1、垂径定理垂径定理圆的相关概念圆的相关概念l圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧,简称简称弧弧.l直径直径将圆分成两部分将圆分成两部分,每一部分都叫每一部分都叫做半圆做半圆(如弧如弧ABC).n连接圆上任意两点间的线段叫做连接圆上任意两点间的线段叫做弦弦(如弦如弦AB).On经过圆心的弦叫做经过圆心的弦叫做直径直径(如直径如直径AC).ABn以以A,B两点为端点的两点为端点的弧弧.记作记作 ,读作读作“弧弧AB”.ABn小于半圆的小于半圆的弧弧叫做劣弧叫做劣弧,如记作如记作 (用用两个字母两个字母).AmBn大于半圆的大于半圆的弧弧叫做优弧叫做优弧,如记作如记作 (用三个字母
2、用三个字母).ABCmDl圆是轴对称图形圆是轴对称图形.圆的对称轴是圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线任意一条经过圆心的直线,它有无它有无数条对称轴数条对称轴.O可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题.赵州石拱桥 13001300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥拱是的桥拱是圆弧形圆弧形,它的它的跨度跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,37.4m,拱高拱高(弧的中弧的中点到弦的距离点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1m).0.1m).如图，如
3、图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 一一（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所所在的直线是它的对称轴在的直线是它的对称轴（2）线段：线段：AE=BE弧弧:AC=BC,AD=BD把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个两侧的两个半圆重合，点半圆重合，点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，AC,AD分别
4、与分别与BC、BD重合重合即直径即直径CD垂直于弦垂直于弦AB，平分，平分弦弦AB,并且平分并且平分AB及及ACBOABCDE垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧垂径定理垂径定理l如图如图,理由是理由是:l连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称.O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和
5、BD重合重合.AC=BC,AD=BD.CAEBO.D总结：总结：CD为为 O的直径的直径CDAB 条件条件结论结论E EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD DE EO OA AB BD DC CE EO OA AB BC CE EO OC CD DA AB B 练习练习1O OB BA AE ED在下列图形，符合垂径定理的条件吗？在下列图形，符合垂径定理的条件吗？O OABCDEABDC条件条件CDCD为直径为直径结论结论AC=BCAD=BDCDABCDABCDABCDABAE=BE平分弦平分弦 的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧
6、（不是直径不是直径）垂径定理的推论垂径定理的推论1:1:CDABCDAB吗？吗？(E)(E)CDAB,垂径定理的垂径定理的逆定理逆定理lAB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.l你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说与同伴说说你的想法和理由你的想法和理由.n过点过点M作直径作直径CD.On右图是轴对称图形吗右图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?CDn由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.MAB平分平分弦（不是直径）的弦（不是直径）的直径直径垂直于弦垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧
7、.不是直径不是直径“知二推三知二推三”(1)垂直于弦垂直于弦 (2)过圆心过圆心 (3)平分弦平分弦 (4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧注意注意:当具备了当具备了(1)(3)(1)(3)时时,应对另一应对另一 条弦增加条弦增加”不是直径不是直径”的限制的限制.E E例例1 如图，已知在如图，已知在 O中，中，弦弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的的半径。半径。讲解讲解A AB B.O O垂径定理的应用垂径定理的应用解：连接OA，作OE2+OE2=5变式：变式：如图，已知在如图，已知在 O中，中，弦弦AB的
8、长为的长为8cm，CD是是 O的直的直径，径，CDB垂足为垂足为E，DE2cm,求求 O的半径。的半径。EA AB B.O OCDcm32cm32 8cm1 1半径半径为为4cm4cm的的O O中，弦中，弦AB=4cmAB=4cm,那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 。2 2O O的的直径直径为为10cm10cm，圆心，圆心O O到弦到弦ABAB的的 距离为距离为3cm3cm，则弦，则弦ABAB的长是的长是 。3 3半径半径为为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 。练习练习 1A AB BO OE EA AB
9、BO OE EO OA AB BE E1.1.如图如图,在在O O中中,弦弦ABAB的长为的长为8cm,8cm,圆心到圆心到ABAB的距离为的距离为3cm,3cm,则则O O的半径为的半径为 .练习练习 2：ABOC5cm342.2.弓形的弦长弓形的弦长ABAB为为24cm24cm，弓形的高，弓形的高CDCD为为8cm8cm，则这弓形所在圆的半径为，则这弓形所在圆的半径为.13cm D C A B O(1)(1)题题(2)(2)题题128方法归纳方法归纳:1.垂径定理垂径定理经常和经常和勾股定理勾股定理结合使用。结合使用。2.解决有关弦的问题时，经常解决有关弦的问题时，经常（1）连结半径连结半
