 1)13验证函数在区间，上满足拉格朗日定理的条件，并求出 的值因为初等函数在其定义域，+上连续，因此在闭区间，上也连
5、续，又 在开区间，内存在，故满足拉格朗日定理的两个条件于是，在，内存在，使得，即，解得故在，内，f xxxf xxxfxxf xfff 2例解133为所求（舍去）拉格朗日中值定理第 10 页第三章.第一节22arcsinarccos2()arcsinarccos11()011()0(0)arcsin 0arccos022arcsinarccos2证明设，则，所以（为常数）令，则，所以xxf xxxfxxxf xC CxfCxx3例证拉格朗日中值定理第 11 页第三章.第一节00e1()e0()(0)eee1()e100e1e1xxxxxxxxf xxf xffxxxxx4证明当时，设，在，上，
6、满足拉格朗日中值定理的条件，因此存在一点，使得，即，所以例证拉格朗日中值定理第 12 页第三章第二节：洛必达法则其他类型的未定式 型未定式00 型未定式第 13 页第三章.第二节洛必达法则00()()()()lim()00 当（或）时，若函数，都趋于零或为无穷大，其极限可能存在，也可能不存在因此，通常把这种极限称为，分别记为型和型对于未定式，即使它的极限存在，也不能用商的极限的运算法则来计算为此，本节将介绍计算未定式极限的一种简便、有效的方法xxxxxxf xxf xxHospital洛必达（）法则未定式第 14 页第三章.第二节0000000()()lim()lim()0()()()0()l
7、im()()()limlim()()xxxxxxxxxxf xxf xxxxfxxxfxAxf xfxAxx1若函数，满足下述条件：（1）；（2）在点的某个邻域内（点可以除外），与均存在，且；（3）（或为无穷大），则有（或为无穷大）.（洛必达法则）定理00一、型未定式洛必达法则第 15 页第三章.第二节2020001001coslim01cossin1limlim.022(1)1lim(1)1(1)0limlim.01求型未定式，所以求型未定式，所以xxxxxxxxxxxxxxxxx12例解例解洛必达法则第 16 页第三章.第二节00000coslimsin00cos1cossin0limli
8、m()sin1cos0sinsincoslimsinlim(2cos)21 13.sin求型未定式，所以仍未型xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 3例解洛必达法则第 17 页第三章.第二节2222arctan2lim11arctan012limlimlim1.1101求型未定式，所以xxxxxxxxxxxx4例解洛必达法则第 18 页第三章.第二节coslimsin001sinlim1cos11coscoslimlim1.1sin1sin求型未定式，由于对分子、分母同时求导后的极限不存在，所以不能用洛必达法则求解.事实上，xxxxxxxxxxxxxxxxxx5例解洛必达法则
9、第 19 页第三章.第二节0000000()()lim()lim()()()()0()lim()()()limlim()()xxxxxxxxxxf xxf xxxxfxxxfxAxf xfxAxx2若函数，满足下述条件：（1），；（2）在点的某个邻域内（点可以除外），与均存在，且；（3）（或为无穷大），则有（或为无穷大）.（洛必达法则）定理二、型未定式 洛必达法则第 20 页第三章.第二节10200000lnlim01ln1limlimlim0.ln cotlimln1(csc)ln cot1cotlimlimlim(1)limlim1.1lncossincossinnxnnnxxxxxxxx
10、xxnxxxxnxnxxxxxxxxxxxxxx 67求（）.型未定式，所以求例解例解洛必达法则第 21 页第三章.第二节55432lime52060limlimlimlimeeee120120limlim0.eexxxxxxxxxxxxxxxxxxxx8求型未定式，所以例解洛必达法则第 22 页第三章.第二节00000ln 0ln1ln0111000110200030 1eeeee（）型，先化为型或型，然后用洛必达法则求出其值；（）型，先化为型，再化为型，最后用洛必达法则求出其值；（），或型，先化为，或型，再化为或型，最后用洛必达法则求出其值求值具体步骤如下：三、其他类型的型未定式洛必达法则
