1、与圆有关的比例线段(切割线定理)五五 与圆有关的比例线段与圆有关的比例线段ODPATBC一、下面我们首先沿用一、下面我们首先沿用从特殊到一般的思路从特殊到一般的思路,讨论与圆讨论与圆有关的相交弦的问题有关的相交弦的问题.探究探究1:如图如图1,AB是是 O的直径的直径,CDAB,AB与与CD相交于相交于P,线段线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？之间有什么关系？OBDACP图1证明证明:连接连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得则由圆周角定理的推论可得:AC.RtAPDRtCPB.探究探究2:将将图中的图中的AB向上（或向下）平移向上（或向下）平移,使使AB不再是不再是直径（如图），结
2、论（）还成立吗？直径（如图），结论（）还成立吗？OBDACP图图OBDACP图图PAPB=PCPD(1)证明证明:连接连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得则由圆周角定理的推论可得:AC.RtAPDRtCPB.OBDACP图图PAPB=PCPD(1)证明证明:连接连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得则由圆周角定理的推论可得:AC.APDCPB.探究探究3:上面讨论了上面讨论了CDAB的情形进一步地的情形进一步地,如果如果CD 与AB不不垂直，如图垂直，如图,AB、CD是圆内的任意两条相交弦是圆内的任意两条相交弦,结论（）还结论（）还成立吗？成立吗？OBDACP图图OBDACP图图PAPB
3、=PCPD(2)PAPB=PCPD(3)综上所述，不论综上所述，不论ABAB 、CDCD具有什么样的位置，具有什么样的位置，都有结论（）成立！都有结论（）成立！相交弦定理：相交弦定理：圆内的两条相交弦圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段被交点分成的两条线段长的积相等长的积相等.OBDACP几何语言：几何语言：AB、CD是圆内是圆内的任意两条相交弦的任意两条相交弦,交点为交点为P,PAPB=PCPD.上面通过考察相交弦交角变化中有上面通过考察相交弦交角变化中有关线段的关系，得出相交弦定理关线段的关系，得出相交弦定理.下面从新的角度考察与圆有关的比下面从新的角度考察与圆有关的比例线段例线段探究探
4、究4:使圆的两条弦的交点从使圆的两条弦的交点从圆内圆内（图）运动到（图）运动到圆圆上上（图），再到（图），再到圆外圆外（图），（图），结论结论(1)还成立吗？还成立吗？OBDACP图图3OBA(C,P)D图图4OBDACP图图5当点当点P在圆上在圆上,PA=PC=0,所以所以PAPB=PCPD=0仍成立仍成立.当点当点P在圆外在圆外,连接连接AD、BC,容易证明容易证明:PADPCB,所以所以PA:PC=PD:PB,即即PAPB=PCPD仍成立仍成立.如图如图,已知点已知点P为为 O外一点外一点,割线割线PBA、PDC分别交分别交 O于于A、B和和C、D.求证求证:PAPB=PCPD.证法证法
5、2：连接：连接AC、BD，四边形四边形ABDC为为 O 的内的内接四边形接四边形,PDB=A，又又 P=P,PBD PCA.PD：PA=PB：PC.PAPB=PCPD.割线定理：割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.应用格式（几何语言描述）应用格式（几何语言描述）:PAB,PCD是是 O 的割线的割线,PAPB=PCPD.OCPADB点点P从圆内移动到圆外从圆内移动到圆外PAPB=PCPDOBDACP图图3PAPB=PCPD图图5OCPADBOA(B)PCD使割线使割线
6、PA绕绕P点点运动到切线的位运动到切线的位置，是否还有置，是否还有PAPB=PCPD？证明证明:连接连接AC、AD,同样可以证明同样可以证明PADPCA,所以所以PA:PC=PD:PA,即即PA2=PCPD仍成立仍成立.如图如图,已知点已知点P为为 O外一点，外一点，PA切切 O于点于点A，割线，割线PCD 交交 O于于C、D.求证：求证：PA2=PCPD.证明：连接证明：连接AC、AD，PA切切 O于点于点A,D=PAC.又又 P=P,PAC PDA.PA：PD=PC：PA.PA2=PCPD.切割线定理切割线定理:从圆外一点引圆的切线和条割线从圆外一点引圆的切线和条割线,切线长切线长是这点到