10、径；（2）过圆心作一条与弦垂直的线段过圆心作一条与弦垂直的线段等等辅助线，为应用垂径定理创造条件。辅助线，为应用垂径定理创造条件。例例1 1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为的弦的长）为37.437.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.27.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？问题？问题？OABDCr练习：在练习：在 中，、中，、AC为为互相互相垂直且相等垂直且相等的两条弦，的两条弦，于，于，于于求证：四边形是正方形求证：四边形是正方形DOABCE 已知：已知：O中
11、弦中弦ABCD。求证：求证：ACBD证明：作直径证明：作直径MNAB。ABCD，MNCD。则。则AMBM，CMDM（垂（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）直平分弦的直径平分弦所对的弦）AMCM BM DMACBD.MCDABON讲解讲解圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等垂径定理的推论垂径定理的推论2 l如果圆的如果圆的两条弦互相平行两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗那么这两条弦所夹的弧相等吗?l老师提示老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂
12、径定理的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.MM1.1.在直径为在直径为650mm650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽若油面宽AB=600mmAB=600mm，求油的最大深度，求油的最大深度.BAOED 600CD2 2、如图、如图4 4，在，在O O中，中，ABAB为为O O的弦，的弦，C C、D D是是直线直线ABAB上两点，且上两点，且ACACBDBD求证：求证：OCDOCD为等为等腰三角形。腰三角形。ABCDOEABCDO3 3、如图如图，两个圆都以，两个圆都以点点O O为圆心，小圆的
13、弦为圆心，小圆的弦CDCD与大圆的弦与大圆的弦ABAB在同一在同一条直线上。你认为条直线上。你认为ACAC与与BDBD的大小有什么关系？的大小有什么关系？为什么？为什么？G3cm已知已知P为为内一点，且内一点，且OP2cm，如果，如果的半径是的半径是，则过，则过P点的最长点的最长的弦等于的弦等于.最短的弦等于最短的弦等于_。o o随堂训练随堂训练OAPBNM 已知已知:O:O中弦中弦ABCDABCD且且AB=9cm,CD=12cm,AB=9cm,CD=12cm,OO的直径为的直径为15cm,15cm,则弦则弦AB,CDAB,CD间的距离为间的距离为()A.1.5cm B.10.5cm;A.1.
14、5cm B.10.5cm;C.1.5cm C.1.5cm或或10.5cm D.10.5cm D.都不对都不对;CABCDO小结小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO 常用辅助线常用辅助线:垂直于弦的直径垂直于弦的直径请围绕以下两个方面小结本节课：请围绕以下两个方面小结本节课：1 1、从知识上学习了什么？、从知识上学习了什么？、从方法上学习了什么？、从方法上学习了什么？课课堂堂小小结结
15、圆的轴对称性；垂径定理及其推论圆的轴对称性；垂径定理及其推论（）（）垂径定理和勾股定理结合。垂径定理和勾股定理结合。（）（）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线 过圆心作垂直于弦的线段；过圆心作垂直于弦的线段；连接半径。连接半径。双基训练双基训练 5.如图如图,将半径为将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕恰好经过圆心，则折痕AB的长为的长为()A.2cm B.cm C.cm D.cm33252C6.已知点已知点P是半径为是半径为5的的 O内内的一定点，且的一定点，且OP=4，则过，则过P点的所有弦中，弦长可能取点
16、的所有弦中，弦长可能取的整数值为（的整数值为（）A.5，4，3 B.10，9，8，7，6，5，4，3 C.10，9，8，7，6 D.10，9，8COBA12.12.已知直径已知直径ABAB被弦被弦CDCD分成分成AE=4,AE=4,EB=8,CDEB=8,CD和和ABAB成成30300 0角角,则弦则弦CDCD的弦心距的弦心距OF=_;CD=_.OF=_;CD=_.1352EOABCDF在在a,d,r,ha,d,r,h中，已知其中任中，已知其中任意两个量意两个量,可以求出其它可以求出其它两个量两个量.EOABDCd+h=rd+h=r222)2(adr13.已知：如图，直径已知：如图，直径CDA
17、B，垂足为，垂足为E.若半径若半径R=2，AB=,求求OE、DE 的长的长.若半径若半径R=2，OE=1，求，求AB、DE 的长的长.由由、两题的启发，你还能编出什么其、两题的启发，你还能编出什么其他问题？他问题？32已知：已知：ABAB和和CDCD是是O O内的两条平行弦，内的两条平行弦，AB=6cmAB=6cm，CD=8cmCD=8cm，O O的半径为的半径为5cm5cm，思考题：思考题：（1 1）请根据题意画出符合条件的图形）请根据题意画出符合条件的图形（2 2）求出）求出ABAB、与、与CDCD间的距离。间的距离。OBADC（1）OBADC（2）试一试试一试P93挑战自我挑战自我填一填
18、填一填l1、判断：、判断：l 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对并且平分弦所对 的两条弧的两条弧.（）l平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧对的另一条弧.（）l经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）l圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.l弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）l3、已知：如图，、已知：如图，O 中，中，AB为为 弦，弦，C 为为 弧弧AB 的中点，的中点，OC交交AB 于于D，AB=6cm，CD=1cm.求求 O 的半径的半径OA.DOABC4、如图为一圆弧形拱桥，半径、如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，拱高为拱高为4m，求拱桥跨度，求拱桥跨度AB的长。的长。ACBDOl4.如图如图,圆圆O与矩形与矩形ABCD交于交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BE的长的长.ABCD0EFGHMN学生练习学生练习已知：已知：AB是是 O直径，直径，CD是弦，是弦，AECD，BFCD求证：求证：ECDF.AOBECDF欢迎使用本课件欢迎使用本课件祝您桃李满天下