11、第 23 页第三章.第二节00000200000limln1ln0limlnlimlimlim()0.1111lim()sin11sin1cossinlim()limlimlim0.sinsinsincoscoscossin求型未定式，所以求型未定式，所以xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx910例解例解洛必达法则第 24 页第三章.第二节000limln0lnln00000002limln00lim0limlim elim ee1lnlimlnlimlimlim()011limee1.求型未定式，因为，而所以xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
12、xxxxxxxx11例解洛必达法则第 25 页第三章第三节：函数的单调性与极值函数的单调性函数的极值第 26 页第三章.第三节函数的单调性与极值()()1()()0()2()()0()yf xa ba bxa bfxf xa bxa bfxf xa b1设函数在区间，上，在区间，内（）如果，时，则在，上；（）如果，时，则在，上：将定理中的闭区间改为其他各种区间，结论仍成立连续可导单调增加单调减少注一、函数定的单调性理第 27 页第三章.第三节3221212()29126()()()618126(1)(2)()6(1)(2)01212(1)(1 2)(2)()(12)求函数的单调区间（1）的定义
13、域为，；（2），令，得，；（3）列表，点，将定义域分为三个小区间：，如表所示（4）的单调递增区间为，和，单f xxxxf xfxxxxxfxxxxxxxf x1例解1 2调递减区间为，x()fx()fx1，1020(1 2)，(2)，函数的单调性与极值第 28 页第三章.第三节323()(1)()()2()1()311(1)(1)()1)(1.f xxf xfxxfxxxf x2求函数的单调区间（1）函数的定义域为，；（2），当时，不存在.（3）列表，点将定义域分为三个小区间：，如表所示（4）的单调递增区间为，单调递减区间为，例解x()fx()fx1，1不存在(1)，函数的单调性与极值第 29
14、 页第三章.第三节()0()1()fxfxfx（1）求出函数的定义域；（2）求出和不存在的点；（3）用（2）中的两类点将函数的定义域划分成若干个小区间并列表，根据定理 判断在每个小区间的符号，即可求出函数的单调增减区间；（4）对照表中的增减区间作答讨论函数单调性的一般步骤为：函数的单调性与极值第 30 页第三章.第三节000000000()()()()()()()()()()()f xxx xxf xf xf xf xxf xx xxf xf xf xf xf x1设函数在点的某邻域内有定义，如果对该邻域内的任意一点（），恒有，则称为函数的，称为函数的；如果对该邻域内的任意一点（），恒有，则称
15、为函数的，称为函数的函数的极大值与极小值统称为函数的，极大值点与极小值点统称为极大值极大值点极小值极小值极点二点值极值、函数的极值定义函数的单调性与极值第 31 页第三章.第三节0000()()()0()0 xf xfxfxfx2如果点是函数的极值点，且存在，则使的点称为函数的：驻点不一定是极值点（极值存在的必要条件）驻点注定理函数的单调性与极值第 32 页第三章.第三节00000000000()()()0()0()()0()0()()()f xxfxxxfxxxfxf xxxxfxxxfxf xxxxxxfxf xx3设函数在点的某个邻域内连续且可导（可以不存在），（1）如果当时，而当时，则
