1、 设设(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量,若若,2,1 k),(kXE存在存在,则称它为随机变量则称它为随机变量 X 的的,简称简称.,3,2 k)(kXEXE 若若存在存在,则称它为随机变量则称它为随机变量 X 的的.)(lkYXE 若若,2,1,lk存在存在,则称它为则称它为 X 与与 Y 的的.若若)()(lkYEYXEXE ,2,1,lk存在存在,则称它为则称它为 X 与与 Y 的的.0)(XEXE数学期望数学期望 E(X)是一阶原点矩，是一阶原点矩，)()(2XEXEXD 方差是二阶中心矩，方差是二阶中心矩，一阶中心矩，一阶中心矩，协方差是协方差是 1+1 阶混合中心矩，阶混合中
2、心矩，1+1 阶混合原点矩，阶混合原点矩，)()(),Cov(YEYXEXEYX )(XYE)()(121111XDXEXEC ，),Cov()()(21221112XXXEXXEXEC 介绍介绍 n 维随机变量的协方差矩阵维随机变量的协方差矩阵考虑考虑 n=2 的情况的情况，),Cov()()(12112221XXXEXXEXEC )()(222222XDXEXEC 22211211CCCCX1与与X2的的 CnCCC11211nCCC22221.nnnnCCC21nji,3,2,1,，),Cov()()(jijjiiijXXXEXXEXEC n 维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn),则
3、称则称n 阶矩阵阶矩阵为为n 维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的的.易见易见C是对称阵是对称阵,可以证明可以证明C是非负定阵是非负定阵.Rn11211 n22221 .nnnn 211 ii),1(ni)()(),cov(jijiijXDXDXX ),1,(nji 设设(X1,X2,Xn)是是n 维随机变量维随机变量,Xi与与Xj的相关系数的相关系数ij(i,j=1,2,n)存在存在,则称矩阵则称矩阵为该随机变量的为该随机变量的.R 也是对称半正定矩阵也是对称半正定矩阵.，),(),(22212121 NXX,21 xxX,21 22211211CCCCC 22212121 ,41,4
4、)(,1)(XYYDXD ),Cov(YXXY)()(YDXD21 ),Cov(2)()()(YXYDXDYXD 4),Cov(6)()(9)3(YXYDXDYXD 16 求求(X+Y,3X Y)的协方差矩阵和相关矩阵的协方差矩阵和相关矩阵.)3,Cov(YXYX )()(YEXEYXE )()(33YEXEYX 例例1 若若解解:)()(YEYXEXE )()(3(YEYXEX )(3XD),Cov(2YX)(YD 2 )3()()3,Cov(YXDYXDYXYX 41 )()(YEXEYXE )()(33YEXEYX 1642 X+Y 与与3X Y 的相关系数为的相关系数为 16224C
5、125.025.01R(X+Y,3X Y)的协方差矩阵的协方差矩阵(X+Y,3X Y)的相关矩阵的相关矩阵.1,221 )1(41)1)(2(23)2(222),(yyxxAeyxf),(yxf221121 exp211 x 222 y22112 yx )1(212 与下式比较与下式比较例例2 设随机向量设随机向量(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,求求A 和和(X,Y)的协方差矩阵和相关矩阵的协方差矩阵和相关矩阵.解解:(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,2 2122)1(21 3 2221)1(21 21 2121)1(21 11 22 23 21 221121 A21),
6、Cov(YX3 4331C 123231R协方差矩阵协方差矩阵相关矩阵相关矩阵协方差矩阵的主对角线上的元素是什么协方差矩阵的主对角线上的元素是什么?相关矩阵的主对角线上的元素是什么相关矩阵的主对角线上的元素是什么?协方差矩阵的主对角线上的元素协方差矩阵的主对角线上的元素Cii是相应的第是相应的第i个随机变量的方差个随机变量的方差;相关矩阵的主对角线上的元素相关矩阵的主对角线上的元素ii都为都为1.1.已知随机变量已知随机变量X,Y 的联合分布为的联合分布为12.018.010.0118.012.030.01102 XY求协方差阵求协方差阵 1226 1699191196V2.二维正态分布随机变量二维正态分布随机变量(X,Y)的期望向量的期望向量和协和协方差矩阵方差矩阵V,分别是分别是求求(X,Y)的联合概率密度函数的联合概率密度函数 f(x,y).65.124.024.096.0V 169)12(182)12)(26(196)26(32exp31821),(.222yyxxyxf 65.1)(,5.0)(,96.0)(,2.0)(.1 YDYEXDXE24.0),Cov(,34.0)(YXXYE
