1、2 21平面向量的实际背景及基本概念第一章第一章 算法初步算法初步 学习导航新知初探思维启动新知初探思维启动1向量的概念向量的概念向量的两个要素：向量的两个要素：(1)_，(2)_想一想想一想1.向量是既有大小，又有方向的量，两个向量能比较向量是既有大小，又有方向的量，两个向量能比较大小吗？大小吗？提示：提示：不能不能大小大小方向方向带有方向带有方向起点起点方向方向长度长度长度长度A为起点为起点B为终点为终点015向量与向量的关系向量与向量的关系(1)相等向量相等向量定义：定义：_的向量叫做相等向量的向量叫做相等向量记法：向量记法：向量a与与b相等，记作相等，记作ab.表示：表示：_且且_的有
2、向线段表示同一个向量的有向线段表示同一个向量(2)平行向量平行向量(共线向量共线向量)定义：方向定义：方向_的非零向量叫做平行向量，也的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量叫做共线向量记法：向量记法：向量a平行于向量平行于向量b，记作，记作ab.规定：规定：_与任一向量平行与任一向量平行长度相等且方向相同长度相等且方向相同长度相等长度相等指向一致指向一致相同或相反相同或相反零向量零向量提示：提示：根据定义可知当两个向量平行时，表示它们根据定义可知当两个向量平行时，表示它们的有向线段可以在同一直线上，而两直线平行，则的有向线段可以在同一直线上，而两直线平行，则不可能在同一直线上不可能在同一直线上
3、 做一做 下列说法正确的是_(填序号)单位向量一定相等；若ab，且|a|0，则b0；坐标平面上的x轴和y轴都是向量 答案：典题例证技法归纳典题例证技法归纳题型一向量的有关概念题型一向量的有关概念 判断下列命题是否正确，不正确的说明理由：判断下列命题是否正确，不正确的说明理由：(1)若向量若向量a与与b同向，且同向，且|a|b|，则，则ab；(2)若若|a|b|，则，则a与与b的长度相等且方向相同或相反；的长度相等且方向相同或相反；(3)若若|a|b|，且，且a与与b的方向相同，则的方向相同，则ab；例例1(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；(5)起点不同，但方向相同且模相等的几个向
4、量是相等向量【解】(1)不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小(2)不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系(3)正确|a|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得ab.(4)不正确依据规定：0与任一向量平行(5)正确对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的【名师点评】(1)理解向量的问题时不可忽视向量的大小与方向(2)理解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等跟踪训练跟踪训练1在下列说法中，正确的是在下列说法中，正确的是()A两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同两个
5、有公共起点且共线的向量，其终点必相同B模为模为0的向量与任一非零向量平行的向量与任一非零向量平行C向量就是有向线段向量就是有向线段D两个有公共终点的向量一定是共线向量两个有公共终点的向量一定是共线向量解析：选解析：选B.在选项在选项A中，因为向量的方向和长度未知，所以中，因为向量的方向和长度未知，所以向量的终点也未必相同；在选项向量的终点也未必相同；在选项C中，向量与有向线段是两中，向量与有向线段是两个不同的概念；在选项个不同的概念；在选项D中，这两个向量的起点没有确定，中，这两个向量的起点没有确定，故无法判断它们是否共线故无法判断它们是否共线例例2题型二向量的表示方法题型二向量的表示方法【名
6、师点评】用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量 跟踪训练 2如图，以1 cm3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，请写出以A为始点的不同的向量题型三相等向量与共线向量题型三相等向量与共线向量 例例3【名师点评】向量的模是用向量的长度定义的，共线向量是用向量的方向定义的，而相等向量是用向量的方向和长度共同定义的，解决本题要弄清这三个概念的联系与区别 跟踪训练1向量与有向线段的区别向量与有向线段的区别(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关只要向量只