7、割线与圆的交点的两条线段长的比例中项是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项.应用格式（几何语言描述）应用格式（几何语言描述）:PA是是 O 的切线的切线,PCD是是 O 的割线的割线,PA=PCPD.ODPCA探究探究5:使圆的割线使圆的割线PD绕点绕点P运动到切线位置，可运动到切线位置，可以得出什么以得出什么结论？结论？点点P P从圆内移从圆内移动到圆外动到圆外.相交弦定理相交弦定理PAPB=PCPDOBDACP图图3割线定理割线定理PAPB=PCPD图图5OCPADB使割线使割线PAPA绕绕P P点运动到切点运动到切线的位置线的位置.OA(B)PCD切割线定理切割线定理PA2=PCP
8、D使割线使割线PCPC绕绕P P点也运动到点也运动到切线的位置切线的位置.切线长定理切线长定理PA=PC,APO=CPOOA(B)PC(D)思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点？思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点？1.结论都为乘积式结论都为乘积式;2.几条线段都是从同一点出发几条线段都是从同一点出发;3.都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似）都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似）.PC切切 O于点于点C=PAPB=PC切割线定理切割线定理OBPCA割线割线PCD、PAB交交 O于点于点C、D和和A、B=PAPB=PCPD割线定理割线定理OBCADPAB交交
9、CD于点于点P=PAPB=PCPD相交弦定理相交弦定理OBPCADPA、PC分别切分别切 O于点于点A、C=PA=PC,APO=CPO切线长定理切线长定理OA(B)PC(D)另外，从全等角度可以得到：另外，从全等角度可以得到：2.联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？ADCBCO说明了说明了“射影定理射影定理”是是“相交弦定理相交弦定理”和和“切割线定理切割线定理”的的特例！特例！BADC例例1 如图如图,圆内的两条弦圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点相交于圆内一点P,已知已知PA=PB=4,PC=PD/4.求求CD的长的长.OBPCAD解：
10、设解：设CD=x,则则PD=4/5x,PC=1/5x.由相交弦定理，得由相交弦定理，得PAPB=PCPD,44=1/5x4/5x,解得解得x=10.CD=10.练习练习1.如图如图,割线割线PAB,PCD分别交圆于分别交圆于A,B和和C,D.(1)已知已知PA=5,PB=8,PC=4,则则PD=,PT=(2)已知已知PA=5,PB=8,PO=7,则半径则半径R=103练习练习2.如图如图,割线割线PAB,PCD分别交圆于分别交圆于A,B和和C,D,连结连结AC,BD,下面各比例式中成立的有下面各比例式中成立的有:ODPATBCPAPB=(7-R)(7+R)PAC PDB BED AEC PAD
11、 PCB OCPADBEOPADCB练习练习3.如图如图,A是是 O上一点上一点,过过A切线交直径切线交直径CB的延长线于的延长线于点点P,ADBC，D为垂足为垂足.求证：求证：PB:PD=PO:PC.分析：要证明分析：要证明PB：PD=PO：PC,很很明显明显PB、PD、PO、PC在同一直线在同一直线上无法直接用相似证明，上无法直接用相似证明，且在圆里的且在圆里的比例线段通常化为乘积式来证明比例线段通常化为乘积式来证明,所所以可以通过证明以可以通过证明PB PC=PD PO,而而由由切割线定理有切割线定理有PA2=PB PC,只需再只需再证证PA2=PD PO，而，而PA为切线为切线,所以所
12、以连接连接OA,由射影定理由射影定理 得到得到.例例2 如图如图,E是圆内两弦是圆内两弦AB和和CD的交点，直线的交点，直线EF/CB,交交AD的延长线于点的延长线于点F，FG切圆于点切圆于点G.求证：求证：(1)DFEEFA;(2)EF=FG.OBECADFG证明证明：(1)EF/CB,DEF=DCB.DCB和和DAB都是都是 上的圆周角上的圆周角.DAB=DCB=DEF.DFE=EFA（公共角）（公共角）,DFEEFA.(2)由由(1)知知 DFEEFA，EF2=FAFD.又又FG是圆的切线，是圆的切线，FG2=FAFD.EF2 =FG2,即即FG=EF.例例3如图，两圆相交于如图，两圆相
13、交于A、B两点，两点，P为两圆公共弦为两圆公共弦AB上任意一点，从上任意一点，从P引引两圆的切线两圆的切线PC、PD，求证：，求证：PC=PD.PC2=PAPB,PD2=PAPB.CPADB证明：由切割线定理可得：证明：由切割线定理可得：PC2=PD2.即即PC=PD例例4如图，如图，AB是是 O的直径，过的直径，过A、B引两条弦引两条弦AD和和BE，相交于点相交于点C求证：求证：ACAD+BCBE=AB2AEDCBFO证明：连接证明：连接AC、AD，过，过C作作CFAB,与与AB交于交于FAB是是 O的直径，的直径，AEB=ADB=900.又又 AFC=900,A、F、C、E四点共圆四点共圆
