1、二微分的几何意义 一、微分的定义一、微分的定义实例实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变变到到设设边边长长由由2020)(xxxA 则则面面积积增增量量.)(220 xxx )1()2(;,)1(的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数是是Ax ),o()(2xx )2(x x 2)(x xx 0 xx 0,很很小小时时当当 x 则则.20 xxA 再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxx
2、xx )1()2(,很小时很小时当当 x.320 xxy 则则),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题:这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否所有是否所有函数的增量都有函数的增量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?的相应于增量的相应于增量x 的的微分微分,定义定义:若函数若函数)(xfy 在点在点 的的增量增量可表示为可表示为)()(00 xfxxfy (A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数)则称函数则称函数)(xfy 而而 称为称为xA 在在)(xf0 x点点记作记作yd即即.dxAy )(x
3、oxA 在点在点0 x可微可微,0 x;d)1(的的线线性性函函数数是是自自变变量量的的增增量量xy;)(d)2(高阶无穷小高阶无穷小是比是比 xxoyy 说明说明:;d,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当yyA yyd 因为因为xAxo )(1).0(1x;)(,)4(0有关有关和和但与但与无关的常数无关的常数是与是与xxfxA).(d,)5(线线性性主主部部很很小小时时当当yyx 函数函数)(xfy 记记xAy d)(xoxAy 在点在点0 x可微可微说明说明:已知已知)(xfy 在点在点 可微可微,0 x即即)(limlim00 xxoAxyxx .A 故故.)(0Axf ).
4、(xoxAy )(xfy 在点在点 的可导的可导,0 x且且定理定理:函数函数)(xfy 处可导，处可导，在点在点0)(xxfy ,)(0 xfA 且且即即xxfy )(d0可导可导可微可微在在0 x可微的充要条件可微的充要条件是是证证:“必要性必要性:”.可微可微可导可导已知已知)(lim00 xfxyx )(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy )(0故故)()(0 xoxxf 线线性性主主部部 即即.)(d0 xxfy 在点在点 的可导的可导,0 x则则)0lim()()(lim BxgBxg“充分性充分性:可导可导 可可微微”.例例1.3 1 2处处的的微微分分和和在在
5、求求函函数数 xxxy解解:xxfy )(d0微分为微分为处的处的在在函数函数1 2 xxyxxyx 12)(d;2 x 在在 x=3处的微分为处的微分为xxyx 32)(d.6 x xx2)(2 例例2.解解:.02.0,2 3时时的的微微分分当当求求函函数数 xxxyxxfy )(d 0,3)(23xx 02.02202.023d xxxxxxy.24.0 ),(d d,)(即即或或记作记作称为函数的微分称为函数的微分的微分的微分在任意点在任意点函数函数xfyxxfy .)(dxxfy .d,d,xxxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.
6、d)(d xxfy ).(ddxfxy .dd微商微商导数也叫导数也叫该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分xy所以所以二、微分的几何意义二、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTydy)(xo ）xyo x 如图如图,.d增增量量就就是是切切线线纵纵坐坐标标对对应应的的yxx0 P.,MNMPMx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 Q tan MQQP)(0 xfx yd 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则,d)(d xxfy 微分表达式微分表达式
7、微分的求法微分的求法:1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式(对照表对照表)先计算函数的导数再乘以自变量的微分先计算函数的导数再乘以自变量的微分.xxxCxxCd)(d0)(d)(0)(11 式式公公分分微微式式公公数数导导xaxxxxaaaxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxaxxaaaxxxxxxxxxxxxxxaxxxxaxxxxdln1)(logdde)e(ddln)(ddcotcsc)(cscddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindln1)(loge)e(ln)(cotcsc)(csctansec)(s
8、eccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin 2222 式式公公分分微微式式公公数数导导xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxd11)cotarc(dd11)(arctandd11)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnd11)cotarc(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(ln 22222222 式式公公分分微微式式公公数数导导2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则)0(ddd)0(dd)(d)(d)d()(dd)(d)(22 vvvuuvvuvvvuvuvuvuuvuvvuvuuvuCC
9、uuCCuvuvuvuvu的的微微分分法法则则函函数数和和、差差、积积、商商的的求求导导法法则则函函数数和和、差差、积积、商商3.复合函数的微分法则复合函数的微分法则 .)(,)()(有如下求导和微分法则有如下求导和微分法则则复合函数则复合函数都可导都可导和和设设xgfyxguufy xxgufxyyxuuyxyxgufxyxd)()(dddddddd )()(dd 或或则则法法分分微微则则法法导导求求 ;d)(d,)1(uufyu 是自变量时是自变量时若若则则微微函函数数的的可可即即是是另另一一变变量量是是中中间间变变量量时时若若),(,)2(xguxu),()(ufufy 有有导导数数设设