16、函数在点处取得；（2）如果当时，而当时，则函数在点处取得；（3）如果当和时，符号相同，则函数在点处第一充分条件（）极大值极小值不取得极值定理函数的单调性与极值第 33 页第三章.第三节3221211()333()()23(1)(3)()01341(1)3(3)123f xxxxfxxxxxfxxxxfxf 3求函数的极值点和极值（1）定义域为,；（2），令，得驻点，；（3）列表讨论：（4）极大值点为，极大值为；极小值点为，极小值为例解x()fx()fx(1),10(1 3),30(3),43极大值12极小值函数的单调性与极值第 34 页第三章.第三节23313123()3()2()2180()
17、8(8)40(0)0f xxxxfxxxxfxxxfxf 4求函数的极值点和极值（1）定义域为,；（2），驻点；在点处，导数不存在.（3）列表讨论：（4）极大值点为，极大值为；极小值点为，极小值为例解x()fx()fx(0),0不存在(0 8),80(8),0极小值极大值4函数的单调性与极值第 35 页第三章.第三节000000000()()0()0()0()()()0()()f xxfxfxfxf xxf xfxf xxf x4设函数在点处有一阶、二阶导数，且，（1）如果，则在点处有极小值；（2）如果，则在点处有极大值（第二充分条件）定理函数的单调性与极值第 36 页第三章.第三节321()
18、3()()()1()212(1)20()1(1);32(1)20()1(1)3f xxxf xfxxfxxxff xxfff xxf 5求函数的极值（1）定义域为,；（2），驻点；（3），在处取得极大值，在处取得极小值例解函数的单调性与极值第 37 页第三章.第三节432()()()4()12()=00.()0320()0.f xxfxxfxxfxxfxxf xx 6求函数的极值（1）定义域为,；（2），.令，得驻点因为，定理 失效；用定理 判定，在点的左侧为减函数，右侧为增函数，即在取得极小值零例解函数的单调性与极值第 38 页第三章.第三节()()()()()23f xf xfxfxfx(
19、)（1）求出函数定义域；（2）求出函数的全部驻点和不可导点；（3）在每个上述点两侧考察的符号（该点处的值）；（4）用定理（或定理）判断出极值点并求出极值求函数的极值的一般步骤归纳如下：f x函数的单调性与极值第 39 页第三章第四节：函数的最值第 40 页第三章.第四节函数的最值000000000()()()()()()()()()()()()()a bf xxf xf xxxf xf xf xf xa bxf xa bf xf xf xf xa bxf xa b1在区间，上的连续函数，如果在点处的函数值与区间上其余各点的函数值（）相比较，都有（1）成立，则称为在，上的，称点为在，上的；（2）
20、成立，则称为在，上的，称点为在，上的最大值最大值点最小值最最大值和小最值点小值统称为定义最值.第 41 页第三章.第四节212()()()f xf bf x（）极值与最值的区别与联系：极值是局部概念，最值是整体概念；极大值与极小值无大小关系，而最大值一定比最小值大，最小值一定比最大值小（）分析最值可能存在的位置如图所示，的最大值是，最小值是，说明函数的最值可能在极值点处、区间端点处取得注：函数的最值第 42 页第三章.第四节()()()f xa bf xa bf xa b()（1）求出在（，）内的所有驻点及不可导的点；（2）求出各驻点、不可导点以及区间端点的函数值；（3）比较上述各函数值的大小
21、，其中最大者是在，上的最大值，最小者是在，上的最小值，求函数在上的最值的一般步骤为：f xa b函数的最值第 43 页第三章.第四节323222233()2 1 42(1)22()3(2)3(2)()01023()(1)3(0)0(1)1(2)0(4)2.()1(1)1f xxxxxfxxxxxfxxxxf xffffff xxf 1求函数在，上的最大值与最小值（1）；（2）令，得驻点，不可导点为，（）求出函数在这些点及端点处的函数值：，比较得，函数在处取得最大值；在例解4(4)2xf 处取得最小值函数的最值第 44 页第三章.第四节00000()()()()()()()()()()()()(