7、有大小和方向两个要素，与起点无关只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量；大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量；(2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段不同的有向线段 2平行(共线)向量的含义(1)平行向量与共线向量是同一概念的不同名称根据定义可知，平行(共线)向量所在的直线可以平行，也可以重合(2)共线向量所在的直线可以平行，与平面几何中的“共 线”含义不同(3)平行向量可以在同一条直线上，与平面几何中“直线平行”不同，平面中
8、两直线平行是指两直线没有公共点精彩推荐典例展示精彩推荐典例展示例例4易错警示易错警示 给出下列四个命题：给出下列四个命题：若若|a|0，则，则a0；若若|a|b|，则，则ab或或ab；若若ab，则，则|a|b|；若若a0，则，则a0.其中的正确命题有其中的正确命题有()A1个个B2个个C3个个 D4个个【常见错误】忽略0与0的区别；混淆两个向量的模相等和两个实数相等的概念 对两个向量平行的概念理解不透【解析】对于，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定对于，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等故选A.【答案】A【失误防范】
9、(1)牢记向量是既有大小又有方向的量，也就是说只要研究向量问题就要从大小和方向这两个方面进行研究(2)注意实数和向量的区别，不能简单地将实数中的性质直接迁移到向量中 跟踪训练 4下列命题中，正确的是()A|a|1a1 B|a|b|且abab Cabab Da0|a|0 解析：选C.两向量的模相等两向量不一定相等，也不一定方向相同或相反，0与任一向量平行2.12.1平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念 2.1.3 2.1.3 相等向量与共线向量相等向量与共线向量第二章第二章 平面向量平面向量问题提出问题提出 1.1.向量与数量有什么联系和区别？向量与数量有什么联系和区别？向量
10、有哪几种表示？向量有哪几种表示？联系：联系：向量与数量都是有大小的量；向量与数量都是有大小的量；区别：区别：向量有方向且不能比较大小，数向量有方向且不能比较大小，数 量无方向且能比较大小量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段表示，也可以用字向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示母符号表示.2.2.什么叫向量的模？零向量和单位什么叫向量的模？零向量和单位向量分别是什么概念？向量分别是什么概念？向量的模：向量的模：表示向量的有向线段的长度表示向量的有向线段的长度.零向量：零向量：模为模为0 0的向量的向量.单位向量：单位向量：模为模为1 1个单位长度的向量个单位长度的向量.3.3.引进向量
11、概念后，我们就要建立引进向量概念后，我们就要建立相关的理论体系，为了研究的需要，我相关的理论体系，为了研究的需要，我们必须对向量中的某些现象作出合理的们必须对向量中的某些现象作出合理的约定或解释，特别是两个向量的相互关约定或解释，特别是两个向量的相互关系系.对此，我们将作些研究对此，我们将作些研究.探究（一）：探究（一）：相等向量与相反向量相等向量与相反向量 思考思考1 1：向量由其模和方向所确定向量由其模和方向所确定.对于对于两个向量两个向量a、b，就其模等与不等，方向，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？同与不同而言，有哪几种可能情形？模相等，方向相同；模相等，方向相同；模
12、相等，方向不相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；模不相等，方向不相同；思考思考2 2：两个向量不能比较大小，只有两个向量不能比较大小，只有“相等相等”与与“不相等不相等”的区别，你认为的区别，你认为如何规定两个向量相等？如何规定两个向量相等？长度相等且方向相同的向长度相等且方向相同的向量叫做相等向量量叫做相等向量.向量向量a与与b相等记作相等记作a=b.思考思考3 3：用有向线段表示非零向量用有向线段表示非零向量 和和 ，如果，如果 ，那么，那么A A、B B、C C、D D四点的位置关系有哪几种可能情形？四点的位置关系有哪几种可能情形？A
