1、三角形内角和定理(2)课件学习目标w1 1了解三角形的外角定义，掌握了解三角形的外角定义，掌握三角形外角的两个定理三角形外角的两个定理w2 2能综合运用三角形内角和定理能综合运用三角形内角和定理及外角的两个定理进行几何证明与及外角的两个定理进行几何证明与计算计算三角形内角和定理三角形三个内角和等于三角形三个内角和等于1801800 0.ABCABC中中,A+B+C=180A+B+C=1800 0.wA+B+C=180A+B+C=1800 0的几种变形的几种变形:wA=180A=1800 0 (B+C).(B+C).wB=180B=1800 0 (A+C).(A+C).wC=180C=1800
2、0 (A+B).(A+B).wA+B=180A+B=1800 0-C.-C.wB+C=180B+C=1800 0-A.-A.wA+C=180A+C=1800 0-B.-B.这里的结论,以后可以直接运用.回顾思考回顾思考ABC2.如图，如图，ABC中，中，270，360，点，点D在在BC的延长线上，则的延长线上，则4=，1=.猜想猜想:（1）1与与2、3三者之间有什么样的等三者之间有什么样的等量关系？量关系？（2）1 3，1 2（填（填）ABCD1234 回顾思考回顾思考5013011=22+33 外角的定义外角的定义：ABCABC内角的一条边与另一条边的内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的
3、角，称为反向延长线组成的角，称为ABCABC的的外角外角。DABC1 14 4ABC1 14 4E 探究新知探究新知1 1是是ABCABC的的一个一个外角。外角。画一画：你能在图中画出画一画：你能在图中画出ABCABC的其他外角吗？的其他外角吗？动手操作动手操作画外角画外角DABC1 12 23 34 4思考：思考：一个三角形一一个三角形一共有几个外角？共有几个外角？六个六个总结规律总结规律-外角的特征外角的特征DABC1 12 23 34 4顶点：顶点：1.1.在三角形的一个顶点上在三角形的一个顶点上边：边：2.2.一条边是三角形的一条边一条边是三角形的一条边边：边：3.3.另一条边是三角形
4、的另一条边的延长线上另一条边是三角形的另一条边的延长线上 图中，图中，ABCABC的外角有的外角有 _._.1，3，41234ABC 1.2.ABCD12 图中，图中，1 1 是是_的外角的外角 2 2 是是_的的外角外角ABDDBCDABC1 12 23 34 4如图，如图，11是是ABCABC的的ACBACB的一个外角的一个外角探究：探究：11与与ABCABC的内角有什么关系？的内角有什么关系？相邻内角相邻内角不相邻内角不相邻内角外外角角 探究新知探究新知1+4=1801+4=1800 0 1=2+31=2+31212，1313证明证明:2+3+4=180:2+3+4=1800 0(三角形
5、内角和定理三角形内角和定理),),1+4=180 1+4=1800 0(平角的意义平角的意义),),1=2+3.(1=2+3.(等量代换等量代换).).12,13(12,13(和大于部分和大于部分).).ABCD1234能证明你的结论吗能证明你的结论吗?三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.探究新知探究新知你能用你能用文字叙文字叙述上述述上述结论吗？结论吗？三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论:推论推论1:1:三角形的一个外角等于和它三角形的一个
6、外角等于和它不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和.推论推论2:2:三角形的一个外角大于任何三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角一个和它不相邻的内角.ABCD1234由一个公理或定理直接推出的真命题由一个公理或定理直接推出的真命题,叫做这个公理或定理的叫做这个公理或定理的推论.推论可以当作定理使用推论可以当作定理使用.w在在ABCABC中中 w1=2+3;1=2+3;w1212，13131 1、已知：已知：如图所示如图所示,在在ABCABC中中,外角外角DCA=100DCA=100,A=45,A=45.求：求：B B和和ACBACB的大小的大小.ABCD解：解：DCA=DCA=A+B
7、A+B DCA=100 DCA=100,A=45,A=45 B=100 B=100-45-45=55=55又又DCA+BCA=180DCA+BCA=180 ACB=180 ACB=180-100-1000 0=80=800 010010045452.2.如图，填如图，填空：空：（1 1）ADE=ADE=B+B+_;_;ADB=ADB=C+C+_=_=AED+AED+_._.(2)(2)用用“”或或“”填空：填空：AEC _AEC _ADEADE；AEC _AEC _B.B.AEDCBDABCADEAD证明证明:EAC=B+C EAC=B+C(三角形的一个外角等于三角形的一个外角等于和它不相邻的
