1、2复习回顾复习回顾:1.数列定义数列定义:按照一定顺序排成的一列数按照一定顺序排成的一列数,简记作简记作:an2.通项公式通项公式:数列数列an中第中第n项项an与与n之间的关系式之间的关系式 3.数列的分类数列的分类(1)按项数分：按项数分：有穷数列，有穷数列，(2)按项之间的大小关系：按项之间的大小关系：递增数列，递增数列，递减数列，递减数列，无穷数列无穷数列摆动数列，摆动数列，常数列。常数列。4.数列的实质数列的实质5.递推公式递推公式:如果已知如果已知an的第的第1项项(或前或前n项项),且任一项且任一项an与它与它的前一项的前一项an-1(或前或前n项项)间的关系可用一个公式来表示间
2、的关系可用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式这个公式叫做数列的递推公式.1.我们经常这样数数，从我们经常这样数数，从0开始，每隔开始，每隔5数一数一次，可以得到数列：次，可以得到数列：0，5，10，15，20，2.2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项运会上，女子举重被正式列为比赛项目目.该项目共设置了该项目共设置了7个级别个级别.其中较轻其中较轻的的4个级别体重组成数列个级别体重组成数列(单位：单位：kg)：48，53，58，63.3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清
3、库的办法清理的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低，自然放水每天水位降低2.5m，最低，最低降至降至5m。那么从开始放水算起，到可以进。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：数列（单位：m）：）：18，15.5，13，10.5，8，5.5.4.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公
4、式是：本利和利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金本金(1+利率利率存期存期)。例如，按活期存入。例如，按活期存入10000元钱，年利率是元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列：数列：10072，10144，10216，10288，10360.48,53,58,6318，15.5，13，10.5，8，5.5.10072,10144,10216,10288,10360问题问题1：观察一下上面的这四个数列：观察一下上面的这四个数列：这些数列有什么共同特点呢？这些数列有什么共同特点呢？0,5,1
5、0,15,20 以上四个数列从第以上四个数列从第2项起，每一项与项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数前一项的差都等于同一个常数1.1.等差数列：等差数列：一般地，如果一数列从第二项起，一般地，如果一数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个每一项与它的前一项的差等于同一个常数常数，那，那么这个数列就叫做么这个数列就叫做等差数列等差数列;这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的公差公差，公差常用公差常用字母字母d d表示。表示。二、新课讲解二、新课讲解 2.等差数列定义的符号语言：等差数列定义的符号语言：an-an-1=d，(n2)，其中，其中d为常数为常数 （an+1-an=d
6、nN+）（一）等差数列的定义：（一）等差数列的定义：如果等差数列如果等差数列 的首项是的首项是 ，公差是，公差是 ，那么根，那么根据等差数列的定义可以得到以下结论：据等差数列的定义可以得到以下结论：na 1ad数列数列 为等差数列为等差数列na nn 12132nn 1n 1nnn 1aad dn2aaaaaa(n2)aaaa(n2).，为为常常数数是是不是不是不是不是 练练 习习 判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项如果是，写出首项a1 1和公差和公差d,如果不是，说明理如果不是，说明理由。由。（1）1，3，5，7，（2）9
7、，6，3，0，-3（3）-8，-6，-4，-2，0，（4）3，3，3，3，（6）15，12，10，8，6，1 1 1 1(5)1,2 3 4 5小结：判断一个数列是不是等差数小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：列，主要是由定义进行判断：an+1-an是不是同一个常数？是不是同一个常数？是是是是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0 1、等差数列要求、等差数列要求从第从第2项起项起，后一项与，后一项与 前一项前一项作差作差。不能颠倒。不能颠倒。2、作差的结果要求是、作差的结果要求是同一个常数同一个常数。可以是可以是整数整数，也可以是，也可以是
8、和负数和负数。你注意到了吗？你注意到了吗？判断题判断题(1)数列数列a，2a，3a，4a，是等差数列是等差数列;(2)数列数列a2，2a3，3a4，4a5，是等差数列是等差数列;(3)若若anan+1=3(nN*)，则，则an是公差为是公差为3的等差数列的等差数列;(4)若若a2a1=a3a2,则数列则数列an是等差数列。是等差数列。已知数列已知数列an是等差数列，是等差数列，d是公差，则：是公差，则：当当d=0时，时，an为常数列；为常数列；当当d0时，时，an为递增数列；为递增数列；当当d1)上述各式两边同时相加，得上述各式两边同时相加，得an-a1=(n-1)d方法方法2：由等差数列的定
