1、 第三章第三章 概率概率3.3.1 3.3.1 几何概型几何概型()AP A 包含基本事件的个数公式：基本事件的总数1 1、古典概型的两个基本特点、古典概型的两个基本特点:(1)(1)试验中所有可能出现的基本事件试验中所有可能出现的基本事件只有有限个只有有限个.(2)(2)每个基本事件出现的每个基本事件出现的可能性相等可能性相等.2 2、计算古典概型的公式：、计算古典概型的公式：那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢何求呢?一、复习回顾一、复习回顾.我抛一枚硬币，猜这一次是正面向上。问题：猜中的概率是多少？问题：猜中的概率是多少？这是
2、什么概型问题？这是什么概型问题？取一根长度为取一根长度为3m3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于么剪得两段的长度都不小于1m1m的概率有多大？的概率有多大？二、问题情境二、问题情境1.分析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪分析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是断位置可以是3m3m绳子上的任意一点，并且每一点绳子上的任意一点，并且每一点被剪的可能性相等。被剪的可能性相等。下图是卧室和书房地板的示意图，图中下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在卧室和书房中
3、自由地走来走去，并别在卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上。在哪个房间里，随意停留在某块方砖上。在哪个房间里，小猫停留在黑砖上的概率大？小猫停留在黑砖上的概率大？卧卧 室室书书 房房问题问题情境情境2.与面积成比例与面积成比例解：取出解：取出0.10.1升中升中“含有这个细菌含有这个细菌”这这一事件记为一事件记为A,A,则则 1.011.0杯中所有水的体积取出水的体积AP与体积成比例与体积成比例有一杯有一杯1 1升的水升的水,其中含有其中含有1 1个细菌个细菌,用一个小杯从这杯水中取出用一个小杯从这杯水中取出0.10.1升升,求小杯水中含有这个细菌的概率求小杯水中含有这个细菌的概
4、率.问题问题情境情境3分析分析：细菌在：细菌在1 1升水的杯中任何位置的机会升水的杯中任何位置的机会是等可能的，但细菌所在的位置却是无限是等可能的，但细菌所在的位置却是无限多个的，因而不能利用古典概型。多个的，因而不能利用古典概型。如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.几何概型的特点几何概型的特点:(1)(1)试验中所有可能出现的基本事件试验中所有可能出现的基本事件有无限多个有无限多个.(2)(2)每个基本事件出现的每个基本事件出现的可能性相等可能性相等.三、三、基本概念基本概念P(A)=P(A)=构成事件构成事件
5、A A的区域的区域长度长度(面积或体积面积或体积)试验的全部结果所构成的试验的全部结果所构成的区域区域长度长度 （面积或体积面积或体积)几何概型几何概型概率计算公式概率计算公式:把绳子三等分把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时于是当剪断位置处在中间一段上时,事事件件A A发生发生.由于中间一段的长度等于由于中间一段的长度等于1m.1m.取一根长度为取一根长度为3m3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于那么剪得两段的长度都不小于1m1m的概率有多大？的概率有多大？发1事件A生的概率 P（A）=3记记“剪得两段绳长都不小于剪得两段绳长都不
6、小于1m”为事件为事件A.3米1米1米1米古典概型古典概型几何概型几何概型共同点共同点 不同点不同点基本事件个数基本事件个数的有限性的有限性基本事件发生基本事件发生的等可能性的等可能性基本事件发生基本事件发生的等可能性的等可能性基本事件个数基本事件个数的无限性的无限性知识串联：两种概型知识串联：两种概型 概率公式的联系概率公式的联系P(A)=A包含的基本事件的个数包含的基本事件的个数 基本事件的总数基本事件的总数古典概型古典概型概率计算公式概率计算公式:几何概型几何概型概率计算公式概率计算公式:P(A)=构成事件构成事件A的区域长度的区域长度(面积或体积面积或体积)试验的全部结果所构成的试验的
7、全部结果所构成的区域长度区域长度（面积或体积面积或体积)例例1.1.某人午觉醒来，发现表停了，他打开某人午觉醒来，发现表停了，他打开 收音机想听电台整点报时，求他等待收音机想听电台整点报时，求他等待 的时的时 间不多于间不多于1010分钟的概率分钟的概率.分析分析：因为电台每隔：因为电台每隔1 1小时报时一次，他在小时报时一次，他在060060之之间任何一个时刻打开收音机是间任何一个时刻打开收音机是等可能等可能的，但的，但060060之之间有间有无穷个时刻无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算随机，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。所以他在哪个时间段打开收音机事件发生的概率。所以他在哪
8、个时间段打开收音机的概率的概率只与该时间段的长度有关只与该时间段的长度有关，而与该时间段的，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件。位置无关，这符合几何概型的条件。四、例题讲解四、例题讲解0 0606050501010202030304040则事件则事件A A发生恰好是打开收音机的发生恰好是打开收音机的时刻位于时刻位于5050，6060时间段内，因此时间段内，因此由几何概型的求概率公式得由几何概型的求概率公式得P（A）=60-5060=16 解解:设设A=A=等待的时间不多于等待的时间不多于1010分钟分钟即即“等待报时的时间不多于等待报时的时间不多于1010分钟分钟”的概率为的概率为
9、.16点评点评:打开收音机的时刻打开收音机的时刻X X是随机的，可以是是随机的，可以是060060之间的任何时刻，且是等可能的我们称之间的任何时刻，且是等可能的我们称X X服从服从00，6060上的均匀分布，上的均匀分布，X X称为称为00，6060上的均匀随机数上的均匀随机数.0102030405060例例2.2.抛阶砖游戏抛阶砖游戏“抛阶砖抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏是国外游乐场的典型游戏之一之一.参与者只须将手上的参与者只须将手上的“金币金币”（设（设“金币金币”的半径为的半径为1 1）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的抛出的“金币金币”若恰好落在
10、任何一个阶砖（边长为若恰好落在任何一个阶砖（边长为3 3的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖，许多人纷纷参与此游戏，却很少有人得便可获奖，许多人纷纷参与此游戏，却很少有人得到奖品，你能用今天所学的数学知识解释这是为什到奖品，你能用今天所学的数学知识解释这是为什么吗？（么吗？（假设每次抛的金币都落在阶砖上假设每次抛的金币都落在阶砖上）分析：分析：不妨先考虑金币与一块阶砖的关系不妨先考虑金币与一块阶砖的关系.S S3 33 3A A试验的基本事件是试验的基本事件是:金币的金币的中心中心投在由若干个小正方投在由若干个小正方形组成的阶砖面里形
11、组成的阶砖面里.设事件设事件A=A=金币不与小正方形边相碰金币不与小正方形边相碰=金币的中心要投在绿色小正方形内金币的中心要投在绿色小正方形内 参加者获奖的概率为参加者获奖的概率为:()nAP AnS个 的面积个 的面积解：解：AS的面积的面积由几何概型的定义知：由几何概型的定义知：9 1=（32）2 32=解题方法小结：解题方法小结：对于复杂的实际问题对于复杂的实际问题,解题的关键解题的关键是要建立模型是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域应的几何区域,把问题转化为几何概率问题把问题转化为几何概率问题,利用利用几何概率公式求解几何概率公式求解.