8、两个内角的和和它不相邻的两个内角的和),ADBC ADBC(内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行).B=CB=C(已知已知),DAC=CDAC=C(等量代换等量代换).ACDBE AD AD平分平分 EAEAC(已知已知).21C=EAC(等式性质等式性质).21DAC=EAC(角平分线的定义角平分线的定义).运运用用“内内错错角角相相等等,两两直直线线平平行行”证证明明.还有其它方法吗？还有其它方法吗？方法一方法一 应用新知应用新知ACDBE例例2 2 已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AD,AD平分平分外角外角EAC,B=C.EAC,B=C.求证求证:ADBC.:ADBC.B
9、=C(已知已知),21B=EAC(等式性质等式性质).AD平分平分 EAC(已知已知).21DAE=EAC(角平分线的定义角平分线的定义).DAE=B(等量代换等量代换).ADBC(同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行).运运用用“同同位位角角相相等等,两两直直线线平平行行”证证明明证明证明:EAC=B+C(三角形的一个外三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和角等于和它不相邻的两个内角的和),方法二方法二ACDBE例例2 2 已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AD,AD平分平分外角外角EAC,B=C.EAC,B=C.求证求证:ADBC.:ADBC.DAC=C(已证已证),B
10、AC+B+C=180 (三角形内角和定理三角形内角和定理).BAC+B+DAC=180(等量代换等量代换).ADBC(同旁内角互补同旁内角互补,两直线平行两直线平行).).证明证明:由证法由证法1可得可得:方法三方法三 变式训练：变式训练：已知已知:如图，如图，ADAD平分外角平分外角EAC,ADBC.EAC,ADBC.求证求证:B=C.:B=C.ACDBE例例3 3 已知已知:如图如图,BAF,CBD,ACE,BAF,CBD,ACE是是ABCABC的三个外角。的三个外角。求证求证:BAF+CBD+ACE=360BAF+CBD+ACE=360BACDFE123证明证明:BAF BAF是是ABC
11、ABC的一个外角（已知）的一个外角（已知）BAF=2+3(BAF=2+3(三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和).).同理，同理，CBD=1+3 CBD=1+3，ACE=1+2.ACE=1+2.BAF+CBD+ACE=2 BAF+CBD+ACE=2 180 180=360=360（等量代换）（等量代换）1+2+3=180 1+2+3=180（三角形内角和定理）（三角形内角和定理）BAF+CBD+ACE=2 BAF+CBD+ACE=2（1+2+31+2+3）（等式的性质）（等式的性质）三角形的外角和：三角形的外角和：三角形每个顶点处取一个外角的
12、和三角形每个顶点处取一个外角的和三角形的外角和为三角形的外角和为360360.总结规律总结规律-外角的性质外角的性质DABC2 23 34 4如图，如图，P P是是ABCABC内的一点，连接内的一点，连接PB,PC.PB,PC.求证：求证：BPCBPCA APABC证明：证明：延长延长BP交交AC于于D，BDC是是ABD的一个外角的一个外角，BDCA.BPC是是PDC的一个外角的一个外角，BPCBDC.BPCA三角形内角和定理三角形内角和定理 ：推论推论1 1：推论推论2 2：三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801800 0.三角形的一个外角等于和它不相邻三角形的一个外角等于和它
13、不相邻的两个内角的和的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角它不相邻的内角.三角形的外角和为三角形的外角和为360360.三角形外角和定理三角形外角和定理：1.1.如图，在如图，在ABCABC中中,B B4040,ACDACD120120,则则AA的度数的度数是是 40401201208080？2.2.在在ABCABC中，中，A A5050，ABCABC7070，BD BD平分平分ABCABC，则，则BDCBDC的度数是的度数是5050？707085853.3.如图，如图，A A，1 1，2 2的大小关系是的大小关系是A A 1 1 2 2 D
14、 DE E4.如图如图,ABCD,A+E=75,ABCD,A+E=75,则则CC为为 5.5.已知已知:如图如图,在在ABCABC中中 B=CB=C，ADBCADBC。求证求证:ADAD平分外角平分外角EACEACACDBE。757575证明证明 ADBC DAC=C,DAE=B又又B=CB=C，DAE=DAC AD AD平分外角平分外角EACEAC1.1.习题习题8.8 1.2.38.8 1.2.32.2.完成课后巩固练习题完成课后巩固练习题作业已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，D、E分别是分别是AC,AB 边上的点，且满足边上的点，且满足BDC=C,BDE=A.求证：求证：BED=ADB,AED=CABCDE