22、)f xa bf xf bf af xa bf af af xxxf xf xf xf xf x（1）如果连续函数在，上单调增加，则的最大值与最小值分别为，；如果连续函数在，上单调减少，则的最大值与最小值分别为，（2）如果函数在一个区间（有限或无限、开或闭）内可导且只有一个驻点，并且该驻点为的极值点，当是极大值时，则为在该区间上的最大值；当两种特殊情况分析：0()()f xf x是极小值时，则为在该区间上的最小值函数的最值第 45 页第三章.第四节222252()e15()(15)()2 e0()15111515(1)(5)ee()2 e00()2(21)e(0)20 xxxxf xxfxxf
23、 xfffxxxfxxf 2求函数在指定区间上的最值(1)，；(2)，；（1）当时，因此在区间，上单调减少，所以，在区间，上的最大值为，最小值为（2）由，得驻点又，例解()0(0)1()()(0)1f xxff xf因此，在处取得极大值，所以在，的最大值为，无最小值函数的最值第 46 页第三章.第四节3如图所示，有一块边长为的正方形铁皮，从其四个角截去大小相同的四个小正方形后，制成一个无盖的容器，问截去的小正方形的边长为多少时，该容器的体积最大？例函数的最值第 47 页第三章.第四节223max3()(2)(0)2()(2)(0)2()(2)(6)()062()6272627xaV xaxxx
24、aV xaxxaVxax axVxxaVaaa设截去的小正方形的边长为，则制成的无盖容器的体积为，则该问题为：求函数在，内的最大值因为，令，得唯一解于是有，即当截去的小正方形边长为时，制成容器的体积最大，为解函数的最值第 48 页第三章.第四节5018010204某房地产公司有套公寓要出租，当每月每套租金为元时，公寓会全部租出去，当每月每套租金增加元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费元的整修维护费，试问房租定为多少时可获得最大收入？例函数的最值第 49 页第三章.第四节1805010180()(20)(50)(20)(68)0)10101()(68)(20)()7010105(
25、)0350350(350)(35020)(68)1089010350 xxxxR xxxxxxR xxR xxR设每月每套租金定为元，租出去的房子有套，那么每月的总收入为，求导得，令，得一个驻点，而（元）故当每月每套租金为元时，月收解10890入最高，为元函数的最值第 50 页第三章第五节：曲线的凹凸性、拐点与图像的描绘曲线的凹凸性及其判定曲线的拐点及其判定函数图像的描绘第 51 页第三章.第五节曲线的凹凸性、拐点与图像的描述()()()()()()()()()yf xa ba bxa byf xx yyf xyf xa ba bxa byf xx yyf xyf xa b1设函数在闭区间,上
26、连续，在开区间,内可导，（1）若对于任意一点，曲线弧过点,的切线总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在区间,内为，区间,为；（2）若对于任意一点，曲线弧过点,的切线总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在区间,内为凹的凹区间凸一、曲线的凹凸性及判定义其定a b，区间,为的凸区间第 52 页第三章.第五节()()0()()0()yf xa ba bfxyf xa ba bfxyf xa b1设函数在开区间,内具有二阶导数，那么（1）如果在内,，则曲线弧在,内是；（2）如果在内,，则曲线弧在,内是凹的凸的定理曲线的凹凸性、拐点与图像的描述第 53 页第三章.第五节2222ln11(0)01lnarctan12(
27、)1(1)1arctan(0)(0)yxyyxxyyxyxxyyxxyx 12判断曲线的凹凸性（1）定义域为，；（2），；（3），由定理 知，曲线是凸的判断曲线的凹凸性（1）定义域为，；（2），；（3）由定理 知，曲线在区间，内是凹的，区间，内是凸的例解例解曲线的凹凸性、拐点与图像的描述第 54 页第三章.第五节00000()()()()()()()()0yf xyf xyf xyf xxfxxf xyf xfx22设函数在某一区间上连续，则曲线在该区间的凹弧与凸弧的分界点称为曲线的设函数在点处的二阶导数存在，如果点，是曲线的拐点，则有1.曲线拐点的概念2拐.拐点的必点要条件定义二、曲线的拐点