10、函函数数xxgufyd)()(d xxgud)(d .d)(uuf 结论结论:的的微微分分形形式式总总是是函函数数是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量无无论论)(,ufyu 微分形式的不变性微分形式的不变性uufyd)(d 4.微分形式不变性微分形式不变性例例3.解解:.d),12sin(yxy求求设设 ,12 ,sin xuuyuuyd)(sind )12(d)12cos(xxxxxd)12()12cos(.d)12cos(2xx uudcos 例例4.解法解法1:.d),eln(2yxyx求求设设 .dee21d 22xxxyxx 所以所以利用先求导数再求微分的方法利用先求导数再求微分
11、的方法,e 2xxy 因为因为2e21xx 解法解法2:利用微分形式不变性利用微分形式不变性.)edln(d2xxy )ed(e122xxxx )d(ede1222xxxxx .dee2122xxxxx .d ,1sinarcsin 2yxy求求已知已知 y yd221sin11 xx1sin2 x1cos 21xxy d xxxxd2sin1sin11222 例例5.解解:例例6.解解:.d,cose31yxyx求求设设 )e(dcosd31xxy xxxxxxd)sin(ed)e3(cos3131 .d)sincos3(e31xxxx 根据积的微分法则根据积的微分法则)(cosde31xx
12、 )31(decos31xxx xxxd)sin(e31 vuuvuvdd)(d 例例7.解解:.d,1cos2yxxy求求设设 2222)1()1d(cos)cosd()1(dxxxxxy 根据商的微分法则根据商的微分法则2222)1()(d)1d(cosd)1(sinxxxxxx 222)1(dcos2d)1(sinxxxxxxx .d)1(cos2)1(sin222xxxxxx 2dddvvuuvvu 方程两边求微分方程两边求微分,得得已知已知,eyxxy 求求.dy解：解：yxxydd yd例例8.)d(eyxyx xxyyxyxdee 利用微分形式不变性利用微分形式不变性,)d(de
13、 dd yxyxxyyx xyyxyxyxd)e(d)e(例例9.解解:.d,)(yxyxyyy求求确定确定由由设函数设函数 在所给方程两端分别求微分在所给方程两端分别求微分)d(d yxy 因为因为)d(eln xy,)lnd(elnxyxy ,ddlnd xxyyxxyy所以所以整理得整理得xxxxyxyyyd)ln1(d .d)ln1(2xxyxy 是幂指函数是幂指函数 yx例例10.解解:在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立使等式成立.).(d)()(sind)2(;dcos)(d)1(2xxtt ,dcos)(sind)1(ttt 因为
14、因为)(sind1dcos ttt 所以所以.dcossin1dttCt ;sin1d txxxxxxxd21dcos2)(d)(sind)2(22 因为因为,cos42xxx).(d)cos4()(sind 22xxxxx 所以所以xxfy )(d0)()(0 xoxxfy yyxdlim0 xxfyx )(lim00 xyxfx 00lim)(11 所以所以.dyy 很小时很小时,有近似公式有近似公式x 故当故当1.函数的近似计算函数的近似计算则则处的导数处的导数在点在点若若,0)()(00 xfxxfy)()(00 xfxxfy xxfy )(d0.)()()(000 xxfxfxxf
15、)(很小时很小时x 四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用.)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x ,0 xxx 令令).()()()(000 xxxfxfxf 从几何上解释即从几何上解释即用切线近似取代曲线用切线近似取代曲线(邻近邻近).).则则已知球体体积为已知球体体积为,343RV 镀铜体积为镀铜体积为 ,01.0,1 VRRV 时体积的增量时体积的增量在在)cmg9.8:(3铜的密度铜的密度例例11.有一批半径为有一批半径为1cm 的球的球,为了提高球面的光洁为了提高球面的光洁度度,要镀上一层铜要镀上一层铜,厚度定为厚度定为 0.01cm,估计一下估计一
16、下,每每只球需用铜多少克只球需用铜多少克.解解:VVd 01.01 RRRR 24 01.01 RR)(cm13.03 因此每只球需用铜约为因此每只球需用铜约为16.113.09.8 (g).镀铜体积镀铜体积=球体积增量球体积增量例例12.0330sin的的近近似似值值计计算算 解解:,sin)(xxf 设设)(,cos)(为弧度为弧度则则xxxf ,36060330 因为因为,360,60 xx取取,236cos6,216 ff则则 3606sin0330sin 3606cos6sin 3602321 .5076.0.)()()(000 xxfxfxxf xffxf )0()0()(则则,0
17、0 x令令2.工程上常用的近似公式工程上常用的近似公式).()()()(000 xxxfxfxf )(很小很小假设假设 x.)1ln()5(;1e)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxxxxxxxxnxxn 为弧度为弧度为弧度为弧度例例13.05.1的近似值的近似值计算计算解解:,05.0105.1 2,05.0 nx取取 ,111 xnxn 根据近似公式根据近似公式 05.1)05.0(211.025.1*3.微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用某量的精确值为某量的精确值为 A,其近似值为其近似值为 a,aA 称为称为a 的的绝对误差绝对误差aaA 称为称为a
18、 的的相对误差相对误差若若,AaA A 称为测量称为测量 A 的绝对误差限的绝对误差限aA 称为测量称为测量 A 的相对误差限的相对误差限则则误差传递公式误差传递公式:已知测量误差限为已知测量误差限为,x 按公式按公式)(xfy 计算计算 y 值时的误差值时的误差y yd xxf )(xxf )(故故 y 的绝对误差限约为的绝对误差限约为xyxf )(相对误差限约为相对误差限约为xyxfxfy )()(若直接测量某量得若直接测量某量得 x,例例14.解解:.,4 .mm05.0 ,mm03.60 2估估计计面面积积的的误误差差计计算算圆圆钢钢的的截截面面积积时时利利用用公公式式的的绝绝对对误误差差限限量量测测设设测测得得圆圆钢钢截截面面的的直直径径DADDD 计算计算 A 的的绝对误差限约为绝对误差限约为DAA DD 205.003.602 ),mm(715.4 A 的的相对误差限约为相对误差限约为242DDADA 03.6005.02%.17.0
