1、第第2章章 极限与连续极限与连续2.2无穷小与无穷大无穷小与无穷大一、无穷小一、无穷小1、定义、定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.2.2无穷小与无穷大无穷小与无穷大例如例如,0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx,01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx,0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意（2）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（3）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数.（1）称一个函数为无穷小，必须指明自变量变化趋
2、势；）称一个函数为无穷小，必须指明自变量变化趋势；注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，n1时,n例如,之和为1不是无穷小.n1但n个2、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质:性质性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小.性质性质3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.性质性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无有极限的变量与无穷小的乘
3、积是无穷小穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例如例如都是无穷小都是无穷小二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.2.2无穷小与无穷大无穷小与无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（4）无穷大是一种特
4、殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim20认为极限存在认为极限存在）切勿将）切勿将（xfxx（3）称一个函数为无穷大，必须指明自变量变化趋势；）称一个函数为无穷大，必须指明自变量变化趋势；xxy1sin1.,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx),3,2,1,0(221)1(kkxk取取,22)(kxyk.)(,Mxykk 充分大时充分大时当当),3,2,1,0(21)2(kkxk取取,kxk 充分大时充分大时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界
5、，无界，三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;不恒为零的无穷小的倒数为无穷大不恒为零的无穷小的倒数为无穷大.即即f(x)f(x)limlim设设0 0 x xx x为无穷小.为无穷小.f(x)f(x)1 1时,时,x x当x当x0 02.2无穷小与无穷大无穷小与无穷大0,0,f(x)f(x)且且0,0,f(x)f(x)limlim设设反之,反之,0 0 x xx x为无穷大.为无穷大.f(x)f(x)1 1时,时,x x当x当x0 0意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为
6、关于无穷小的讨论的讨论.四、无穷小的比较四、无穷小的比较例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比.,0,1 xx1sinlim0.不存在不存在观察各极限观察各极限型）型）（002.2无穷小与无穷大无穷小与无穷大；记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果)(,0lim)1(o定义定义:.0,且且穷小穷小是同一过程中的两
7、个无是同一过程中的两个无设设;,0lim)3(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 C;,1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地，特殊地，低阶的无穷小低阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果 lim)(，03lim20 xxx，1sinlim0 xxx;302高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比时，时，当当xxx).0()3(2 xxox即即是等价无穷小是等价无穷小与与时，时，当当xxxsin0).0(sinxxx即即例如，例如，注意：注意：用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如例如,),(sinxoxx ).(21c
8、os122xoxx ,0时时当当 xxycos1 221yx 常用等价无穷小常用等价无穷小:,0时时当当 x2 2x xx x2 21 1 c co os sx x1 11 1,e e x xx x)l ln n(1 1 a ar rc ct ta an nx x a ar rc cs si in nx x t ta an nx x s si in nx x x x.21cos1,sin2xxxx 补充：等价无穷小代换补充：等价无穷小代换定理定理 (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理).limlim,lim,则则存在存在且且设设证证 lim)lim(limlimlim.lim 例例.cos1
9、2tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式.8 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限穷小代换，而不会改变原式的极限不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换对于代数和中各无穷小不能分别代换.注意注意例例.arcsinsin)1(lim0
10、xxxx 求求解解.arcsin,sin,0 xxxxx时时当当xxxx)1(lim0 原式原式.1)1(lim0 xx例例.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式.0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 五、小结五、小结1、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是
11、唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.2、无穷小的比较、无穷小的比较反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢两无穷小趋于零的速度快慢,但但并不是所有的无穷小都可进行比较并不是所有的无穷小都可进行比较.3、等价无穷小的代换、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条件注意适用条件.思考题思考题任何两个无穷小都可以比较吗？任何两个无穷小都可以比较吗？思考题解答思考题解答不能不能例当例当 时时x,1)(xxf
12、 xxxgsin)(都是无穷小量都是无穷小量但但)()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时x)(xf和和)(xg不不能能比比较较.思考题思考题若若0)(xf，且且Axfx )(lim，问问：能能否否保保证证有有0 A的的结结论论？试试举举例例说说明明.思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例xxf1)(,0 x有有01)(xxf)(limxfx.01lim Axx一、填空题一、填空题:1 1、凡凡无无穷穷小小量量皆皆以以_ _ _ _ _ _ _ _ _为为极极限限.)(,_2的水平渐近线的水平渐近线是函数是函数直线直线条件下条件下、在、在xfycy .)0lim(,)(_)(lim300 xxxxAxfAxf其中其中、._,)(,4是无穷小是无穷小则则是无穷大是无穷大若若、在同一过程中、在同一过程中xf.10,21,0:4 yxxxyx能使能使应满足什么条件应满足什么条件问问是无穷大是无穷大函数函数时时当当二、根据定义证明二、根据定义证明练练 习习 题题.,0,1,0(1sin1这个函数不是无穷大这个函数不是无穷大时时但当但当上无界上无界在区间在区间三、证明函数三、证明函数 xxxy一一、1 1、0 0；2 2、Cxfxx )(lim；3 3、；4 4、)(1xf.二二、210104 x.练习题答案练习题答案