13、AB BC CD DA AB BC CD D思考思考4 4：对于非零向量对于非零向量 和和 ，如，如果果 ，通过平移使起点，通过平移使起点A A与与C C重合，重合，那么终点那么终点B B与与D D的位置关系如何？的位置关系如何？长度相等且方向相反的向量叫做长度相等且方向相反的向量叫做相反向量相反向量.思考思考5 5：非零向量非零向量 与与 称为相反向称为相反向量，一般地，如何定义相反向量？量，一般地，如何定义相反向量？D DC CB BA AB BA A思考思考6 6：如果非零向量如果非零向量 与与 是相反是相反向量，通过平移使起点向量，通过平移使起点A A与与C C重合，那么重合，那么终点
14、终点B B与与D D的位置关系如何？的位置关系如何？D DC CB BA AB BA A探究（二）：探究（二）：平行向量与共线向量平行向量与共线向量 思考思考1 1：如果两个向量所在的直线互相平如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？行，那么这两个向量的方向有什么关系？思考思考2 2：方向相同或相反方向相同或相反的非零向量叫做的非零向量叫做平行向量平行向量，向量，向量a与与b平行记作平行记作a/b，那么，那么平行向量所在的直线一定互相平行平行向量所在的直线一定互相平行吗？吗？方向相同或相反方向相同或相反思考思考3 3：零向量零向量0 0与向量与向量a平行吗？平行吗？规定
15、：零向量与任一向量平行规定：零向量与任一向量平行.思考思考4 4：将向量平移，不会改变其长度和将向量平移，不会改变其长度和方向方向.如图，设如图，设a、b、c是一组平行向量，是一组平行向量，任作一条与向量任作一条与向量a所在直线平行的直线所在直线平行的直线l，在在l上任取一点上任取一点O O，分别作，分别作 =a，=b，=c，那么点，那么点A A、B B、C C的位置关系如何？的位置关系如何？A AB BC CO Olabc思考思考5 5：上述分析表明，任一组平行向上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做行向量也叫做共线向量共线
16、向量.如果非零向量如果非零向量 与与 是共线向量，那么点是共线向量，那么点A A、B B、C C、D D是否一定共线？是否一定共线？思考思考6 6：若向量若向量a与与b平行（或共线），则平行（或共线），则向量向量a与与b相等或相反吗？反之，若向量相等或相反吗？反之，若向量 a与与b相等或相反，则向量相等或相反，则向量a与与b平行（或平行（或共线）吗？共线）吗？思考思考7 7：对于向量对于向量a、b、c，若，若a/b，b/c，那么，那么a/c吗？吗？思考思考8 8：对于向量对于向量a、b、c，若，若a=b，b=c，那么，那么a=c吗？吗？例例1 1 判断下列命题是否正确：判断下列命题是否正确：（
17、1 1）若两个单位向量共线，则这两个向）若两个单位向量共线，则这两个向量相等；量相等；（）（2 2）不相等的两个向量一定不共线；）不相等的两个向量一定不共线；（）（3 3）在四边形）在四边形ABCDABCD中，若向量与共线，中，若向量与共线，则该四边形是梯形；则该四边形是梯形；（）（4 4）对于不同三点）对于不同三点O O、A A、B B，向量与一，向量与一定不共线定不共线.（）理论迁移理论迁移 例例2 2 如图，设如图，设O O为正六边形为正六边形ABCDEFABCDEF的的中心，分别写出与中心，分别写出与 、相等的向量相等的向量.A AB BC CD DE EF FO O 例例3 3 如图
18、，在如图，在ABCABC中，中，D D、E E、F F分分别是别是ABAB、BCBC、CACA边上的点，已知边上的点，已知 求证：求证：.A AB BCD DE EF F小结作业小结作业1.1.相等向量与相反向量是并列概念，平相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念量（相反向量）与平行向量是包含概念.2.2.任意两个相等的非零向量，都可用同任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关起点无关.3.3.向量的平行、共线与平面几何中线段向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线行也可以共线.4.4.平行向量不具有传递性，但非零平行平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性向量和相等向量都具有传递性.