12、练习2.某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔15分分钟有一辆汽车到达，乘客钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候求一个乘客到达车站后候车时间大于车时间大于10 分钟的概分钟的概率？率？1.一个路口的红绿灯，红灯的一个路口的红绿灯，红灯的时间为时间为30秒，黄灯的时间为秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为秒，绿灯的时间为40秒。当秒。当你到达路口不用停直接通过你到达路口不用停直接通过的概率为的概率为 8/15某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车达车站的
13、时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于时间大于10 分钟的概率？分钟的概率？解：记候车时间大于解：记候车时间大于10分钟为事件分钟为事件A，则当乘客到，则当乘客到达车站的时刻落在线段达车站的时刻落在线段T1T上时，事件发生上时，事件发生.所以所以T1T2T练习2p(A)=A 的长度的长度 总总 的长度的长度51513答：候车时间大于答：候车时间大于10 分钟的概率是分钟的概率是13分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解。上辆车于时刻用几何概型求解。上辆车于时刻T1到达，而下一辆到达，而下一辆车于时刻车于时刻T2到达，线段到
14、达，线段T1T2的长度为的长度为15，设，设T是是T1T2上的点，且上的点，且T1T=5，T2T=10，如图所示，如图所示:3.3.欧阳修欧阳修卖油翁卖油翁中写道：中写道：“乃乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿。杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿。”可见可见“行行出状元行行出状元”，卖油翁的技艺，卖油翁的技艺让人叹为观止。若铜钱的直径是让人叹为观止。若铜钱的直径是3cm3cm的的圆，中间有边长为圆，中间有边长为1cm1cm的正方形孔，若的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油正好你随机向铜钱上滴一滴油，则油正好落入孔中的概率是落入孔中
15、的概率是 (假设油假设油滴落在铜钱上且油滴的大小忽略不计）滴落在铜钱上且油滴的大小忽略不计）22349 解：根据题意可知，铜钱圆的面积为 cm2，正方形孔的面积为1cm2。由几何概型可知事件的概率等于相应面积的比，即 故填1=22349 4 49 9练习4 4、射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环、射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色金色靶心叫靶心叫“黄心黄心”.奥运会的比赛靶面直径为奥运会的比赛靶面直径为122cm,122cm,靶心直径为靶心直径为12.2cm.12.2cm.运动员在运动员在70m70
16、m外射箭外射箭,假设假设每箭每箭都能中靶都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的且射中靶面内任一点都是等可能的,那那么射中黄心的概率是多少么射中黄心的概率是多少?练习练习0 0.0 01 11 12 22 24 41 11 12 2.2 24 41 1(B B)事事件件B B发发生生的的概概率率为为P P2 22 2事件事件B B发生发生.的黄心内时的黄心内时,cmcm12.212.2 4 41 1积为积为而当中靶点落在面而当中靶点落在面的大圆内的大圆内,cmcm122122 4 41 1面积为面积为由于中靶点随机落在由于中靶点随机落在件件B,B,.记记“射中黄心射中黄心”为事为事2 2 2
17、22 22 2解：5 5、一只蚂蚁在一边长为、一只蚂蚁在一边长为6 6的正方形区域内的正方形区域内随机地爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于随机地爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于3 3的地方的地方的概率是的概率是 练练 习习解析；如果离四个顶点距离都大于解析；如果离四个顶点距离都大于3，那么蚂蚁所处，那么蚂蚁所处的位置应该四个四分之一圆之外，圆的圆心为的位置应该四个四分之一圆之外，圆的圆心为4个顶个顶点，半径都是点，半径都是3，4 4 ABCD解：此试验是几何概型，正方形面解：此试验是几何概型，正方形面积为积为S，区域，区域A的面积为的面积为SA，S=66=36SA=664 32=369P(A
18、)=4 4 4 4 1 1 4 4S 369 36SA1.1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型。可能发生的概率类型。2.2.几何概型主要用于解决长度、面积、体积有关几何概型主要用于解决长度、面积、体积有关的题目的题目,几何概型的概率公式几何概型的概率公式.3.3.注意理解几何概型与古典概型的区别。注意理解几何概型与古典概型的区别。4.4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解。利用几何概型公式求解。()AP A 构成事件 的区域长度（面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）五、课堂小结五、课堂小结