14、.BCBE=BFBA.(1)同理可证同理可证F、B、D、C四点共圆四点共圆.ACAD=AFAB.(2)(1)+(2)可得可得 ACAD+BCBE=AB(AF+BF)=AB2.例例5如图，如图，AB、AC是是 O的切线，的切线，ADE是是 O的割线，连接的割线，连接CD、BD、BE、CE.问题问题1:由上述条件能推出哪些结论？由上述条件能推出哪些结论？CD:CE=AC:AE,CDAE=ACCE.(2)同理可证同理可证BDAE=ACCE.(3)AC=AB,由由(2)(3)可得可得BECD=BDCE.(4)探究探究1:由已知条件可知由已知条件可知ACD=AEC,而而CAD=EAC,ADCACE.(1
15、)CAOBED图图1问题问题2 在图在图1中中,使线段使线段AC绕绕A旋转，得到图旋转，得到图2.其中其中EC交圆于交圆于G,DC交圆于交圆于F.此时又能推出哪些结论？此时又能推出哪些结论？问题问题2 在图在图1中中,使线段使线段AC绕绕A旋转，得到图旋转，得到图2.其中其中EC交圆于交圆于G,DC交圆于交圆于F.此时又能推出哪些结论？此时又能推出哪些结论？CAOBED图图1CAOBED图图2GF探究探究2:连接连接FG.与探究与探究1所得到的结论相比较所得到的结论相比较,可以猜想可以猜想ACDAEC.下面给出证明下面给出证明.AB2=ADAE,而而AB=AC,ADCACE.(5)而而CAD=
16、EAC,AC2=ADAE,同探究同探究1的思路，还可得到探究的思路，还可得到探究1得出的结论得出的结论(2)(3)(4).另一方面，由于另一方面，由于F、G、E、D四点共圆四点共圆.CFG=AEC.又又ACF=AEC.CFG=ACF.故故FG/AC.(6)你还能推出其他结论吗？你还能推出其他结论吗？问题问题3 在图在图2中中,使线段使线段AC继续绕继续绕A旋转，使割线旋转，使割线CFD变成切线变成切线CD,得到图得到图3.此时又能推出哪些结论？此时又能推出哪些结论？探究探究3:可以推出探究可以推出探究1 1、2 2中得到的中得到的(1)(1)(6)(6)的所有的所有结论结论.CAOBED图图2
17、GFCAOBED图图3PQG此外，此外，AC/DG.ADCACE.由由(7)(8)(7)(8)两式可得：两式可得：ACCD=AECG.(9)连接连接BD、BE,延长延长GC到到P,延长延长BD交交AC于于Q,则则PCQ=PGD DBE,所以所以C、E、B、Q四点共圆四点共圆.你还能推出其他结论吗？你还能推出其他结论吗？练习练习4.如图如图,过过 O外一点外一点P作两条割线作两条割线,分别交分别交 O于点于点A、B和和C、D.再作再作 O的切线的切线PE,E为切点为切点,连接连接CE、DE.已知已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm.（1）求）求PC的长的长;（2）设）设CE=a,试用试用
18、含含a的代数式表示的代数式表示DE.解：（解：（1）由切割线定理，得）由切割线定理，得PC PD=PA PBAB=3,PA=2,PB=AB+PA=5.设设PC=m,CD=4,PD=PC+CD=m+4.m（m+4）=25化简，整理得：化简，整理得：m2+4m10=0OPDEBAC324m解得：解得：(负数不合题意，舍去负数不合题意，舍去)由切割线定理得由切割线定理得:PE=PCPD=PAPB=10.由弦切角定理由弦切角定理,得得CEP=D.又又 CPE=EPD（公共角）（公共角）.CPEEPD.（2）设）设CE=a,试用含试用含a的代数式表示的代数式表示DE.OPDEC4ma练习练习5.如图：过
19、点如图：过点A作作 O的两条割线的两条割线,分别分别交交 O于于B、C和和D、E.已知已知AD=4,DE=2,CE=5,AB=BC.求求AB、BD.练习练习6.如图：如图：PA切切 O于于A，PBC是是 O的割线的割线.已知已知 O的半径为的半径为8，PB=4，PC=9.求求PA、PO.OAECDBOPCAB6,2810.PAPO=+=5 32 3,.3ABBD=课堂小结课堂小结1、这节课我们学习了割线定理、切割线定理、切线长、这节课我们学习了割线定理、切割线定理、切线长定理，要特别注意它与相交弦定理之间的联系与区别。定理，要特别注意它与相交弦定理之间的联系与区别。2、要注意圆中的比例线段的结论的特点及实际中的用。、要注意圆中的比例线段的结论的特点及实际中的用。3、圆中的比例线段在实际应用中也非常重要，注意与、圆中的比例线段在实际应用中也非常重要，注意与 代数、几何等知识的联系及应用代数、几何等知识的联系及应用
