1、数论中的若干问题和进展数论中的若干问题和进展徐飞一一.概述概述Peano公理：自然数（正整数）和零。减法：整数 Z。除法：有理数 Q。极限：实数 R。(,2,)求解代数方程 ：复数 C。一一.概述概述数论大致分为两类问题：1）素数问题。如Riemann猜想，Goldbach猜想等。2）整系数多项式方程的整数解。如Fermat猜想，BSD猜想等。二二.素数素数 如果正整数m整除正整数n，称m是n的一个因子。如果正整数p的因子只有1和p，那么p称为素数。如 2，3，5，7，11，13，17，19 等等。二二.素数素数 算术基本定理：任何一个正整数都可表示为素数的乘积。不考虑乘积秩序，表达式唯一。如
2、：4=2x2,6=2x3，12=2x2x3 等等。二二.素数素数定理（Euclid）：素数有无限多。证法一：如果素数只有有限多个，记为那么根据算术基本定理，的素数因子就一定不是上述的素数，矛盾！二二.素数素数证法二（Riemann)：根据算术基本定理，其中s是大于1的实数。如果素数只有有限多，那么无论s取什么值等式右边都是有限值，而等式左边当s=1时是发散的。矛盾！二二.素数素数利用证法二可以证明：定理（Dirichlet)：等差级数 a，a+d，a+2d，a+nd，中如果a和d互素，那么该等差级数中会有无限多个素数。二二.素数素数Riemann zeta 函数满足函数方程s1-s。(Riem
3、ann猜想)：Riemann zeta函数的非平凡零点在实部为1/2的竖直线。二二.素数素数 如果p和p+2都是素数，称（p，p+2）为孪生素数。如（3，5）；（5，7）；（11，13）；（17，19）等等。猜想：孪生素数有无限多对？二.素数 Green-Tao定理：对任意正整数n，存在长度为n且每一项都是素数的等差级数。例如：3，7，11 (n=3)5，11，17，23，29 (n=5)二.素数目前用计算机明确找到最长的素数等差级数是 6171054912832631+366384x223092870 xk:k=0,1,2,24 二.素数猜想1:(Goldbach 猜想)任意大于2的偶数都可
4、写成两个素数的和。猜想2:(Schinzel 猜想):首项系数为正的整系数不可约多项式,若没有固定正因子,则存在无限多个素数可表示为该多项式的形式。二.素数特例:(Landau 猜想)是否存在无限多素数可写为 x+1的形式？类似地，可以有多个变元和若干个多项式的Schinzel 猜想。二.素数Dirichlet 定理：对任给定的非退化本原二元二次型，都存在无限多个素数可表示为该二元二次型的形式。Iwaniec 将这个结果推广到二元二次非退化本原多项式情形。二.素数Friedlander-Iwaniec（1998）定理：存在无限多个素数可以表示为 x +y 的形式。Heath-Brown（200
5、1）定理：存在无限多个素数可以表示为 x +2y 的形式。三.丢番图方程整数为系数的多项式方程都称为丢番图方程。希尔伯特第十问题：是否存在一个能确定整系数多项式方程有无整数解的算法？答案：否。(Davies-Putnam-Robinson-Matijasevic-Cudnovskii)三.丢番图方程必要条件：1）方程在实数域上有解。2）方程模任何整数m有解。三.丢番图方程例：方程没有整数解。（没有实数解）。例：方程 没有整数解。（模3没有解）。三.丢番图方程设 为素数。由中国剩余定理：三.丢番图方程 对素数p，考虑 （乘积拓扑）的闭包。记为Zp。上述必要条件:方程在实数域R和Zp上均有解。此时
6、称方程局部有解。四.线性方程 由带余除法法：线性方程有整数解当且仅当方程局部有解，即上述必要条件也是充分条件。五五.二次方程二次方程 一个二次齐次整系数方程有本原解当且仅当该方程局部有非平凡解。（Hasse-Minkowski 定理）一般一个二次整系数方程局部有解推不出它有整数解。这个问题有比较完整的答案，但仍没有得到彻底解决。五.二次方程二次方程 例(Fermat)：若二次齐次方程F(x,y,z)=0有一个非平凡的整数解，则该方程有无限多组本原整数解，由 Q参数化。费马的证明：F(x,y,z)=0有非平凡的整数解一一对应于 的有理解。五.二次方程二次方程(Fermat-Gauss):一个整数
7、可表为两个整数的平方和当且仅当局部可表为两平方和。(Gauss-Legendre):一个整数可表为三个整数的平方和当且仅当局部可表为三平方和。(Lagrange):每个正整数可表为四个整数的平方和。六.三次方程 三次齐次多项式局部有非平凡解推不出该方程有整数解。三元三次齐次光滑整系数多项式给出射影空间亏格为1的一条光滑曲线。判定这类整系数方程是否存在非平凡的本原的整数解仍没有一般的方法。六.三次方程如果三元三次齐次光滑整系数多项式方程有一个非平凡的本原的整数解，称该方程为椭圆曲线。记为E。椭圆曲线上非平凡的本原的整数解 E(Z)构成一个有限生成的交换群。(Mordell 定理)六.三次方程 根
8、据有限生成交换群的结构定理 E(Z)Z E(Z)定理(Mazur)：E(Z)16猜想：可任意大？六.三次方程 除有限多个素数外，E模素数p成为有限域上的一条椭圆曲线。定义：其中 =p+1-#E()。称为E的L-函数。六.三次方程定理定理(Wiles，Taylor-Wiles，Taylor，)：E的L-函数可解析开拓到全复平面并满足函数方程s 2-s。BSDBSD猜想猜想：E的L函数在s=1处零点的阶=。六.三次方程定理定理(Kolyvagin，Gross-Zagier)：当E的L-函数在s=1的阶1时，BSD猜想成立。七.高次方程定理（Siegel）：次数大于2的两个变元的整系数多项式（光滑）方程仅有有限多个整数解。定理（Faltings）：次数大于3的三个变元齐次（光滑）多项式至多仅有有限多个非平凡的本原解。七.高次方程定理（Wiles):如果n2,方程 的整数解满足 xyz=0。七.高次方程 Euler猜想：方程 x +y +z =w 没有正整数解。反例（Elkies-Frye）：95800 +217519 +414560 =422481七.高次方程 Catalan 猜想：方程 x -y =1仅有一组正整数解:x=3,a=2,y=2,b=3。Preda Mihailescu（2004）给出完整证明。谢 谢！
