1、 1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 3 向量组的秩向量组的秩 4 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性教学重点教学重点 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的秩向量组的秩线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构教学难点教学难点 向量组的线性相关性的判别向量组的线性相关性的判别向量组的秩向量组的秩线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构双语教学双语教学 线性组合：线性组合：linear combination 向量组：向量组：vector quantity 线性相关：线性相关：linea
2、rly dependent 线性无关：线性无关：linearly independent 定义定义1 1.,21个分量个分量称为第称为第个数个数第第个分量，个分量，个数称为该向量的个数称为该向量的维向量，这维向量，这组称为组称为所组成的数所组成的数个有次序的数个有次序的数iainnnaaanin分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量.分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，一、一、维向量的概念维向量的概念n1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合例如例如),3,2,1(n)1(,32,21(innii n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第
3、第n个分量个分量第第2个分量个分量),(21nTaaaa naaaa21 二、二、维向量的表示方法维向量的表示方法 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：TTTTba,n 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：,bann注意注意行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量向量；行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有
4、明确说明是行向量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量.向量向量)3(n解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组几何形象：可随意几何形象：可随意平行移动的有向线段平行移动的有向线段代数形象：向量的代数形象：向量的坐标表示式坐标表示式),(21nTaaaa 三、向量空间三、向量空间空间空间)3(n解析几何解析几何线性代数线性代数点空间点空间：点的集合：点的集合向量空间向量空间：向量的集合：向量的集合代数形象：向量空代数形象：向量空间中的平面间中的平面 dczbyaxzyxrT ),(几何形象：空间几何形象：空间直线、曲线
5、、空间直线、曲线、空间平面或曲面平面或曲面 dczbyaxzyx ),(),(zyxP),(zyxrT 一一对应一一对应 RxxxxxxxRnnnT ,),(2121 bxaxaxaxxxxnnnT 221121),(叫做叫做 维向量空间维向量空间n 时，时，维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象n3 n叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维超平面维超平面Rnn1 n确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角)20(机身的仰角机身的仰角)22(机翼的转角机翼的转角
6、)(所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量),(zyxa 维向量的实际意义维向量的实际意义n 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如维列向量维列向量个个有有矩阵矩阵mnaijAnm)(aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1.,的列向量组的列向量组称为矩阵称为矩阵向量组向量组Aa1a2an四、向量组与矩阵四、向量组与矩阵a2ajana1a2ajan维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nmijaAnm)(,aaaaaaaaaa
7、aaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组向量组 ,，称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.矩矩阵阵构构成成一一个个组组维维列列向向量量所所组组成成的的向向量量个个nmnmm,21 矩阵矩阵构成一个构成一个的向量组的向量组维行向量所组成维行向量所组成个个nmnmTmTT,21 TmTTB 21),(21mA b xaxaxann2211线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 .,2211222221211121
8、2111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应定义定义，组组实实数数，对对于于任任何何一一给给定定向向量量组组mmkkkA,:2121 .,21个线性组合的系数个线性组合的系数称为这称为这，mkkk，称为向量组的一个称为向量组的一个向量向量 2211mmkkk 线性组合线性组合五、向量组的线性相关性五、向量组的线性相关性，使，使，一组数一组数如果存在如果存在和向量和向量给定向量组给定向量组mmbA ,:2121mmb 2211的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab
9、向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA.),(),(2121的的秩秩，的的秩秩等等于于矩矩阵阵，条条件件是是矩矩阵阵线线性性表表示示的的充充分分必必要要能能由由向向量量组组向向量量bBAAbmm 定理定理1 1例例1 设设 ，。证明：向量证明：向量 能由向量组能由向量组 线性表示，线性表示，并求出表示式。并求出表示式。32101a21032a10323a2112bb321,aaa证明：令),(321aaaA),(321baaaB 00004/11002/10104/1001000014001610130152000140016101301182016102230130121231
10、01213012230),(321baaaB故方程 的解为 bxaxaxa3322114/12/14/1321xxxx即定义定义 321412141aaab .,:,:2121这两个这两个能相互线性表示，则称能相互线性表示，则称量组量组与向与向若向量组若向量组称称线性表示，则线性表示，则向量组向量组组中的每个向量都能由组中的每个向量都能由若若及及设有两个向量组设有两个向量组BAABBAsm 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价BA使使在数在数存存量量线性表示，即对每个向线性表示，即对每个向能由能由（和和（若记若记,),2,1().,),212121mjjjj
11、smkkksjbABbbbBA mmjjjjkkkb 2211,),2121 mjjjmkkk （),21sbbb（从而从而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121),（.)(数矩阵数矩阵称为这一线性表示的系称为这一线性表示的系矩阵矩阵ijsmkK 矩矩阵阵：为为这这一一表表示示的的系系数数的的列列向向量量组组线线性性表表示示，矩矩阵阵的的列列向向量量组组能能由由，则则矩矩阵阵若若BACBACnssmnm snssnnsnkkbbbbbbbccc2122221112112121),),（TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121：为为
12、这这一一表表示示的的系系数数矩矩阵阵的的行行向向量量组组线线性性表表示示的的行行向向量量组组能能由由同同时时，ABC,.的行向量组等价的行向量组等价的行向量组与的行向量组与于是于是的行向量组线性表示，的行向量组线性表示，的行向量组能由的行向量组能由可知，可知，由初等变换可逆性由初等变换可逆性的行向量组线性表示的行向量组线性表示组能由组能由的行向量的行向量，即，即的行向量组的线性组合的行向量组的线性组合向量都是向量都是的每个行的每个行，则，则经初等行变换变成经初等行变换变成设矩阵设矩阵BABAABABBA.的列向量组等价的列向量组等价列向量组与列向量组与的的，则，则经初等列变换变成经初等列变换变
13、成类似，若矩阵类似，若矩阵BABA .价的方程组一定同解价的方程组一定同解这两个方程组等价，等这两个方程组等价，等能相互线性表示，就称能相互线性表示，就称与方程组与方程组的解；若方程组的解；若方程组的解一定是方程组的解一定是方程组线性表示，这时方程组线性表示，这时方程组能由方程组能由方程组称方程组称方程组的线性组合，就的线性组合，就的每个方程都是方程组的每个方程都是方程组程组程组的一个线性组合；若方的一个线性组合；若方一个方程就称为方程组一个方程就称为方程组所得到的所得到的的各个方程做线性运算的各个方程做线性运算对方程组对方程组BABAABABAA定理定理2 向量组向量组 能由向量组能由向量组
14、 线性表示线性表示 矩阵矩阵 的秩等于矩的秩等于矩阵阵 的秩，即的秩，即推论：向量组推论：向量组 与向量组与向量组 等价等价 lbbbB,:21maaaA,:21),(21maaaA),(),(2121lmbbbaaaBA),()(BARARmaaaA,:21lbbbB,:21),()()(BARBRAR例2 已知向量组A：,1101a0112aB：1011b1212b1233b证明：向量组A与向量组B等价。证明:令),(21aaA),(321bbbB 000003111022011311103111022011111012201131110),(BA0|2),(2)(BBARAR02011而故2)(BR因此),()()(BARBRAR即向量组A与向量组B等价。定理3 设向量组 能由向量组 线性表示，则lbbbB,:21maaaA,:21),(),(2121mlaaaRbbbR证：记),(21maaaA),(21lbbbB由已知有 而),()(BARAR),()(BARBR因此)()(ARBR
