1、目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件一、一、多元函数的极值多元函数的极值 定义定义:若函数则称函数在该点取得极大值例如例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有xyzOxyzOxzyO(极小值).目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件提示提示:由题设 例例1.已知函数(D)根据条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)
2、的极值点.则()0,0(),(在点yxf的某个邻域内连续,且.),()0,0()(的极值点不是点yxfA,1)(),(lim22200yxyxyxfyx.),()0,0()(的极大值点是点yxfB.),()0,0()(的极小值点是点yxfC0lim,1)(),(00222yxyxyxyxf其中222222)()(),(yxyxyxyxf确定的正负由的邻近，在yxyxf),()00(A(2003 考研)目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件说明说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.例如,定理定理1(必要条件)函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
3、0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件时,具有极值定理定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令则:1)当A0 时取极小值.2)当3)当证明见 第九节(P121).时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(000
4、0yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC且目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件例例2.2.求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0,1(f,0Axyxyxyxf933),(223
5、3目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3(f6,0,12CBA31)2,3(f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2)处不是极值;6,0,12CBA)2,1(f,0)6(122 BACABC目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件例例3.讨论函数及是否取得极值.解解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.因此,022时当 yx
6、222)(yxz0)0,0(z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)并且在(0,0)都有 02 BAC33yxz可能为0)()0,0()0,0(222yxzOxyz目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别,当区域内部最值存在,且只有一个只有一个极值点P 时,)(Pf为极小值)(Pf为最小值(大大)(大大)依据目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件例例4 4.解解:设水箱长,宽分别为 x,y m,则高
7、为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件例例5.有一宽为 24cm 的长方形铁板,把它折起来做成解解:设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,Acos2224xx x
8、224(21sin)xsincossin2sin2422xxxx224x积最大.)0,120:(2 xD为问怎样折法才能使断面面目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学
9、课件三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值:条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制例如,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz)(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.分析：分析：如方法 1 所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极故极值点必满足记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx设,)(xy)(,(xxfz例如例如,值问题
10、,0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如例如,求函数下的极值.在条件),(zyxfu,0),(zyx0),(zyx
11、),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件例例6.要设计一个容量为0V则问题为求x,y,令解方程组解解:设 x,y,z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz试问目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件得唯一驻点,2230Vzyx302
12、4V由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此,当高为,340Vxyz思考思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示提示:利用对称性可知,30Vzyx2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价 应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2长、宽、高尺寸相等.最省,目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件内容小结内容小结1.函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题函数的条件极值问题(
13、1)简单问题用代入法,),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题函数的最值问题在条件求驻点.),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点
14、C,使ABC 面积 S最大.解答提示解答提示:设 C 点坐标为(x,y),思考与练习思考与练习 21031013yxkji)103,0,0(21yx)0,0(14922yxyx则 ACABS2110321yxCBAyxEDO目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形面积最大.)491()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646.1S,54,53yx,5.3,2EDSS点击图中任意点动画开始或暂停目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-
15、9同济版高等数学课件 P117 3,5,9,10,13 习题课 作业作业目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件注 备用题备用题 1.求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解解:设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,2zyxzyx它们所对应的三个三角形面积分别为,sin2211xRS,sin2212yRS zRSsin22130,0,0zyx设拉氏函数)2(sinsinsinzyxzyxF解方程组0cosx,得32zyx故圆内接正三角形面积最大,最大面积为 32sin322maxRS.4332R0cosy0cosz02zyx注则 注因此前者不可能为圆内接三角
16、形中面积最大者.BCA1A若ABC 位于半圆内(如图),则其BC 边上的高小于A1BC 同边上的高,故前者的面积小于后者，目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?提示提示:sin21sin21dcbaS)0,0(目标函数目标函数:cos2cos22222dcdcbaba约束条件约束条件:dcba,abcd答案答案:,即四边形内接于圆时面积最大.2.求平面上以目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件3.设某电视机厂生产一台电视机的成本为c,每台电电视机的销售价格为p,销售量为x,假设该厂的生产
17、处于平衡状态,即生产量等于销售量.根据市场预测,x 与p 满 足关系:(0,0)eapxMMa其中M是最大市场需求量,a是价格系数.又据对生产环节的分析,预测每台电视机的生产成本满足:)1,0(ln0 xkxkcc其中c0是生产一台电视机的成本,k是规模系数.问应如何确定每台电视机的售价 p,才能使该厂获得最大利润？解解:生产x台获得利润xcpu)(问题化为在条件,下求xcpu)(的最大值点.目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件精品课件精品课件！目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件精品课件精品课件！目录 上页 下页 返回 结束 2022-12-9同济版高等数学课件)0,0(aMMexpa)1,0(ln0 xkxkccxcpu)(作拉格朗日函数xcpcpxL)(),()eapxM)ln(0 xkcc令0)(xkcpLx0eappLxaM0 xLc将代入得,1a由得1x将以上结果及,代入,得解得kakMkcppa1ln10*因问题本身最优价格必定存在,故此 p*即为所求.01)(ln0kapaMkcp