9、义可得由等差数列的定义可得叠加法叠加法又又当当n=1时，上式也成立时，上式也成立an=a1+(n-1)d(3)已知等差数列已知等差数列an的首项是的首项是a1，公差是，公差是d，通项公式，通项公式是是_;练习练习（二）等差数列的通项公式：（二）等差数列的通项公式：若等差数列若等差数列an的首项是的首项是a1，公差是，公差是d，则，则 an=a1+(n-1)d二、新课讲解二、新课讲解 课本课本P39.1，2例例1 1：在等差数列：在等差数列 an n 中，已知中，已知a5 5=10,=10,a1212=31,=31,求首求首项项a1 1与公差与公差d.d.511214101131aadaad这是
10、一个以这是一个以a1和和d 为未知数的二元一次方程组，为未知数的二元一次方程组，解之得：解之得：解：由题意得：解：由题意得：这个数列的首项这个数列的首项a1是是-2，公差，公差d=3.123ad 注注:等差数列的通项公式中等差数列的通项公式中，an,a1,n,d这四个变这四个变量量，知道其中三个量就可以求余下的一个量知道其中三个量就可以求余下的一个量 。学案学案P66.例例1，变式，变式三、例题三、例题例例2.在等差数列在等差数列an中，中，（1）已知）已知a1=2，d=3，n=10，求，求a10解：解：a10=a1+9d=2+93=29（2）已知）已知a1=3，an=21，d=2，求，求n解
11、：解：21=3+(n-1)2 n=10（3）已知）已知a1=12，a6=27，求，求d解：解：a6=a1+5d，即，即27=12+5d d=3（4）已知）已知d=-1/3，a7=8，求，求a1解：解：a7=a1+6d 8=a1+6(-1/3)a1=10例例3.(1)等差数列等差数列8，5，2,的第的第20项是几？项是几？(2)-401是不是等差数列是不是等差数列-5，-9，-13，的项？的项？如果是，是第几项？如果是，是第几项？（2）由题意得，）由题意得，a1=-5，d=-4，an=-401 an=a1+(n-1)d -401=-5+(n-1)(-4)n=100 -401是这个数列的第是这个数
12、列的第100项项解：解：（1）依题意得，）依题意得，a1=8，d=5-8=-3 a20=a1+19d=8+19(-3)=-49三、例题三、例题例例5.某市出租车的计价标准为某市出租车的计价标准为1.2元元/km，起步价，起步价10元，元，即最初的即最初的4km（不含（不含4km）计费）计费10元如果某人乘坐元如果某人乘坐该市的出租车去往该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，处的目的地，且一路畅通，等候时间为等候时间为0，需要支付多少车费？，需要支付多少车费？解：解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加时，每增加1km，乘客需要支
13、付，乘客需要支付1.2元元.所以，我们可以建立一个等差数列所以，我们可以建立一个等差数列an来计算车费来计算车费.令令a1=11.2，表示，表示4km处的车费，公差处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至那么当出租车行至14km处时，处时，n=11，此时需要支付，此时需要支付车费车费 a11=11.2(111)1.2=23.2答：需要支付车费答：需要支付车费23.2元。元。三、例题三、例题解：（解：（1）依题意得）依题意得 a1+4d=10 a1+11d=31 解得解得 a1=-2,d=3 a25=a1+24d=-2+243=70例例4.在等差数列在等差数列an中，中，a5=10，（1）若）
14、若a12=31，求，求a25；（2）若）若d=2，求，求a10；an=am+(n-m)dnmaadnm等差数列通项公式的另一种形式等差数列通项公式的另一种形式例例.a10=a5+d，a32=a99+d.567二、例题二、例题三、新课三、新课设设 an是公差为是公差为d的等差数列，那么的等差数列，那么(1)an=am+(n-m)d(2)nmaadnm等差数列的常用性质等差数列的常用性质1 12.若若xy，且两个数列，且两个数列x，a1，a2，y和和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么各成等差数列，那么 练习练习:1.等差数列等差数列an中中,a2=5,a6=a3+6,则则a1=_2121_
15、aabb743练习练习1.在在3与与27之间插入之间插入7个数个数,使这使这9个数成等差数列个数成等差数列,则则 插入这插入这7个数中的第个数中的第4个数的值为个数的值为_2.若若an为等差数列为等差数列,ap=q,aq=p(p q),则则ap+q=_3.在等差数列在等差数列an中中,已知已知am+n=A,am-n=B,则则a2m=_1502(-)()m A Bn ABn例例6已知数列已知数列an的通项公式为的通项公式为an=pn+q，其中，其中p、q为常数且为常数且p0，判断这个数列是不是等差数列，并证明你的判断，判断这个数列是不是等差数列，并证明你的判断证：取数列证：取数列an中的任意相邻
16、两项中的任意相邻两项an与与an-1(n2)，则，则11()()nnaapnqp nq()pnqpnpqpp是一个与是一个与n无关的常数无关的常数 an是一个等差数列是一个等差数列3.等差数列等差数列an的通项公式为的通项公式为an=p n+q 的图象的特征的图象的特征是是 ;数列的公差的几何意义是数列的公差的几何意义是:.1.数列数列an是等差数列是等差数列 an=p n+q(p、q是常数是常数)解：数列解：数列an 是一个等差数列是一个等差数列2.证明数列证明数列an是等差数列的方法是等差数列的方法:.证明：证明：an+1-an=常数常数.二、例题二、例题各项对应的点在同一条直线上各项对应