28、及理其判定定曲线的凹凸性、拐点与图像的描述第 55 页第三章.第五节00000000()()()()()()()0()yf xxfxxfxxf xyf xfxfxfx3设函数在点的某邻域内有连续的二阶导数（可以不存在），如果在点的两侧为异号，则点，是曲线的拐点（1）确定函数的定义域；（2）求出；（3）求出使和不存在的点；（4）列表，用（3）中求得的点把函数的定义域分成若干小区间，考察3.拐点的充分条件4.判定曲线的凹凸性和求拐点的步骤定理0()13fx二阶导数在各小区间的符号，由定理 和定理 判定曲线在各小区间上的凹凸性并求出拐点曲线的凹凸性、拐点与图像的描述第 56 页第三章.第五节4332
29、21221()46121212(1)001(0)(1)(0 1)(0 1)(1 0)yxxyxxyxxx xyxx3求曲线的凹凸区间和拐点（1）定义域为，；（2），由，得，（3）列表讨论：（4）凹区间为，和，凸区间为，曲线的拐点为，和，例解xyy(0)，001(0 1)，100 x曲线的凹凸性、拐点与图像的描述第 57 页第三章.第五节5323391(2)10()31(2)222(2)(2)(2 1)yxyxyxxy4讨论曲线的凹凸性，并求拐点（1）定义域为，；（2），（3）当时，不存在列表：（4）曲线在区间，内是凸的，在区间，内是凹的，曲线的拐点为，例解xyy(2)，2不存在1(2)，曲线的
30、凹凸性、拐点与图像的描述第 58 页第三章.第五节2如果一条曲线在它无限延伸的过程中，无限接近于一条直线，则称这条直线为该曲线的渐近线分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线渐近线1.渐近线三、函数图像的定义描绘曲线的凹凸性、拐点与图像的描述第 59 页第三章.第五节()lim()()xxf xbf xbybyf x1如果当自变量时，函数以常数为 极限，即，则称直线为曲线的.水平渐近线水平渐近线22212lim001xxyxxyx5求曲线的水平渐近线因为，所以是曲线的水平渐近线例解曲线的凹凸性、拐点与图像的描述第 60 页第三章.第五节000()lim()()xxxxf xf xxxyf x2如果
31、当自变量时，函数为无穷大量，即，则称直线为曲线的.垂直渐近线垂直渐近线23233lim0 lim0222xxyxyyxx6求曲线的水平渐近线因为，所以直线和分别为曲线的水平渐近线和垂直渐近线例解曲线的凹凸性、拐点与图像的描述第 61 页第三章.第五节()lim()()0()()limlim().xxxyf xf xaxbyaxbf xyf xabf xaxx3若对于函数，有成立，则称直线为曲线的，其中，.斜渐近线斜渐近线2211lim11()limlim1lim()lim1.111xxxxxxyxxxxf xxxaf xaxbxxxyx 7求曲线的水平渐近线因为，所以直线为曲线的垂直渐近线又因
32、为，所以直线是曲线的斜渐近线例解曲线的凹凸性、拐点与图像的描述第 62 页第三章.第五节描绘函数图像的步骤为：（1）确定函数的定义域；（2）讨论函数的奇偶性、周期性、对称性；（3）讨论函数的单调性和极值；（4）讨论函数的凹凸性和拐点；（5）讨论曲线的渐近线；（6）确定曲线的某些特殊点，特别是与坐标轴的交点；（7）描图2.函数图像的做法曲线的凹凸性、拐点与图像的描述第 63 页第三章.第五节3221223()()666(1)00111266(21)02yxxyxxx xyxxyxxyx8作函数的图像（1）函数的定义域为，值域为，；（2）函数无奇偶性，也无周期性；（3），令，得驻点，；，令，得例解曲线的凹凸性、拐点与图像的描述第 64 页第三章.第五节列表：xyyy(0)，001(0)2，12011()22，1(1)2，10(1)，0极大值拐点1极小值曲线的凹凸性、拐点与图像的描述第 65 页第三章.第五节13(1)(0 0)(0)22（5）辅助点：，；（6）描点作图，如图所示曲线的凹凸性、拐点与图像的描述