17、的点在同一条直线上.各项对应的点所在直线的斜率各项对应的点所在直线的斜率.如何判断一个数列为等差数列如何判断一个数列为等差数列为等差数列常数）（定义法：a)1n(daa)1(n1nn为等差数列常数）（递推法：a)1n(aa2a)2(n2nn1n为等差数列的一次函数为通项法：ana)3(nn (3)已知数列已知数列an是等差数列，是等差数列，求证：数列求证：数列an+an+1 也是等差数列也是等差数列.（4）证明：若数列）证明：若数列 与与 是等差数列，是等差数列，是等差数列吗？是等差数列吗？nannab nb若若 是公差为是公差为 的等差数列的等差数列,则下列数列则下列数列:d na(1)(c
18、为任一常数)是公差为 的等差数列nca+(2)(c为任一常数)是公差为 的等差数列nc ann kaa+(3)(k为任一常数,)是公差为 的等差数列*kN若 分别是公差为 的等差数列,则数列 (p、q是常数)是公差为 的等差数列 nnab、12dd、nnpaqb+（4）去掉前几项后余下的数列是等差数列吗？奇数项数列和偶数项数列仍是等差数列吗？dcd2d12pdqd+等差数列的常用性质等差数列的常用性质2 220082008989811nnba,15b,85a,66b,34aba求中，和例：等差数列2A BC D1-nnnnnnnnnnabbabababa已知数列是等差数列，则数列为等差数列的是
19、（）、已知数列已知数列 为等差数列，那么有为等差数列，那么有na 若若 成等差数列，则成等差数列，则 成等差数列成等差数列.*m,p,n(m,p,n N)mpna,a,a证明：根据等差数列的定义，证明：根据等差数列的定义，m,p,n,成成等等差差数数列列pmnp,(pm)d(np)d.pmnpaaaa.即即 成等差数列成等差数列.mpna,a,a如如 成等差数列，成等差数列，成等差数列成等差数列.1611a,a,a369a,a,a推广：在等差数列有规律地取出若干项，所得新数列仍推广：在等差数列有规律地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是然为等差数列。（如奇数项，项数是7的倍
20、数的项）的倍数的项）等差数列的常用性质等差数列的常用性质2 2推论：推论：已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为da1，a2，a3，an（1）将前）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？am+1，am+2，an是等差数列是等差数列首项为首项为am+1，公差为，公差为d，项数为，项数为n-m等差数列的常用性质等差数列的常用性质2 2等差数列的常用性质等差数列的常用性质2 2已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为da1，a2
21、，a3，an（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a1，a3，a5，是等差数列是等差数列首项为首项为a1，公差为，公差为2d取出的是所有偶数项呢？取出的是所有偶数项呢？a2，a4，a6，是等差数列是等差数列首项为首项为a2，公差为，公差为2d等差数列的常用性质等差数列的常用性质2 2已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为da1，a2，a3，an（3）取出数列中所有项是）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，的倍数的
22、各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a7，a14，a21，是等差数列是等差数列首项为首项为a7，公差为，公差为7d取出的是所有取出的是所有k倍数的项呢？倍数的项呢？ak，a2k，a3k，是等差数列是等差数列首项为首项为ak，公差为，公差为kd等差数列的常用性质等差数列的常用性质2 2已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为da1，a2，a3，an（4）数列）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差数列吗？是等差数列吗？公差是多少？公差是多少？a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等
23、差数列，公差为是等差数列，公差为2d 数列数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是是等差数列吗？公差是多少？等差数列吗？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是等差数列，是等差数列，公差为公差为3d。等差数列的常用性质等差数列的常用性质2 2例：例：963852741aaa,13aaa19,aaa求等差数列中，.aaaa,qpnm,Nq,p,n,maqpnmn 求求证证：且且是是等等差差数数列列，数数列列 ,d,aa1n公公差差是是的的首首项项是是证证明明：设设,)1(1dmaam则,)1(1dnaan,)1(1dpaap,)1(1dqaaq,)2(
24、21dnmaaanm,)2(21dqpaaaqp.,qpnmaaaaqpnm ,nmnpqam n p qNmnpqaaaa 在在等等差差数数列列中中，若若则则22mnpmnpaaa特特别别地地，若若，则则等差数列的常用性质等差数列的常用性质3 3练习练习.在等差数列在等差数列an中，中，(1)已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求：，求：a1+a20(2)已知已知 a3+a11=10，求：，求：a6+a7+a8(3)已知已知 a2+a14=10，能求出，能求出a16吗？吗？1015例例3.在等差数列在等差数列an中，中，a619,a15=46，求，求a4+a17的值的值(4)已知已知
25、 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求，求a14及公差及公差d.d=_2a14=_3d=2a14=31或或不能不能注意：逆命题是不一定成立的注意：逆命题是不一定成立的；与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即1212 =2nknaaaaa+=+1na-1n ka-+等差数列的常用性质等差数列的常用性质3 3推论推论7153aaa(1)a83641aaaa(2)a732651aaaaa(3)a45433aaa(4)a35434aaa(5)a判断：判断：可推广到三项，可推广到三项，四项等四项等注意：等式两注意：等式两边作和的项数边作和的项数必须一样多必须一样多例例4.三数成
26、等差数列，它们的和为三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也，首尾二数的积也为为12，求此三数，求此三数.解：设这三个数分别为解：设这三个数分别为a-d，a，a+d 则则(a-d)+a+(a+d)=12，即，即3a=12 a=4 又又(a-d)(a+d)=12，即，即(4-d)(4+d)=12 解得解得 d=2 当当d=2时，这三个数分别为时，这三个数分别为2，4，6 当当d=-2时，这三个数分别为时，这三个数分别为6，4，2二、例题二、例题练习：练习：若四个数成递增等差数列，中间两个数的和为若四个数成递增等差数列，中间两个数的和为2，首末两数的积为首末两数的积为-8，求这四个数，求这四
27、个数学案P69例1设项技巧：设项技巧：（1）若有三个数成等差数列，则可设为,a d a ad-+（2）若有四个数成等差数列，则可设为3,3ad a d ad ad-+（3）若有五个数成等差数列，则可设为2,2ad a d a ad ad-+练习：练习：若四个数成递增等差数列，中间两个数的和为若四个数成递增等差数列，中间两个数的和为2，首末两数的积为首末两数的积为-8，求这四个数，求这四个数例例4.三数成等差数列，它们的和为三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也，首尾二数的积也为为12，求此三数，求此三数.等差数列的常用性质等差数列的常用性质4 4.1894，求这四个数数的积少积比第二个
28、数与第三个第一个数与第四个数的，中四个数的平方和为四个数成等差数列，其练习：1.已知已知 ，求，求 的值。的值。)(21)(2)1(,2)1(*Nnnfnff)2007(f100523200721)2007(2321)(212)(21)()1(1)(2)1(2fnnfnfnfnfnfnf即的等差数列，公差为是首项为解解:2.在数列在数列an中中a1=1，an=an+1+4，则，则a10=7.d=an+1an=4-35构造等差数列构造等差数列11 21,2nnnnnaaaaa已知数列的各项均为正数，且满足a，求3、.,4,611061aaaan求是等差数列，且已知4、构造等差数列构造等差数列学案
29、学案P70P70例例2 2换元法求通项公式：换元法求通项公式：.110,2511的范围，求公差项大于第等差数列da 五、小结五、小结3.等差数列的性质等差数列的性质设设 an是公差为是公差为d的等差数列，那么的等差数列，那么(1)an=am+(n-m)d(2)nmaadnm ,22(3)nmnpqmnpam n p qNmnpqaaaamnpaaa 在在等等差差数数列列中中，若若则则 特特别别地地，若若，则则1.数列数列an是等差数列是等差数列 an=p n+q(p、q是常数是常数)2.判断等差数列的方法判断等差数列的方法:(定义法定义法)利用利用an-an-1是否是一个与是否是一个与n无关的
30、常数无关的常数(中项公式法中项公式法)判断判断an与与an+1+an-1的关系的关系作业作业3.14作业本：课本作业本：课本P40.1，3学案学案3.2.1作业作业3.152.已知an是公差为d的等差数列，证 (c为任一常数)是公差为 的等差数列nca+d1.已知an是等差数列，a5=10，a8=16，求a15；34101167848,+a?那么aaaaaa+=+=3.已知数列 为等差数列,且满足 na学案学案3.2.23.2.2作业作业3.16.11618，求这三个数，平方和为它们的和为并且数列是递增的，已知三个数乘等差数列.4,126473求数列通项公式，满足等差数列aaaaan作业作业3.17.2,3111,1.15011aaaaannn求中，在数列的通项公式，求数列是递减数列，且等差数列nnaaaaaaaa12,48432432五、小结五、小结1.定义：定义：an-an-1=d（n2）或）或 an+1-an=d(nN*)2.通项公式通项公式 an=a1+(n-1)d an为等差数列为等差数列 3.3.等差数列的性质等差数列的性质an+1-an=dan+1=an+dan=a1+(n-1)dan=kn +b（k、b为常数）为常数）1212()nnnaaa
